Abeliya navining dirijyori - Conductor of an abelian variety

Yilda matematika, yilda Diofant geometriyasi, abeliya navining dirijyori a orqali aniqlangan mahalliy yoki global maydon F bu qanchalik "yomon" ekanligini ko'rsatadigan o'lchovdir yomon pasayish eng yaxshi paytda. U bilan bog'langan tarqalish tomonidan yaratilgan maydonda burilish nuqtalari.

Ta'rif

Uchun abeliya xilma-xilligi A maydon bo'yicha aniqlangan F yuqoridagi kabi, butun sonlar halqasi bilan R, ko'rib chiqing Neron modeli ning A, bu "mumkin bo'lgan" modeldir A aniqlangan R. Ushbu model a sifatida ifodalanishi mumkin sxema ustida

Spec (R)

(qarang halqa spektri ) buning uchun umumiy tola morfizm yordamida qurilgan

Spec (F) → Spec (R)

qaytarib beradi A. Ruxsat bering A⁰ tolalari bog'langan komponentlar bo'lgan Neron modelining ochiq kichik guruh sxemasini belgilang. Maksimal ideal uchun P ning R bilan qoldiq maydoni k, A⁰_k guruhning xilma-xilligi k, shuning uchun chiziqli guruh tomonidan abeliya navining kengayishi. Ushbu chiziqli guruh torusning a ga kengayishi bir kuchsiz guruh. Ruxsat bering siz_P bir kuchsiz guruhning o'lchovi bo'lishi va t_P torusning o'lchami. Dirijyorning tartibi P bu

${ displaystyle f_ {P} = 2u_ {P} + t_ {P} + delta _ {P}, ,}$

qayerda ${ displaystyle delta _ {P} in mathbb {N}}$ yovvoyi tarqalish o'lchovidir. Qachon F ning dirijyor idealidir A tomonidan berilgan

${ displaystyle f = prod _ {P} P ^ {f_ {P}}.}$

Xususiyatlari

• A bor yaxshi pasayish da P agar va faqat agar ${ displaystyle u_ {P} = t_ {P} = 0}$ (bu shuni anglatadiki ${ displaystyle f_ {P} = delta _ {P} = 0}$).
• A bor yarim marta qisqartirish agar va faqat agar ${ displaystyle u_ {P} = 0}$ (keyin yana ${ displaystyle delta _ {P} = 0}$).
• Agar A ning Galois kengaytmasi bo'yicha yarim muddatli pasayishni oladi F birinchi daraja p, qoldiq xarakteristikasi at P, keyin δ_P = 0.
• Agar ${ displaystyle p> 2d + 1}$, qayerda d ning o'lchamidir A, keyin ${ displaystyle delta _ {P} = 0}$.
• Agar ${ displaystyle p leq 2d + 1}$ va F ning cheklangan kengaytmasi ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ tarqalish darajasi ${ displaystyle e (F / mathbb {Q} _ {p})}$, funktsiya nuqtai nazaridan ifodalangan yuqori chegara mavjud ${ displaystyle L_ {p} (n)}$quyidagicha belgilanadi:

Yozing ${ displaystyle n = sum _ {k geq 0} c_ {k} p ^ {k}}$ bilan ${ displaystyle 0 leq c_ {k}$ va sozlang ${ displaystyle L_ {p} (n) = sum _ {k geq 0} kc_ {k} p ^ {k}}$. Keyin^[1]

${ displaystyle (*) qquad f_ {P} leq 2d + e (F / mathbb {Q} _ {p}) left (p left lfloor { frac {2d} {p-1}} o'ng rfloor + (p-1) L_ {p} chap ( chap lfloor { frac {2d} {p-1}} o'ng rfloor o'ng) o'ng).}$

Bundan tashqari, har bir kishi uchun ${ displaystyle d, p, e}$ bilan ${ displaystyle p leq 2d + 1}$ maydon bor ${ displaystyle F / mathbb {Q} _ {p}}$ bilan ${ displaystyle e (F / mathbb {Q} _ {p}) = e}$ va abeliya navlari ${ displaystyle A / F}$ o'lchov ${ displaystyle d}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle (*)}$ tenglikdir.

Adabiyotlar