Birlashtirilgan uzuk - Associated graded ring

Yilda matematika, tegishli darajali uzuk a uzuk R mulkka nisbatan ideal Men bo'ladi gradusli uzuk:

${ displaystyle operator nomi {gr} _ {I} R = oplus _ {n = 0} ^ { infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$.

Xuddi shunday, agar M chap R-modul, keyin tegishli darajali modul bo'ladi darajali modul ustida ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$:

${ displaystyle operator nomi {gr} _ {I} M = oplus _ {0} ^ { infty} I ^ {n} M / I ^ {n + 1} M}$.

Asosiy ta'riflar va xususiyatlar

Uzuk uchun R va ideal Men, ichida ko'paytirish ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$ quyidagicha ta'riflanadi: Birinchidan, ko'rib chiqing bir hil elementlar ${ displaystyle a in I ^ {i} / I ^ {i + 1}}$ va ${ displaystyle b in I ^ {j} / I ^ {j + 1}}$ va taxmin qiling $I {i}} da { displaystyle a '$ ning vakili a va $I {j}} da { displaystyle b '$ ning vakili b. Keyin aniqlang ${ displaystyle ab}$ ning ekvivalentlik sinfi bo'lish ${ displaystyle a'b '}$ yilda ${ displaystyle I ^ {i + j} / I ^ {i + j + 1}}$. Shunga e'tibor bering aniq belgilangan modul ${ displaystyle I ^ {i + j + 1}}$. Bir hil bo'lmagan elementlarning ko'payishi tarqatish xususiyati yordamida aniqlanadi.

Ring yoki modul unga tegishli darajalangan uzuk yoki modul bilan bog'liq bo'lishi mumkin dastlabki shakl xaritasi. Ruxsat bering M bo'lish R-modul va Men ideal R. Berilgan ${ displaystyle f in M}$, boshlang'ich shakl ning f yilda ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M}$, yozilgan ${ displaystyle mathrm {in} (f)}$, ning ekvivalentlik sinfi f yilda ${ displaystyle I ^ {m} M / I ^ {m + 1} M}$ qayerda m shunday maksimal maksimal son ${ displaystyle f I ^ {m} M} da$. Agar ${ displaystyle f I ^ {m} M} da$ har bir kishi uchun m, keyin o'rnating ${ displaystyle mathrm {in} (f) = 0}$. Boshlang'ich shakl xaritasi faqat to'plamlar xaritasi bo'lib, odatda a emas homomorfizm. Uchun submodule ${ displaystyle N subset M}$, ${ displaystyle mathrm {in} (N)}$ ning submoduli sifatida belgilangan ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M}$ tomonidan yaratilgan ${ displaystyle { mathrm {in} (f) | f in N }}$. Bu submodule bilan bir xil bo'lmasligi mumkin ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} M}$ ning generatorlarining yagona boshlang'ich shakllari tomonidan yaratilgan N.

Uzuk unga bog'langan darajali uzukdan ba'zi "yaxshi" xususiyatlarni meros qilib oladi. Masalan, agar R a noeteriya mahalliy halqa va ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} R}$ bu ajralmas domen, keyin R o'zi ajralmas domen hisoblanadi.^[1]

modulning gr

Ruxsat bering ${ displaystyle N subset M}$ uzuk ustidagi modullar bo'ling R va Men ideal R. Beri

${ displaystyle {I ^ {n} (M / N) over I ^ {n + 1} (M / N)} simeq {I ^ {n} M + N over I ^ {n + 1} M + N} simeq {I ^ {n} M over I ^ {n} M cap (I ^ {n + 1} M + N)} = {I ^ {n} M over I ^ {n} M cap N + I ^ {n + 1} M}}$

(oxirgi tenglik modul huquqi ), kanonik identifikatsiya mavjud:^[2]

${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} (M / N) = operatorname {gr} _ {I} M / operatorname {in} (N)}$

qayerda

${ displaystyle operator nomi {in} (N) = bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} {I ^ {n} M cap N + I ^ {n + 1} M over I ^ {n +1} M},}$

deb nomlangan elementlarining boshlang'ich shakllari tomonidan yaratilgan submodule ${ displaystyle N}$.

Misollar

Ruxsat bering U bo'lishi universal qoplovchi algebra yolg'on algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ maydon ustida k; u daraja bo'yicha filtrlanadi. The Punkare - Birxoff - Vitt teoremasi shuni anglatadiki ${ displaystyle operatorname {gr} U}$ polinom halqasi; aslida, bu koordinatali halqa ${ displaystyle k [{ mathfrak {g}} ^ {*}]}$.

A bilan bog'langan darajali algebra Klifford algebra tashqi algebra; ya'ni a Klifford algebra buzilib ketadi ga tashqi algebra.

Multiplikatsion filtrlarga umumlashtirish

Bilan bog'liq bo'lgan darajani multiplikativ uchun odatda ko'proq aniqlash mumkin tushayotgan filtratsiyalar ning R (Shuningdek qarang filtrlangan uzuk.) Ruxsat bering F shakl ideallarining kamayib boruvchi zanjiri bo'ling

${ displaystyle R = I_ {0} supset I_ {1} supset I_ {2} supset dotsb}$

shu kabi ${ displaystyle I_ {j} I_ {k} subset I_ {j + k}}$. Ushbu filtrlash bilan bog'liq bo'lgan darajali halqa ${ displaystyle operator nomi {gr} _ {F} R = oplus _ {n = 0} ^ { infty} I_ {n} / I_ {n + 1}}$. Ko'paytirish va dastlabki shakl xaritasi yuqoridagi kabi aniqlangan.

Shuningdek qarang

• Baholangan (matematika)
• Rees algebra

Adabiyotlar

• Eyzenbud, Devid (1995). Kommutativ algebra. Matematikadan aspirantura matnlari. 150. Nyu-York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN  0-387-94268-8. JANOB  1322960.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Kommutativ halqa nazariyasi. Kengaytirilgan matematikadan Kembrij tadqiqotlari. 8. Yapon tilidan M. Rid tomonidan tarjima qilingan (Ikkinchi nashr). Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  0-521-36764-6. JANOB  1011461.
• Zariski, Oskar; Samuel, Per (1975), Kommutativ algebra. Vol. II, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90171-8, JANOB  0389876