Bivektor (murakkab) - Bivector (complex) - Wikipedia

Yilda matematika, a bivektor a ning vektor qismidir biquaternion. Biquaternion uchun q = w + xi + yj + zk, w deyiladi biskalar va xi + yj + zk bu uning bivektor qism. Koordinatalar w, x, y, z bor murakkab sonlar bilan xayoliy birlik h:

Bivektor haqiqiy va xayoliy qismlarning yig'indisi sifatida yozilishi mumkin:

qayerda va bor vektorlar.Shunday qilib bivektor [1]

The Yolg'on algebra ning Lorents guruhi ikki vektor bilan ifodalanadi. Xususan, agar r1 va r2 bor to'g'ri bilimdonlar Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida , keyin biquaternion egri chizig'i {exp .r1 : θR} izlari ustidan birlik doirasi samolyotda {x + yil1 : x, yR}. Bunday aylana Lorents guruhining kosmik aylanish parametrlariga mos keladi.

Endi (hr2)2 = (−1)(−1) = +1va biquaternion egri chizig'i {exp θ(hr2) : θR} a birlik giperbolasi samolyotda {x + yil2 : x, yR}. Lorents guruhidagi bo'sh vaqt o'zgarishi FitzGeraldning kasılmaları va vaqtni kengaytirish ga bog'liq giperbolik burchak parametr. Ronald Shouning so'zlari bilan aytganda, "Bivektorlar Lorents o'zgarishlarining logarifmlari".[2]

The komutator Lie algebrasining mahsuloti ikki baravariga teng o'zaro faoliyat mahsulot kuni R3, masalan; misol uchun, [i, j] = ij - ji = 2k, bu ikki baravar ko'p i × j.Shou 1970 yilda yozganidek:

Endi ma'lumki, bir hil Lorents guruhining Lie algebrasini kommutatsiyaga uchragan bivektorlar deb hisoblash mumkin. [...] Bivektorlarning Lie algebrasi asosan murakkab 3-vektorlarnikidir, Lie mahsuloti (o'lchovli) 3 o'lchovli fazodagi (o'zaro bog'liq) mahsulot sifatida aniqlangan.[3]

Uilyam Rovan Xemilton ikkala shartni ham o'ylab topdi vektor va bivektor. Birinchi atama kvaternionlar bilan, ikkinchisi taxminan o'n yil o'tgach, xuddi shunday nomlandi Quaternions haqida ma'ruzalar (1853).[1]:665 Ommabop matn Vektorli tahlil (1901) ushbu atamani ishlatgan.[4]:249

Bivektor berilgan r = r1 + hr2, ellips buning uchun r1 va r2 juftligi konjugat yarim diametrlari deyiladi bivektorning yo'naltirilgan ellipsi r.[4]:436

Ning standart chiziqli tasvirida biquaternionlar 2 × 2 murakkab matritsalar sifatida bo'yicha harakat qilish murakkab tekislik bilan asos {1, h},

bivektorni ifodalaydi q = vi + wj + xk.

The konjugat transpozitsiyasi Ushbu matritsa quyidagilarga to'g'ri keladi:q, shuning uchun bivektorning vakili q a qiyshiq-Ermit matritsasi.

Lyudvik Silberstayn o'qigan a murakkablashtirilgan elektromagnit maydon E + hB, uchta komponent mavjud bo'lsa, ularning har biri murakkab son, deb nomlanuvchi Riemann-Silbersteyn vektori.[5][6]

"Bivectors [...] elliptik polarizatsiyalangan bir hil va bir hil bo'lmagan tekis to'lqinlarni tavsiflashga yordam beradi - tarqalish yo'nalishi uchun bitta, amplituda uchun bitta vektor."[7]

Adabiyotlar

  1. ^ a b Hamilton, VR (1853). "Biquaternionlar bilan hisoblash natijasida olingan ba'zi natijalarning geometrik talqini to'g'risida" (PDF). Ish yuritish Irlandiya Qirollik akademiyasi. 5: 388–390. Devid R. Uilkins kollektsiyasidan Trinity kolleji, Dublin
  2. ^ Shou, Ronald; Bowtell, Grem (1969). "Lorentsning transformatsiyasining bivektorli logaritmasi". Matematikaning har choraklik jurnali. 20 (1): 497–503. doi:10.1093 / qmath / 20.1.497.
  3. ^ Shou, Ronald (1970). "Bir hil Lorents guruhining kichik guruh tuzilishi". Matematikaning har choraklik jurnali. 21 (1): 101–124. doi:10.1093 / qmath / 21.1.101.
  4. ^ a b Edvin Biduell Uilson (1901) Vektorli tahlil
  5. ^ Silbershteyn, Lyudvik (1907). "Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung" (PDF). Annalen der Physik. 327 (3): 579–586. Bibcode:1907AnP ... 327..579S. doi:10.1002 / va s.19073270313.
  6. ^ Silbershteyn, Lyudvik (1907). "Nachtrag zur Abhandlung über 'Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung"'" (PDF). Annalen der Physik. 329 (14): 783–4. Bibcode:1907AnP ... 329..783S. doi:10.1002 / va s.19073291409.
  7. ^ "Telegrafik sharhlar §Mexanika va optikada bivektorlar va to'lqinlar". Amerika matematik oyligi. 102 (6): 571. 1995. doi:10.1080/00029890.1995.12004621.