Xat teoremasi (guruh nazariyasi) - Correspondence theorem (group theory)

Hududida matematika sifatida tanilgan guruh nazariyasi, yozishmalar teoremasi,^{[1][2][3][4][5][6][7][8]} ba'zida to'rtinchi izomorfizm teoremasi^{[6][9][eslatma 1][2-eslatma]} yoki panjara teoremasi,^[10] agar shunday bo'lsa ${ displaystyle N}$ a oddiy kichik guruh a guruh ${ displaystyle G}$, keyin mavjud a bijection barchasi to'plamidan kichik guruhlar ${ displaystyle A}$ ning ${ displaystyle G}$ o'z ichiga olgan ${ displaystyle N}$, ning barcha kichik guruhlari to'plamiga kvant guruhi ${ displaystyle G / N}$. Ning kichik guruhlarining tuzilishi ${ displaystyle G / N}$ ning kichik guruhlari tuzilishi bilan bir xil ${ displaystyle G}$ o'z ichiga olgan ${ displaystyle N}$, bilan ${ displaystyle N}$ ga qulab tushdi hisobga olish elementi.

Xususan, agar

G guruh,

N a oddiy kichik guruh ning G,

${ displaystyle { mathcal {G}}}$ barcha kichik guruhlarning to'plamidir A ning G shu kabi ${ displaystyle N subseteq A subseteq G}$va

${ displaystyle { mathcal {N}}}$ ning barcha kichik guruhlari to'plamidir G / N,

keyin biektiv xarita mavjud ${ displaystyle phi: { mathcal {G}} to { mathcal {N}}}$ shu kabi

${ displaystyle phi (A) = A / N}$ Barcha uchun ${ displaystyle A in { mathcal {G}}.}$

Agar yana shunday bo'lsa A va B ichida ${ displaystyle { mathcal {G}}}$va A '= A / N va B '= B / N, keyin

• ${ displaystyle A subseteq B}$ agar va faqat agar ${ displaystyle A ' subseteq B'}$;
• agar ${ displaystyle A subseteq B}$ keyin ${ displaystyle | B: A | = | B ': A' |}$, qayerda ${ displaystyle | B: A |}$ bo'ladi indeks ning A yilda B (soni kosets bA ning A yilda B);
• ${ displaystyle langle A, B rangle / N = langle A ', B' rangle,}$ qayerda ${ displaystyle langle A, B rangle}$ ning kichik guruhidir ${ displaystyle G}$ hosil qilingan tomonidan ${ displaystyle A kubok B;}$
• ${ displaystyle (A cap B) / N = A ' cap B'}$va
• ${ displaystyle A}$ ning oddiy kichik guruhi ${ displaystyle G}$ agar va faqat agar ${ displaystyle A '}$ ning oddiy kichik guruhi ${ displaystyle G / N}$.

Ushbu ro'yxat to'liq emas. Darhaqiqat, kichik guruhlarning aksariyat xususiyatlari ularning rasmlarida kvitentsion guruhning kichik guruhlariga qo'shilish ostida saqlanadi.

Umuman olganda, a mavjud monoton Galois aloqasi ${ displaystyle (f ^ {*}, f _ {*})}$ o'rtasida kichik guruhlarning panjarasi ning ${ displaystyle G}$ (o'z ichiga olishi shart emas ${ displaystyle N}$) ning kichik guruhlari panjarasi ${ displaystyle G / N}$: kichik guruhning pastki biriktiruvchisi ${ displaystyle H}$ ning ${ displaystyle G}$ tomonidan berilgan ${ displaystyle f ^ {*} (H) = HN / N}$ va kichik guruhning yuqori qo'shma qismi ${ displaystyle K / N}$ ning ${ displaystyle G / N}$ tomonidan berilgan ${ displaystyle f _ {*} (K / N) = K}$. Bilan bog'liq yopish operatori ning kichik guruhlarida ${ displaystyle G}$ bu ${ displaystyle { bar {H}} = HN}$; bog'liq yadro operatori ning kichik guruhlarida ${ displaystyle G / N}$ shaxsiyat.

Shunga o'xshash natijalar mavjud uzuklar, modullar, vektor bo'shliqlari va algebralar.

Shuningdek qarang

• Modulli panjara

Izohlar

Adabiyotlar