Topologik vektor bo'shliqlarining toifasi - Category of topological vector spaces

Yilda matematika, topologik vektor bo'shliqlarining toifasi bo'ladi toifasi kimning ob'ektlar bor topologik vektor bo'shliqlari va kimning morfizmlar bor uzluksiz chiziqli xaritalar ular orasida. Bu toifadir, chunki tarkibi Ikkita doimiy chiziqli xaritalarning yana biri doimiy chiziqli xaritadir. Kategoriya ko'pincha belgilanadi TVect yoki TVS.

A tuzatish topologik soha K, ni ham ko'rib chiqish mumkin kichik toifa TVect_K topologik vektor bo'shliqlari K doimiy bilan K- morfizm sifatida chiziqli xaritalar.

TVect - bu aniq kategoriya

Ko'pgina toifalar singari, toifalar TVect a beton toifasi, uning ob'ektlari degan ma'noni anglatadi to'plamlar qo'shimcha tuzilishga ega (ya'ni a vektor maydoni tuzilishi va a topologiya ) va uning morfizmlari funktsiyalari ushbu tuzilmani saqlab qolish. Aniq narsa bor unutuvchan funktsiyalar ichiga topologik bo'shliqlarning toifasi, vektor bo'shliqlarining toifasi va to'plamlar toifasi.

TVect_{${displaystyle K}$} topologik kategoriya

Kategoriya topologik, ya'ni uning "asosiy toifasi" ga, vektor bo'shliqlari toifasiga o'xshashligini erkin aytishni anglatadi. Yuqori bilan bog'liq O'rnatish. Rasmiy ravishda, har bir kishi uchun K- vektor maydoni ${displaystyle V}$ va har bir oila ${displaystyle ((V_ {i}, au _ {i}), f_ {i}) _ {iin I}}$ topologik K-vektor bo'shliqlari ${displaystyle (V_ {i}, au _ {i})}$ va K- chiziqli xaritalar ${displaystyle f_ {i}: V o V_ {i},}$ vektor kosmik topologiyasi mavjud ${displaystyle au}$ kuni ${displaystyle V}$ quyidagi xususiyat bajarilishi uchun:

Har doim ${displaystyle g: Z o V}$ a K-topologik chiziqli xarita K- vektor maydoni ${displaystyle (Z, sigma),}$ buni ushlab turadi

${displaystyle g: (Z, sigma) o (V, au)}$ uzluksiz ${displaystyle iff}$ ${displaystyle for all iin I: f_ {i} circ g: (Z, sigma) o (V_ {i}, au _ {i})}$ uzluksiz.

Topologik vektor makoni ${displaystyle (V, au)}$ berilgan ma'lumotlarga nisbatan "boshlang'ich ob'ekt" yoki "boshlang'ich tuzilish" deb nomlanadi.

Agar kishi "vektor maydoni" ni "to'siq" ga va "chiziqli xarita" ni "xarita" bilan almashtirsa, unda odatdagi boshlang'ich topologiyalarning tavsifi olinadi Yuqori. Shu sababli ushbu xususiyatga ega toifalar "topologik" deb nomlanadi.

Ushbu mulkning ko'plab oqibatlari mavjud. Masalan:

• "Diskret" va "diskret" ob'ektlar mavjud. Topologik vektor maydoni bo'sh, agar u bo'sh oilaga nisbatan dastlabki tuzilish bo'lsa, aniq emas. Topologik vektor maydoni, agar u barcha topologik vektor bo'shliqlariga mumkin bo'lgan barcha chiziqli xaritalar turkumiga nisbatan dastlabki tuzilish bo'lsa, alohida hisoblanadi. (Bu oila tegishli sinf, ammo bu muhim emas: barcha sinflarga nisbatan dastlabki tuzilmalar, agar ular barcha to'plamlarga nisbatan mavjud bo'lsa)
• Yakuniy tuzilmalar (so'nggi topologiyalarga o'xshash o'xshashlik) mavjud. Ammo bu erda bir narsa bor: yuqoridagi xususiyatning boshlang'ich tuzilishi aslida odatdagi boshlang'ich topologiyadir ${displaystyle V}$ munosabat bilan ${displaystyle (au _ ​​{i}, f_ {i}) _ {iin I}}$, oxirgi tuzilmalar berilgan ma'noda berilgan xaritalarga nisbatan yakuniy bo'lishi shart emas Yuqori. Masalan: diskret ob'ektlar (= bo'sh oilaga nisbatan yakuniy) ichida ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ diskret topologiyani olib yurmang.
• Unutuvchi funktsiyalarning quyidagi diagrammasi ishga tushganligi sababli

${displaystyle {egin {array} {ccc} {extbf {Vect}} _ {K} & ightarrow & {extbf {Set}} uparrow && uparrow {extbf {TVect}} _ {K} & ightarrow & {extbf {Top}} end {array}}}$

va unutuvchan funktsiya ${displaystyle {extbf {Vect}} _ {K}}$ ga O'rnatish o'ng qo'shma, unutuvchi funktsiya ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ ga Yuqori o'ng qo'shni ham (va tegishli chap qo'shimchalar analog komutativ diagrammada joylashgan). Ushbu chap qo'shma "erkin topologik vektor bo'shliqlari" ni belgilaydi. Shubhasiz, bular bepul K- ma'lum bir boshlang'ich topologiya bilan jihozlangan vektor bo'shliqlari.

• Beri^{[tushuntirish kerak ]} ${displaystyle {extbf {Vect}} _ {K}}$ to'liq (birgalikda), ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ (co) ham to'liq.

Adabiyotlar

• Lang, Serj (1972). Differentsial manifoldlar. Reading, Mass-London - Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.