Belgilangan nuqta jarayoni - Determinantal point process

Yilda matematika, a determinantal nuqta jarayoni a stoxastik nuqta jarayoni, ehtimollik taqsimoti qaysi biri sifatida tavsiflanadi aniqlovchi ba'zi funktsiyalar. Bunday jarayonlar muhim vositalar sifatida paydo bo'ladi tasodifiy matritsa nazariya, kombinatorika, fizika,^[1] va simsiz tarmoqni modellashtirish.^[2][3][4]

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle Lambda}$ bo'lishi a mahalliy ixcham Polsha makoni va ${ displaystyle mu}$ bo'lishi a Radon o'lchovi kuni ${ displaystyle Lambda}$. Shuningdek, a o'lchanadigan funktsiya K: Λ² → ℂ.

Biz buni aytamiz ${ displaystyle X}$ a determinantal nuqta jarayoni kuni ${ displaystyle Lambda}$ yadro bilan ${ displaystyle K}$ agar bu oddiy bo'lsa nuqta jarayoni kuni ${ displaystyle Lambda}$ bilan qo'shma intensivlik yoki korrelyatsiya funktsiyasi (bu uning zichligi omiliy moment o'lchovi ) tomonidan berilgan

${ displaystyle rho _ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = det [K (x_ {i}, x_ {j})] _ {1 leq i, j leq n}}$

har bir kishi uchun n ≥ 1 va x₁, . . . , x_n ∈ Λ.^[5]

Xususiyatlari

Mavjudlik

Intensivligi r bo'lgan determinantal tasodifiy nuqta jarayonining mavjudligi uchun quyidagi ikkita shart zarur va etarli_k.

• Simmetriya: r_k harakati ostida o'zgarmasdir nosimmetrik guruh S_k. Shunday qilib:

${ displaystyle rho _ {k} (x _ { sigma (1)}, ldots, x _ { sigma (k)}) = rho _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k }) S_ {k}, k} da quad forall sigma$

• Ijobiy: har qanday kishi uchun Nva har qanday o'lchovli, chegaralangan funktsiyalar to'plami φ_k:Λ^k → ℝ, k = 1,. . . ,N bilan ixcham qo'llab-quvvatlash:

Agar

${ displaystyle quad varphi _ {0} + sum _ {k = 1} ^ {N} sum _ {i_ {1} neq cdots neq i_ {k}} varphi _ {k} ( x_ {i_ {1}} ldots x_ {i_ {k}}) geq 0 { text {for all}} k, (x_ {i}) _ {i = 1} ^ {k}}$

Keyin

${ displaystyle quad varphi _ {0} + sum _ {k = 1} ^ {N} int _ { Lambda ^ {k}} varphi _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) rho _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) , { textrm {d}} x_ {1} cdots { textrm {d}} x_ {k } geq 0 { text {barchasi uchun}} k, (x_ {i}) _ {i = 1} ^ {k}}$ ^[6]

O'ziga xoslik

Birgalik intensivligi bilan determinantal tasodifiy jarayonning o'ziga xosligi uchun etarli shart r_k bu

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} left ({ frac {1} {k!}} int _ {A ^ {k}} rho _ {k} (x_ {1) }, ldots, x_ {k}) , { textrm {d}} x_ {1} cdots { textrm {d}} x_ {k} right) ^ {- { frac {1} {k }}} = infty}$

har bir cheklangan Borel uchun A ⊆ Λ.^[6]

Misollar

Gauss unitar ansambli

Tasodifiylikning o'ziga xos qiymatlari m × m Dan olingan Hermit matritsasi Gauss unitar ansambli (GUE) bo'yicha determinantal nuqta jarayonini hosil qiladi ${ displaystyle mathbb {R}}$ yadro bilan

${ displaystyle K_ {m} (x, y) = sum _ {k = 0} ^ {m-1} psi _ {k} (x) psi _ {k} (y)}$

qayerda ${ displaystyle psi _ {k} (x)}$ bo'ladi ${ displaystyle k}$th tomonidan belgilangan osilator to'lqin funktsiyasi

${ displaystyle psi _ {k} (x) = { frac {1} { sqrt {{ sqrt {2n}} n!}}} H_ {k} (x) e ^ {- x ^ {2 } / 4}}$

va ${ displaystyle H_ {k} (x)}$ bo'ladi ${ displaystyle k}$th Hermit polinom.^[7]

Zaharlangan Plancherel o'lchovi

Zaharlangan Plancherel o'lchovi bo'limlar butun sonlar (va shuning uchun ham) Yosh diagrammalar ) ni o'rganishda muhim rol o'ynaydi eng uzun o'sib boruvchi keyingi tasodifiy almashtirish. O'zgartirilgan Frobenius koordinatalarida ifodalangan tasodifiy Young diagrammasiga mos keladigan nuqta jarayoni, $ Delta $ bo'yicha aniqlanadigan nuqta jarayoni.^{[tushuntirish kerak ]} + ​¹⁄₂ diskret Bessel yadrosi bilan berilgan:

${ displaystyle K (x, y) = { begin {case} { sqrt { theta}} , { dfrac {k _ {+} (| x |, | y |)} {| x | - | y |}} & { text {if}} xy> 0, [12pt] { sqrt { theta}} , { dfrac {k _ {-} (| x |, | y |)}} xy}} va { text {if}} xy <0, end {case}}}$

qayerda

${ displaystyle k _ {+} (x, y) = J_ {x - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y + { frac {1} {2 }}} (2 { sqrt { theta}}) - J_ {x + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}),}$

${ displaystyle k _ {-} (x, y) = J_ {x - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y - { frac {1} { 2}}} (2 { sqrt { theta}}) + J_ {x + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}})}$

Uchun J The Bessel funktsiyasi birinchi turdagi va po zaharlanishda ishlatiladigan o'rtacha.^[8]

Bu aniq bo'lmagan determinantal nuqta jarayoniga misol bo'lib xizmat qiladi vaHermitiyalik yadro (garchi uning ijobiy va salbiy yarim o'qi bilan chegaralanishi Hermitian bo'lsa ham).^[6]

Yagona daraxtlar

$ G $ cheklangan, yo'naltirilmagan, bog'langan bo'lsin grafik, chekka o'rnatilgan E. Aniqlang Men^e:E → ℓ²(E) quyidagicha: avval E qirralarning va har bir hosil bo'lgan yo'naltirilgan chekka uchun bir nechta o'zboshimchalik yo'nalishini tanlang e, aniqlang Men^e birlik oqimining proektsiyasi bo'lishi kerak e pastki fazosiga ℓ²(E) yulduzlar oqimidan iborat.^[9] Keyin bir xil tasodifiy yoyilgan daraxt ning G - determinantal nuqta jarayoni E, yadro bilan

${ displaystyle K (e, f) = langle I ^ {e}, I ^ {f} rangle, quad e, f in E}$.^[5]

Adabiyotlar