Dinamik epistemik mantiq - Dynamic epistemic logic

Dinamik epistemik mantiq (DEL) - bu bilim va ma'lumot o'zgarishi bilan bog'liq mantiqiy asos. Odatda, DEL bir nechta vaziyatlarni o'z ichiga oladi agentlar va ularning bilimlari qachon o'zgarishini o'rganadi voqealar sodir bo'lishi. Ushbu hodisalar haqiqiy dunyoning faktik xususiyatlarini o'zgartirishi mumkin (ular deyiladi) qarama-qarshi hodisalar): masalan, qizil kartochka ko'k rangga bo'yalgan. Ular, shuningdek, dunyoning haqiqiy xususiyatlarini o'zgartirmasdan bilimlarni o'zgartirishi mumkin (ular deyiladi) epistemik hodisalar): masalan, karta ochiq (yoki xususiy ravishda) qizil rangga ega. Dastlab, DEL epistemik hodisalarga e'tibor qaratdi. Biz ushbu yozuvda faqat dastlabki DEL ramkasining ba'zi asosiy g'oyalarini taqdim etamiz; umuman DEL haqida batafsil ma'lumotni ma'lumotnomalarda topishingiz mumkin.

O'zining o'rganish ob'ekti va mavhum yondashuvi tufayli, DEL bir-biriga bog'liq va ko'plab tadqiqot sohalarida qo'llanilishi mumkin, masalan Kompyuter fanlari (sun'iy intellekt ), falsafa (rasmiy epistemologiya ), iqtisodiyot (o'yin nazariyasi ) va kognitiv fan. Kompyuter fanida, masalan, DEL juda bog'liq ko'p agentli tizimlar, bu bir nechta aqlli agentlarning o'zaro aloqasi va ma'lumot almashishi tizimlari.

Ning kombinatsiyasi sifatida dinamik mantiq va epistemik mantiq, dinamik epistemik mantiq - bu tadqiqotning yosh sohasi. Bu haqiqatan ham 1989 yilda Plazaning ommaviy e'lon qilish mantig'idan boshlandi.^[1] Mustaqil ravishda, Gerbrendi va Groeneveld^[2] Veltmanning ishidan ilhomlangan shaxsiy e'lon bilan shug'ullanadigan tizimni taklif qildi.^[3] Van Ditmarsch tomonidan yana bir tizim taklif qilingan, uning asosiy ilhomi bu edi Klyedo o'yin.^[4] Ammo eng ta'sirchan va o'ziga xos tizim Baltag, Moss va Solecki tomonidan taklif qilingan tizim edi.^[5][6] Ushbu tizim yuqoridagi ishlarda o'rganilgan vaziyatlarning barcha turlari bilan shug'ullanishi mumkin va uning asosidagi metodologiya kontseptual asosga ega. Biz ushbu yozuvda uning ba'zi bir asosiy g'oyalarini taqdim etamiz.

Rasmiy ravishda, DEL oddiy kengayadi epistemik mantiq harakatlarni tavsiflash uchun voqea modellarini va voqea modellari orqali tavsiflangan harakatlarni bajarish natijasida epistemik modellarning qanday yangilanishini aniqlaydigan mahsulotni yangilash operatorini kiritish orqali. Epistemik mantiq avval esga olinadi. Keyin harakatlar va hodisalar rasmga kiradi va biz DEL ramkasini tanishtiramiz.^[7]

Epistemik mantiq

Epistemik mantiq a modal mantiq bilim va e'tiqod tushunchalari bilan shug'ullanish. Kabi mantiq, bu jarayonni tushunish bilan bog'liq mulohaza yuritish bilim va e'tiqod haqida: bilim va e'tiqod tushunchalariga tegishli qaysi printsiplar intuitiv ravishda ishonchli? Gnoseologiya singari, u ham yunoncha so'zdan kelib chiqadi ${ displaystyle epsilon pi iota sigma tau eta mu eta}$ yoki bilimni anglatuvchi "epistema". Epistemologiya shunga qaramay, uni tahlil qilish bilan ko'proq shug'ullanadi tabiat va qamrov doirasi "bilimning ta'rifi nima?" kabi savollarga javob beradigan bilimlar. yoki "Qanday qilib bilimga ega bo'ladi?". Darhaqiqat, epistemik mantiq O'rta asrlarda Burli va Okxemning sa'y-harakatlari tufayli epistemologiyadan o'sib chiqqan.^[8] Epistemik mantiq bo'yicha zamonaviy tadqiqotlarni boshlagan modal mantiqqa asoslangan rasmiy ish faqat 1962 yilga to'g'ri keladi va Xintikka.^[9] Keyinchalik bu 1960-yillarda bilim va e'tiqod tamoyillari haqidagi munozaralarni keltirib chiqardi va ushbu tushunchalar uchun ko'plab aksiomalar taklif qilindi va muhokama qilindi.^[10] Masalan, o'zaro ta'sir aksiomalari ${ displaystyle Kp rightarrow Bp}$ va ${ displaystyle Bp rightarrow KBp}$ ko'pincha intuitiv printsiplar deb hisoblanadi: agar agent bilsa ${ displaystyle p}$ unda u ham iymon keltiradi ${ displaystyle p}$yoki agent ishonsa ${ displaystyle p}$, keyin u (lar) ga ishonishini biladi ${ displaystyle p}$. Yaqinda ushbu turdagi falsafiy nazariyalar tadqiqotchilar tomonidan qabul qilindi iqtisodiyot,^[11] sun'iy intellekt va nazariy informatika ^[12] bu erda bilim haqida mulohaza yuritish asosiy mavzu. Epistemik mantiq ishlatilgan yangi muhit tufayli yangi istiqbollar va yangi xususiyatlar hisoblash imkoniyati masalalar keyinchalik epistemik mantiqning tadqiqot kun tartibiga qo'shildi.

Sintaksis

Davomida, ${ displaystyle AGTS = {1, ldots, n }}$ elementlari agentlar va deb ataladigan chekli to'plamdir ${ displaystyle PROP}$ - bu taxminiy harflar to'plami.

Epistemik til - bu asosiy ko'p modali tilning kengaytmasi modal mantiq bilan umumiy bilim operator ${ displaystyle C_ {A}}$ va a tarqatilgan bilimlar operator ${ displaystyle D_ {A}}$. Rasmiy ravishda epistemik til ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { textsf {EL}} ^ {C}}$ induktiv ravishda quyidagilar bilan belgilanadi grammatika yilda BNF:

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { textsf {EL}} ^ {C}: phi ~~ :: = ~~ p ~ mid ~ neg phi ~ mid ~ ( phi land phi) ~ mid ~ K_ {j} phi ~ mid ~ C_ {A} phi ~ mid ~ D_ {A} phi}$

qayerda ${ displaystyle p PROP} da$, ${ Displaystyle j {AGTS}} da$ va ${ displaystyle A subseteq {AGTS}}$. The asosiy epistemik til ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL}}$ bu til ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL} ^ {C}}$ umumiy bilim va tarqatilgan bilim operatorlarisiz. Formula ${ displaystyle bot}$ uchun qisqartma ${ displaystyle neg p land p}$ (berilgan uchun ${ displaystyle p PROP} da$), ${ displaystyle langle K_ {j} rangle phi}$ uchun qisqartma ${ displaystyle neg K_ {j} neg phi}$, ${ displaystyle E_ {A} phi}$ uchun qisqartma ${ displaystyle bigwedge limits _ {j in A} K_ {j} phi}$ va ${ displaystyle C phi}$ uchun qisqartma ${ displaystyle C_ {AGTS} phi}$.

Guruh tushunchalari: umumiy, umumiy va tarqatilgan bilimlar.

Ko'p agentlik sharoitida uchta muhim epistemik tushuncha mavjud: umumiy bilim, taqsimlangan bilim va umumiy bilim. Umumiy bilim tushunchasi dastlab tomonidan o'rganilgan Lyuis anjumanlar kontekstida.^[13] Keyin u qo'llanildi tarqatilgan tizimlar^[12] va ga o'yin nazariyasi,^[14] bu erda o'yinchilarning ratsionalligi, o'yin qoidalari va o'yinchilar to'plami odatda ma'lum ekanligini bildirishga imkon beradi.

Umumiy bilim.

Haqida umumiy ma'lumot ${ displaystyle phi}$ agentlar guruhidagi hamma degani ${ displaystyle {AGTS}}$ buni biladi ${ displaystyle phi}$. Rasmiy ravishda, bu quyidagi formulaga mos keladi:

${ displaystyle E phi: = { underset {j in {AGTS}} { bigwedge}} K_ {j} phi.}$

Umumiy bilim.

Haqida umumiy ma'lumot ${ displaystyle phi}$ hamma biladi degani ${ displaystyle phi}$ shuningdek, hamma bilishini hamma biladi ${ displaystyle phi}$, hamma bilishini hamma bilishini hamma bilishini ${ displaystyle phi}$, va hokazo reklama infinitum. Rasmiy ravishda, bu quyidagi formulaga mos keladi

${ displaystyle C phi: = E phi land EE phi land EEE phi land ldots}$

Cheksiz qo'shilishga yo'l qo'ymasligimiz sababli, umumiy bilim tushunchasini tilimizga ibtidoiy sifatida kiritish kerak bo'ladi.

Ushbu yangi operator bilan tilni aniqlashdan oldin, biz tomonidan kiritilgan misolni keltiramiz Lyuis bu umumiy bilim va umumiy bilim tushunchalari o'rtasidagi farqni aks ettiradi. Lyuis bayonot uchun qanday bilim kerakligini bilmoqchi edi ${ displaystyle p}$: "Har bir haydovchi o'ngda harakatlanishi kerak" - bu agentlar guruhi o'rtasida konventsiya. Boshqacha qilib aytganda, u hamma o'ngda harakatlanishda o'zini xavfsiz his qilishi uchun qanday bilim kerakligini bilmoqchi edi. Faqat ikkita agent bor deylik ${ displaystyle i}$ va ${ displaystyle j}$. Keyin hamma biladi ${ displaystyle p}$ (rasmiy ravishda ${ displaystyle Ep}$) etarli emas. Darhaqiqat, agent hali ham bo'lishi mumkin ${ displaystyle i}$ agentni mumkin deb hisoblaydi ${ displaystyle j}$ bilmaydi ${ displaystyle p}$ (rasmiy ravishda ${ displaystyle neg K_ {i} K_ {j} p}$). Bunday holda agent ${ displaystyle i}$ o'ng tomonda harakatlanish xavfsizligini sezmaydi, chunki u agent deb o'ylashi mumkin ${ displaystyle j}$, bilmaslik ${ displaystyle p}$, chap tomonda harakatlanishi mumkin. Ushbu muammoga duch kelmaslik uchun, hamma buni hamma biladi deb biladi deb o'ylashimiz mumkin ${ displaystyle p}$ (rasmiy ravishda ${ displaystyle EEp}$). Bu hammani o'ng tomonda harakatlanish xavfsizligini ta'minlash uchun etarli emas. Darhaqiqat, bu agent hali ham bo'lishi mumkin ${ displaystyle i}$ ushbu agentni mumkin deb hisoblaydi ${ displaystyle j}$ ushbu agentni mumkin deb hisoblaydi ${ displaystyle i}$ bilmaydi ${ displaystyle p}$ (rasmiy ravishda ${ displaystyle neg K_ {i} K_ {j} K_ {i} p}$). Bunday holda va ${ displaystyle i}$Nuqtai nazari, ${ displaystyle j}$ buni mumkin deb hisoblaydi ${ displaystyle i}$, bilmaslik ${ displaystyle p}$, chap tomonda harakatlanadi. Shunday qilib ${ displaystyle i}$Nuqtai nazari, ${ displaystyle j}$ chap tomonda ham harakatlanishi mumkin (yuqoridagi dalil bilan). Shunday qilib ${ displaystyle i}$ o'ng tomonda harakatlanish xavfsizligini sezmaydi. Induktsiya bo'yicha fikr yuritib, Lyuis buni hamma uchun ko'rsatdi ${ displaystyle k in mathbb {N}}$, ${ displaystyle Ep land E ^ {1} p land ldots land E ^ {k} p}$ haydovchilar o'ng tomonda harakatlanishlari uchun o'zlarini xavfsiz his qilishlari uchun etarli emas. Aslida bizga kerak bo'lgan narsa cheksiz bog'lanishdir. Boshqacha qilib aytganda, bizga umumiy ma'lumot kerak ${ displaystyle p}$: ${ displaystyle Cp}$.

Tarqatilgan bilim.

Haqida tarqatilgan bilimlar ${ displaystyle phi}$ shuni anglatadiki, agar agentlar o'z bilimlarini butunlay tortib olsalar, ular buni bilishar edi ${ displaystyle phi}$ ushlab turadi. Boshqacha qilib aytganda ${ displaystyle phi}$ bu tarqatildi agentlar orasida. Formula ${ displaystyle D_ {A} phi}$ sifatida o'qiydi, 'u agentlar to'plami o'rtasida bilimlarni taqsimlaydi ${ displaystyle A}$ bu ${ displaystyle phi}$ ushlab turadi ».

Semantik

Epistemik mantiq - bu a modal mantiq. Shunday qilib, biz nima deymiz epistemik model ${ displaystyle { mathcal {M}} = (W, R_ {1}, ldots, R_ {n}, I)}$ faqat a Kripke modeli modal mantiqda aniqlanganidek. To'plam ${ displaystyle W}$ elementlari chaqirilgan bo'sh bo'lmagan to'plamdir mumkin bo'lgan dunyolar va sharhlash ${ displaystyle I: W rightarrow 2 ^ {PROP}}$ a funktsiya ushbu dunyoning har birida qaysi taklif faktlari ("Enn qizil kartochka" kabi) haqiqat ekanligini ko'rsatib beradi. The mavjudlik munosabatlari ${ displaystyle R_ {j} subseteq W marta W}$ bor ikkilik munosabatlar har bir agent uchun $AGTS da { displaystyle j }$; ular har bir agentning (haqiqiy dunyo va boshqa agentlarning noaniqligi to'g'risida) noaniqligini aniqlashga qaratilgan. Intuitiv ravishda bizda ${ displaystyle (w, v) R_ {j}} da$ qachon dunyo ${ displaystyle v}$ agent bilan mos keladi ${ displaystyle j}$Dunyodagi ma'lumotlar ${ displaystyle w}$ yoki, boshqacha qilib aytganda, agent bo'lganda ${ displaystyle j}$ bu dunyoni ko'rib chiqadi ${ displaystyle v}$ dunyoga mos kelishi mumkin ${ displaystyle w}$ (shu nuqtai nazardan). Biz haqorat bilan yozamiz ${ displaystyle w in { mathcal {M}}}$ uchun ${ displaystyle w in W}$ va ${ displaystyle R_ {j} (w)}$ olamlarning to'plamini bildiradi ${ displaystyle {v in W; (w, v) in R_ {j} }}$.

Intuitiv ravishda, a ishorali epistemik model ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w)}$, qayerda ${ displaystyle w in { mathcal {M}}}$, tashqi dunyodan qanday qilib haqiqiy dunyoni anglatadi ${ displaystyle w}$ agentlar tomonidan qabul qilinadi ${ displaystyle {AGTS}}$.

Har bir epistemik model uchun ${ displaystyle { mathcal {M}}}$, har bir ${ displaystyle w in { mathcal {M}}}$ va har bir ${ displaystyle phi in { mathcal {L}} _ { textsf {EL}}}$, biz aniqlaymiz ${ displaystyle { mathcal {M}}, w models phi}$ quyidagilar bo'yicha induktiv ravishda haqiqat shartlari:

${ displaystyle { mathcal {M}}, w modellar p}$	iff	${ displaystyle p in I (w)}$
${ displaystyle { mathcal {M}}, w models neg phi}$	iff	${ displaystyle { textrm {bu ~ ~ ~ holat emas ~ ~}} { mathcal {M}}, w models phi}$
${ displaystyle { mathcal {M}}, w models phi land psi}$	iff	${ displaystyle { mathcal {M}}, w models phi { textrm {~ and ~}} { mathcal {M}}, w models psi}$
${ displaystyle { mathcal {M}}, w modellar K_ {j} phi}$	iff	${ textstyle { textrm {for ~ all ~}} v in R_ {j} (w), { mathcal {M}}, v models phi}$
${ displaystyle { mathcal {M}}, w modellari C_ {A} phi}$	iff	${ displaystyle { textrm {for ~ all ~}} v in left ({ underset {j in A} { bigcup}} R_ {j} right) ^ {+} (w), { matematik {M}}, v models phi}$
${ displaystyle { mathcal {M}}, w modellar D_ {A} phi}$	iff	${ displaystyle { textrm {for ~ all ~}} v in { underset {j in A} { bigcap}} R_ {j} (w), { mathcal {M}}, v models phi}$

qayerda ${ displaystyle left ({ underset {j in A} { bigcup}} R_ {j} right) ^ {+}}$ bo'ladi o'tish davri yopilishi ning ${ displaystyle { underset {j in A} { bigcup}} R_ {j}}$: bizda shunday ${ displaystyle v in left ({ underset {j in A} { bigcup}} R_ {j} right) ^ {+} (w)}$ agar mavjud bo'lsa va faqat mavjud bo'lsa ${ displaystyle w_ {0}, ldots, w_ {m} in { mathcal {M}}}$ va ${ displaystyle j_ {1}, ldots, j_ {m} in A}$ shu kabi ${ displaystyle w_ {0} = w, w_ {m} = v}$ va hamma uchun ${ displaystyle i in {1, ldots, m }}$, ${ displaystyle w_ {i-1} R_ {j_ {i}} w_ {i}}$.

Umumiy e'tiqod tushunchasini tilga ibtidoiy sifatida kiritish kerakligiga qaramay, biz umumiy bilimga va tarqatilgan bilim operatorlariga haqiqat qiymatini berish uchun epistemik modellarning ta'rifini o'zgartirish shart emasligini anglashimiz mumkin.

Karta misoli:

Aktyorlar ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ va ${ displaystyle C}$ (Ann, Bob va Claire uchun turgan holda) uchta karta bilan karta o'yinini o'ynang: qizil, yashil va ko'k. Ularning har birida bitta karta bor, ammo ular boshqa o'yinchilarning kartalarini bilishmaydi. Enn qizil, Bob yashil va Kler ko'k kartochkaga ega. Ushbu misol uchli epistemik modelda tasvirlangan ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w)}$ quyida ko'rsatilgan. Ushbu misolda, ${ displaystyle AGTS: = {A, B, C }}$ va ${ displaystyle PROP: = {{ color {red} {A}}, { color {green} {B}}, { color {blue} {C}}, { color {red} {B} }, { color {green} {C}}, { color {blue} {A}}, { color {red}} {C}}, { color {green} {A}}, { color { ko'k} {B}} }}$. Har bir dunyo, bu dunyoda haqiqiy bo'lgan va propozitsion harflar bilan belgilanadi ${ displaystyle w}$ haqiqiy dunyoga mos keladi. Agent tomonidan indekslangan o'q mavjud ${ displaystyle j in {A, B, C }}$ mumkin bo'lgan dunyodan ${ displaystyle u}$ mumkin bo'lgan dunyoga ${ displaystyle v}$ qachon ${ displaystyle (u, v) R_ {j}} da$. Reflektiv strelkalar chiqarib tashlangan, ya'ni hamma uchun ${ displaystyle j in {A, B, C }}$ va barchasi ${ displaystyle v in { mathcal {M}}}$, bizda shunday ${ displaystyle (v, v) R_ {j}} da$.

Karta namunasi: uchli epistemik model ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, w)}$

${ displaystyle { color {red} {A}}}$ qisqartmasi: "${ displaystyle A}$ qizil kartochka bor "

${ displaystyle { color {blue} {C}}}$ turing: "${ displaystyle C}$ ko'k karta bor "

${ displaystyle { color {green} {B}}}$ qisqartmasi: "${ displaystyle B}$ yashil kartaga ega "

va hokazo...

Agar mavjudlik munosabatlari ekvivalentlik munosabatlari bo'lsa (masalan, ushbu misolda) va biz bunga egamiz ${ displaystyle (w, v) R_ {j}} da$, biz o'sha agentni aytamiz ${ displaystyle j}$ ajrata olmaydi dunyo ${ displaystyle w}$ dunyodan ${ displaystyle v}$ (yoki dunyo) ${ displaystyle w}$ dunyodan farq qilmaydi ${ displaystyle v}$ agent uchun ${ displaystyle j}$). Masalan, ${ textstyle A}$ haqiqiy dunyoni ajrata olmaydi ${ displaystyle w}$ mumkin bo'lgan dunyodan ${ displaystyle B}$ ko'k kartaga ega (${ displaystyle { color {blue} {B}}}$), ${ displaystyle C}$ yashil kartaga ega (${ displaystyle { color {green} {C}}}$) va ${ displaystyle A}$ hali ham qizil kartochka (${ displaystyle { color {red} {A}}}$).

Xususan, quyidagi bayonotlar mavjud:

${ displaystyle { mathcal {M}}, w modellari ({ color {red} {A}} land K_ {A} { color {red} {A}}) land ({ color {blue) } {C}} land K_ {C} { color {blue} {C}}) land ({ color {green} {B}} land K_ {B} { color {green} {B} })}$

"Barcha agentlar kartalarining rangini bilishadi".

${ displaystyle { mathcal {M}}, w modellari K_ {A} ({ color {blue} {B}} vee { color {green} {B}}) land K_ {A} ({ color {blue} {C}} vee { color {green} {C}})}$

'${ displaystyle A}$ buni biladi ${ displaystyle B}$ ko'k yoki yashil kartochkaga ega ${ displaystyle C}$ ko'k yoki yashil kartaga ega '.

${ displaystyle { mathcal {M}}, w modellar E ({ color {red} {A}} vee { color {blue} {A}} vee { color {green} {A}} ) land C ({ color {red} {A}} vee { color {blue} {A}} vee { color {green} {A}})}$

Buni hamma biladi ${ displaystyle A}$ qizil, yashil yoki ko'k kartochkaga ega va bu barcha agentlar orasida odatiy holdir.

E'tiqodga qarshi bilim

Xuddi shu yozuvni ishlatamiz ${ displaystyle K_ {j}}$ ham bilim, ham e'tiqod uchun. Shuning uchun, kontekstga qarab, ${ displaystyle K_ {j} phi}$ yoki "agent" ni o'qiydi ${ displaystyle j}$ Kendi shunday ${ displaystyle phi}$ ushlab turadi "yoki" agent ${ displaystyle j}$ Bbunga ishonadi ${ displaystyle phi}$ ushlab turadi ». Muhim farq shundaki, bilimdan farqli o'laroq, e'tiqod bo'lishi mumkin noto'g'ri: aksioma ${ displaystyle K_ {j} phi rightarrow phi}$ faqat bilim uchun, lekin ishonch uchun emas. Ushbu aksioma T deb nomlangan (haqiqat uchun) agar agent taklifni bilsa, demak, bu taklif haqiqatdir. Bu ko'pincha bilimning o'ziga xos belgisi hisoblanadi va u kiritilganidan beri hech qanday jiddiy hujumga duch kelmagan Teetetus tomonidan Aflotun.

Bilim tushunchasi kabi ba'zi boshqa cheklashlarga (yoki aksiomalarga) mos kelishi mumkin ${ displaystyle K_ {j} phi rightarrow K_ {j} K_ {j} phi}$: agar agent ${ displaystyle j}$ bir narsani biladi, u buni bilishini biladi. Ushbu cheklovlar kirish imkoniyatlari munosabatlarining xususiyatiga ta'sir qilishi mumkin ${ displaystyle R_ {j}}$ keyinchalik ba'zi qo'shimcha xususiyatlarga mos kelishi mumkin. Shunday qilib, endi biz epistemik modellarning ayrim sinflarini aniqlaymiz, bularning barchasi kirish imkoniyatlariga qo'shimcha cheklovlar keltirib chiqaradi. ${ displaystyle R_ {j}}$. Ushbu cheklovlar bilim operatori uchun maxsus aksiomalar bilan mos keladi ${ displaystyle K_ {j}}$. Har bir xususiyat ostida biz aksiomani beramiz belgilaydi^[15] ushbu xususiyatni bajaradigan epistemik ramkalar klassi. (${ displaystyle K phi}$ degan ma'noni anglatadi ${ displaystyle K_ {j} phi}$ har qanday kishi uchun $AGTS da { displaystyle j }$.)

Erişilebilirlik munosabatlarining xususiyatlari va tegishli aksiomalar

ketma-ket	${ displaystyle R (w) neq emptyset}$
D.	${ displaystyle K phi rightarrow langle K rangle phi}$
o'tish davri	${ displaystyle { textrm {R (w) ~ { textrm {va}} ~ w '' in R (w '), ~ { textrm {then}} ~ w' ' in R (w)}$
4	${ displaystyle K phi rightarrow KK phi}$
Evklidiklik	${ displaystyle { textrm {R (w) ~ { textrm {va}} ~ w '' in R (w), ~ { textrm {then}} ~ w ' R (w '')} da$
5	${ displaystyle neg K phi rightarrow K neg K phi}$
reflektiv	${ displaystyle w in R (w)}$
T	${ displaystyle K phi rightarrow phi}$
nosimmetrik	${ displaystyle { textrm {R} (w) ichida ~} u003d w, u003d, ~ { textrm {keyin}} ~ w R (w ')}$
B	${ displaystyle phi rightarrow K neg K neg phi}$
kelishgan	${ displaystyle { textrm {R (w) { textrm {~ va ~}} w '' in R (w), { textrm {bo'lsa ~ u erda ~ ~ mavjud ~}} v { textrm {~ such ~ that}} ~ v in R (w ') { textrm {~ and ~}} v in R (w' ')}$
.2	${ displaystyle langle K rangle K phi rightarrow K langle K rangle phi}$
zaif bog'langan	${ displaystyle { textrm {R (w) { textrm {~ va ~}} w '' in R (w), { textrm {~ then ~}} w '= w '' { textrm {~ yoki ~}} w ' in R (w' ') { textrm {~ yoki ~}} w' ' in R (w')}$
.3	${ displaystyle langle K rangle phi land langle K rangle psi rightarrow langle K rangle ( phi land psi) vee langle K rangle ( psi land langle K rangle phi) vee langle K rangle ( phi land langle K rangle psi)}$
yarim evklid	${ displaystyle { textrm {Agar R (w) { textrm {~ va ~}} da w} notin R (w '') { textrm {~ va ~}} w ' bo'lsa R (w) da, { textrm {~ keyin ~}} w '' R (w ')} da$
.3.2	${ displaystyle ( langle K rangle phi land langle K rangle K psi) rightarrow K ( langle K rangle phi vee psi)}$
R1	${ displaystyle { textrm {Agar R (w) ichida {} textrm {~ va ~}} w neq w '' { textrm {~ va ~}} w ' ichida R (agar) w), { textrm {~ then ~}} w '' in R (w ')}$
.4	${ displaystyle ( phi land langle K rangle K phi) rightarrow K phi}$

Yuqoridagi aksiomalarni muhokama qilamiz. 4-aksioma, agar agent taklifni bilsa, demak u buni bilishini biladi (bu aksioma "KK-printsipi" yoki "KK-tezis" nomi bilan ham tanilgan). Epistemologiyada 4-aksioma qabul qilishga moyildir ichki tarafdorlar, lekin emas eksternistlar.^[16] Axiom 4 shunga qaramay kompyuter olimlari tomonidan keng qabul qilinadi (shuningdek, ko'plab faylasuflar, shu jumladan Aflotun, Aristotel, Muqaddas Avgustin, Spinoza va Shopenhauer, kabi Xintikka eslaydi). Bilimlar mantig'i uchun ko'proq tortishuvli aksioma Evklidiklik uchun 5-aksiyomdir: bu aksioma agar agent taklifni bilmasa, demak u buni bilmasligini biladi. Aksariyat faylasuflar (Xintikkani ham o'z ichiga olgan holda) ushbu aksiomaga hujum qilishdi, chunki kundalik hayotdagi ko'plab misollar uni bekor qiladi.^[17] Umuman olganda, agent 5-sonli aksioma noto'g'ri e'tiqodga ega bo'lsa, bekor qilinadi, buning sababi noto'g'ri tushunchalar, yolg'on yoki aldashning boshqa turlari bo'lishi mumkin. Axiom B, agentning yolg'on taklifni bilishi mumkin bo'lgan holat bo'lishi mumkin emasligini aytadi (ya'ni, ${ displaystyle neg ( neg phi land neg K neg K phi)}$). Agar biz T va 4 aksiomalarini to'g'ri deb hisoblasak, u holda B aksiyomasi 5 aksiyomasi hujumi bilan bir xil hujumga uchraydi, chunki bu aksioma hosil bo'ladi. Axiom D agentning e'tiqodlari izchil ekanligini ta'kidlaydi. Aksioma K bilan birgalikda (bu erda bilim operatori e'tiqod operatori bilan almashtiriladi), D aksiomasi aslida D 'aksiyomasiga tengdir, bu agentning e'tiqodlari zid bo'lishi mumkin emasligini aniqroq ifodalaydi: ${ displaystyle neg B bot}$. Boshqa murakkab .2, .3, .3.2 va .4 aksiomalarini 1970 yillarda Lenzen va Kutchera kabi epistemik mantiqchilar kiritgan.^[10][18] va ularning ba'zilari uchun epistemik mantiqning asosiy aksiomalari sifatida taqdim etilgan. Ular bilimlar va e'tiqodlar bilan bog'liq intuitiv o'zaro ta'sir aksiomalari nuqtai nazaridan tavsiflanishi mumkin.^[19]

Aksiomatizatsiya

Hilbert isbot tizimi K asosiy uchun modal mantiq quyidagilar bilan belgilanadi aksiomalar va xulosa qilish qoidalari: Barcha uchun $AGTS da { displaystyle j }$,

Isbot tizimi ${ displaystyle { textsf {K}}}$ uchun ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL}}$

Prop	Ning barcha aksiomalari va xulosa qoidalari taklif mantig'i
K	${ displaystyle K_ {j} ( phi rightarrow psi) rightarrow (K_ {j} phi rightarrow K_ {j} psi)}$
Nek	Agar ${ displaystyle phi}$ keyin ${ displaystyle K_ {j} phi}$

Epistemik mantiq aksiomalari agentlarning fikrlash tarzini aniq ko'rsatib beradi. Masalan, K aksiomasi Nek xulosasi qoidasi bilan birga, agar bilsam, buni keltirib chiqaradi ${ displaystyle phi}$ (${ displaystyle K phi}$) va men buni bilaman ${ displaystyle phi}$ nazarda tutadi ${ displaystyle psi}$ (${ displaystyle K ( phi rightarrow psi))}$ keyin men buni bilaman ${ displaystyle psi}$ (${ displaystyle K psi}$). Kuchli cheklovlar qo'shilishi mumkin. Quyidagi isbotlovchi tizimlar uchun ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { textsf {EL}}}$ adabiyotda tez-tez ishlatiladi.

Uchun umumiy isbot tizimlari ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL}}$

KD45

=

K + D + 4 + 5

S4.2

=

S4 + .2

S4.3.2

=

S4 + .3.2

S5

=

S4 + 5

S4

=

K + T + 4

S4.3

=

S4 + .3

S4.4

=

S4 + .4

Br

=

K + T + B

Biz isbotlash tizimlari to'plamini aniqlaymiz ${ displaystyle mathbb {L} _ { textsf {EL}}: = {{ textsf {K}}, { textsf {KD45}}, { textsf {S4}}, { textsf {S4. 2}}, { textsf {S4.3}}, { textsf {S4.3.2}}, { textsf {S4.4}}, { textsf {S5}} }}$.

Bundan tashqari, hamma uchun ${ displaystyle { mathcal {H}} in mathbb {L} _ { textsf {EL}}}$, biz isbotlash tizimini aniqlaymiz ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ { textsf {C}}}$ quyidagilarni qo'shish orqali aksioma sxemalari va xulosa chiqarish qoidalari ularga ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Barcha uchun ${ displaystyle A subseteq AGTS}$,

Dis	${ displaystyle K_ {j} phi rightarrow D_ {A} phi}$
Aralash	${ displaystyle C_ {A} phi rightarrow E_ {A} ( phi land C_ {A} phi)}$
Ind	${ displaystyle { textrm {if ~}} phi rightarrow E_ {A} ( psi land phi) { textrm {~ then ~}} phi rightarrow C_ {A} psi}$

Bilimlarni isbotlash tizimlarining nisbiy kuchi quyidagicha:

${ displaystyle { textsf {S4}} subset { textsf {S4.2}} subset { textsf {S4.3}} subset { textsf {S4.3.2}} subset { textsf {S4 .4}} subset { textsf {S5}}.}$

Shunday qilib, hamma teoremalar ning ${ displaystyle { textsf {S4.2}}}$ ning teoremalari ham mavjud ${ displaystyle { textsf {S4.3}}, { textsf {S4.3.2}}, { textsf {S4.4}}}$ va ${ displaystyle { textsf {S5}}}$. Ko'plab faylasuflarning fikriga ko'ra, eng umumiy holatlarda bilimlarning mantiqiyligi ${ displaystyle { textsf {S4.2}}}$ yoki ${ displaystyle { textsf {S4.3}}}$.^[18][20] Odatda, kompyuter fanida va sun'iy intellektda ishlab chiqilgan ko'plab nazariyalarda e'tiqod mantig'i (doksastik mantiq) qabul qilinadi ${ displaystyle { textsf {KD45}}}$ va bilim mantiqi (epistemik mantiq) qabul qilinadi ${ displaystyle { textsf {S5}}}$, xatto .. bo'lganda ham ${ displaystyle { textsf {S5}}}$ faqat agentlar noto'g'ri e'tiqodga ega bo'lmagan holatlarga mos keladi.^[17] ${ displaystyle { textsf {Br}}}$ Floridi tomonidan "ma'lumot olish" tushunchasining mantig'i sifatida ilgari surilgan bo'lib, u asosan bilim mantig'idan agentlarga nisbatan introspektivaning yo'qligi bilan farq qiladi.^[21]

Barcha uchun ${ displaystyle { mathcal {H}} in mathbb {L} _ { textsf {EL}}}$, sinf ${ displaystyle { mathcal {H}}}$- modellar yoki ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ { textsf {C}}}$- modellar - ning aksiomalarida belgilangan, yuqorida keltirilgan xususiyatlarni qondiradigan epistemik modellar klassi ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ yoki ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ { textsf {C}}}$. Keyin, hamma uchun ${ displaystyle { mathcal {H}} in mathbb {L} _ { textsf {EL}}}$, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ bu tovush va to'liq yakunlandi uchun ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { textsf {EL}}}$ w.r.t. sinf ${ displaystyle { mathcal {H}}}$- modellar va ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ { textsf {C}}}$ bu tovush va to'liq yakunlandi uchun ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { textsf {EL}} ^ { textsf {C}}}$ w.r.t. sinf ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ { textsf {C}}}$- modellar.

Qarorlilik va murakkablik

The qoniqish muammosi joriy qilingan barcha mantiqlar uchun hal qiluvchi. Biz quyida keltirilgan hisoblash murakkabligi ularning har biri uchun qoniqish darajasi muammosi. E'tibor bering, agar tilda juda ko'p sonli taklif harflari bo'lsa, u vaqt o'tishi bilan chiziqli bo'ladi. Uchun ${ displaystyle n geq 2}$, agar biz cheklangan uyalashni cheklasak, unda qoniqish darajasi muammosi To'liq emas ko'rib chiqilgan barcha modal mantiqlar uchun. Agar biz tilni faqat cheklangan miqdordagi ibtidoiy takliflarga ega bo'lish bilan cheklasak, murakkablik barcha holatlarda vaqt bo'yicha chiziqli bo'ladi.^[22][23]

Muvofiqlik muammosining murakkabligi

Mantiq	${ displaystyle n = 1}$	${ displaystyle n geq 2}$	umumiy bilimga ega
K, S4	PSPACE	PSPACE	MAQSAD
KD45	NP	PSPACE	MAQSAD
S5	NP	PSPACE	MAQSAD

Ning hisoblash murakkabligi modelni tekshirish muammosi ichida P barcha holatlarda.

Dinamikani qo'shish

Dynamic Epistemic Logic (DEL) - bu bir nechta agentlarni qamrab olgan epistemik vaziyatlarni modellashtirish uchun mantiqiy asos bo'lib, kiruvchi ma'lumot yoki umuman kiruvchi harakatlar natijasida ushbu holatlarda yuzaga keladigan o'zgarishlar. DEL metodologiyasi shundan iboratki, u agentlarning e'tiqodi va bilimlarini ifodalash vazifasini uch qismga ajratadi:

1. An tufayli dastlabki holatga bo'lgan ishonchlarini ifodalaydi epistemik model;
2. Biror kishi ushbu vaziyatda sodir bo'layotgan voqea haqidagi e'tiqodlarini an voqea modeli;
3. Ulardan biri agentlarning voqea sodir bo'lganidan keyin (yoki sodir bo'lgan paytdagi) vaziyatga bo'lgan ishonchlarini yangilash usulini anglatadi mahsulotni yangilash.

Odatda, informatsion voqea formulaning barcha agentlariga ommaviy e'lon bo'lishi mumkin ${ displaystyle psi}$: ushbu ommaviy e'lon va korrelyatsion yangilanish dinamik qismni tashkil etadi. Biroq, epistemik hodisalar oddiy ommaviy e'lonlarga qaraganda ancha murakkabroq bo'lishi mumkin, shu jumladan ba'zi agentlar uchun ma'lumotni yashirish, aldash, yolg'on gapirish, qabartish, va boshqalar. Ushbu murakkablik, voqea modeli tushunchasini kiritganimizda ko'rib chiqiladi. Dastlab biz DELning asosiy g'oyalari sezgisini olish uchun ommaviy e'lonlarga e'tibor qaratamiz.

Ommaviy tadbirlar

Ushbu bo'limda biz barcha tadbirlar ommaviy deb o'ylaymiz. Nima sodir bo'layotganini yaxshiroq tushunish uchun biz DEL-dan foydalanish mumkin bo'lgan aniq misolni keltiramiz. Ushbu misol loyli bolalar jumboq. Keyin, biz ushbu jumboqning mantiqiy ravishda rasmiylashtirilishini taqdim etamiz Ommaviy e'lon mantig'i (PAL). Loyqa bolalar jumboqlari DELning rivojlanishida rol o'ynagan eng taniqli jumboqlardan biridir. Boshqa muhim jumboqlarga quyidagilar kiradi summa va mahsulot jumboq, Monty Xoll ikkilanishi, Rossiya kartalari muammosi, ikkita konvert muammosi, Mur paradoksi, osma paradoks, va boshqalar.^[24]

Muddy bolalar namunasi:

A va B ismli ikkita farzandimiz bor, ikkalasi ham iflos. A B ni ko'radi, lekin o'zini ko'rmaydi, B esa A ni ko'radi, lekin o'zini ko'rmaydi. Ruxsat bering ${ displaystyle p}$ A ifloslanganligini bildiruvchi taklif bo'ling va ${ displaystyle q}$ B harom ekanligini bildiruvchi taklif bo'ling.

1. Biz dastlabki vaziyatni aniq epistemik model bilan ifodalaymiz ${ displaystyle ({ mathcal {N}}, s)}$ Quyida keltirilgan, bu erda olamlar o'rtasidagi munosabatlar ekvivalent munosabatlardir. Shtatlar ${ displaystyle s, t, u, v}$ intuitiv ravishda mumkin bo'lgan olamlarni, taklifni ifodalaydi (masalan.) ${ displaystyle p}$) ushbu olamlarning birida qoniqish, intuitiv ravishda, tegishli mumkin bo'lgan dunyoda intuitiv talqin qilinishini anglatadi. ${ displaystyle p}$ (A iflos) to'g'ri. Agentlar (A yoki B) tomonidan belgilangan dunyolar o'rtasidagi aloqalar intuitiv ravishda ikkita mumkin bo'lgan dunyo o'rtasida xavf ostida bo'lgan agentni ajratib bo'lmaydigan tushunchasini ifodalaydi. Masalan, orasidagi bog'lanish ${ displaystyle s}$ va ${ displaystyle t}$ A tomonidan intuitiv ravishda belgilanadigan narsa, A mumkin bo'lgan dunyoni ajrata olmasligini anglatadi ${ displaystyle s}$ dan ${ displaystyle t}$ va aksincha. Darhaqiqat, A o'zini ko'ra olmaydi, shuning uchun u iflos bo'lgan va iflos bo'lmagan dunyoni ajrata olmaydi. Biroq, u B ni ko'rganligi sababli u B iflos bo'lgan yoki yo'q bo'lgan olamlarni ajrata oladi, chunki bu intuitiv talqin bilan biz dunyolar o'rtasidagi munosabatlarimiz ekvivalentlik munosabatlari deb o'ylaymiz.
   

   Dastlabki vaziyat: aniq epistemik model ${ displaystyle ({ mathcal {N}}, s)}$
2. Endi, ularning otalari kelib, hech bo'lmaganda bittasi iflos (rasmiy ravishda, ${ displaystyle p vee q}$). Keyin biz modelni yangilaymiz va bu quyida keltirilgan aniq epistemik modelni beradi. Biz aslida nima qilsak, e'lonning mazmuni bajarilmagan dunyoni bostirmoqdamiz. Bizning holatlarimizda bu dunyo ${ displaystyle neg p}$ va ${ displaystyle neg q}$ haqiqat Ushbu bostirishni biz yangilash deb ataymiz. Keyin quyida tasvirlangan modelni olamiz. E'lon natijasida A va B ikkalasi ham ulardan bittasi iflos ekanligini bilishadi. Biz buni epistemik modeldan o'qishimiz mumkin.
   

   Birinchi e'londan so'ng epistemik model yangilandi ${ displaystyle p vee q}$
3. Endi ularning iflosligini bilmaydigan ikkinchi (va yakuniy) e'lon mavjud deb taxmin qiling (e'lon agentliklarning bilimlari haqidagi epistemik faktlar bilan bir qatorda vaziyat to'g'risida faktlarni ham ifodalashi mumkin). Keyin biz xuddi shu modelni e'lon mazmunini qondirmaydigan olamlarni bostirish yoki shunga o'xshash tarzda e'lonni qondiradigan olamlarni ushlab turish orqali yangilaymiz. Ushbu yangilanish jarayoni quyida keltirilgan epistemik modelni keltirib chiqaradi. Ushbu modelni talqin qilish orqali biz A va B ikkalasi ham iflos ekanligini bilamiz, bu esa e'lon mazmuniga zid keladigan ko'rinadi. Ammo, agar biz A va B ikkalasi ham mukammal mulohazalar deb hisoblasak va bu ular orasida keng tarqalgan bilimdir, demak, bu xulosa mukammal ma'noga ega.

Ikkinchi e'londan keyin epistemik model yangilandi

Ochiq e'lon qilish mantig'i (PAL):

Sintaksisini va semantikasini taqdim etamiz Ommaviy e'lon mantig'i (PAL), bu epistemik mantiq va propozitsion dinamik mantiq.^[25]

Biz belgilaymiz til ${ displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}}$ quyidagilar bo'yicha induktiv ravishda grammatika yilda BNF:

${ displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}: phi ~~ :: = ~~ p ~ mid ~ neg phi ~ mid ~ ( phi land phi) ~ mid ~ K_ {j} phi ~ mid ~ [ phi!] Phi}$

qayerda $AGTS da { displaystyle j }$.

Til ${ displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}}$ epistemik modellar asosida talqin etiladi. The haqiqat shartlari chunki epistemik tilning bog'lovchilari epistemik mantiq bilan bir xil (yuqoriga qarang). Yangi dinamik harakat modali uchun haqiqat sharti ${ displaystyle [ psi!] phi}$ quyidagicha belgilanadi:

${ displaystyle { mathcal {M}}, w models [ psi!] phi}$

iff

${ displaystyle { mbox {if}} { mathcal {M}}, w models psi { mbox {then}} { mathcal {M}} ^ { psi}, w models phi}$

qayerda ${ displaystyle { mathcal {M}} ^ { psi}: = (W ^ { psi}, R_ {1} ^ { psi}, ldots, R_ {n} ^ { psi}, I ^ { psi})}$ bilan

${ displaystyle W ^ { psi}: = {w in W; { mathcal {M}}, w models psi }}$,

${ displaystyle R_ {j} ^ { psi}: = R_ {j} cap (W ^ { psi} times W ^ { psi})}$ Barcha uchun ${ displaystyle j in {1, ldots, n }}$ va

${ displaystyle I ^ { psi} (w): = I (w) { textrm {~ for ~ all ~}} w in W ^ { psi}}$.

Formula ${ displaystyle [ psi!] phi}$ intuitiv ravishda haqiqat e'lon qilinganidan keyin buni anglatadi ${ displaystyle psi}$, ${ displaystyle phi}$ ushlab turadi. Taklifni ommaviy e'lon qilish ${ displaystyle psi}$ quyidagi epistemik modelni quyidagi rasmdagi kabi o'zgartiradi.

Hozirda qoniqtirmaydigan barcha olamlarni yo'q qiling ${ displaystyle psi}$

Dalil tizimi ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {PAL}}$ quyida keltirilgan tovush va to'liq yakunlandi uchun ${ displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}}$ w.r.t. barcha yo'naltirilgan epistemik modellar sinfi.

${ displaystyle { textsf {K}}}$		Aksiomalar va isbotlash tizimining xulosa qilish qoidalari ${ displaystyle { textsf {K}}}$(yuqoriga qarang)
Qizil 1		${ displaystyle [ psi!] p leftrightarrow ( psi rightarrow p)}$
Qizil 2		${ displaystyle [ psi!] neg phi leftrightarrow ( psi rightarrow neg [ psi!] phi)}$
Qizil 3		${ displaystyle [ psi!] ( phi land chi) leftrightarrow ([ psi!] phi land [ psi!] chi)}$
Qizil 4		${ displaystyle [ psi!] K_ {i} phi leftrightarrow left ( psi rightarrow K_ {i} ( psi rightarrow [ psi!] phi) right)}$

Qizil 1 - Qizil 4 aksiomalariga deyiladi kamaytirish aksiomalari chunki ular ning har qanday formulasini kamaytirishga imkon beradi ${ displaystyle {{ mathcal {L}} _ {PAL}}}$ ning isbotlanadigan teng keladigan formulasiga ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {EL}}$ yilda ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {PAL}}$. Formula ${ displaystyle [q!] Kq}$ a teorema isbotlanadigan ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {PAL}}$. Unda e'lon qilinganidan keyin ${ displaystyle q}$, agent buni biladi ${ displaystyle q}$ ushlab turadi.

PAL hal qiluvchi, uning modelni tekshirish muammosi ichida hal qilinadi polinom vaqti va uning qoniqish muammosi bu PSPACE tugallandi.^[26]

Muddy bolalar jumboq PAL bilan rasmiylashtirildi:

PAL-da rasmiylashtirilgan loyli bolalar jumboqidagi ba'zi bayonotlar.

${ displaystyle { mathcal {N}}, s models p land q}$

'Dastlabki vaziyatda A iflos, B iflos'.

${ displaystyle { mathcal {N}}, s modellari ( neg K_ {A} p land neg K_ {A} neg p) land ( neg K_ {B} q land neg K_ { B} neg q)}$

'Dastlabki vaziyatda A o'zini iflosligini bilmaydi va B ham yo'q'.

${ displaystyle { mathcal {N}}, s modellari [p vee q!] (K_ {A} (p vee q) land K_ {B} (p vee q))}$

"A va B bolalardan kamida bittasi iflos ekanligi to'g'risida jamoatchilik e'lonidan so'ng, ikkalasi ham ularning kamida bittasi iflos ekanligini bilishadi". Biroq:

${ displaystyle { mathcal {N}}, s modellari [p vee q!] (( neg K_ {A} p land neg K_ {A} neg p) land ( neg K_ {B } q land neg K_ {B} neg q))}$

"A va B bolalardan kamida bittasi iflos" degan jamoatchilik e'lonidan so'ng, ular hali ham iflos ekanliklarini bilishmaydi '. Bundan tashqari:

${ displaystyle { mathcal {N}}, s modellari [p vee q!] [( neg K_ {A} p land neg K_ {A} neg p) land ( neg K_ {B } q land neg K_ {B} neg q)!] (K_ {A} p land K_ {B} q)}$

"A va B bolalardan kamida bittasi iflos va ular hali ham iflos yoki yo'qligini bilmaymiz" degan ketma-ket ommaviy e'lonlardan so'ng, A va B ikkalasi ham iflos ekanligini bilishadi.

Ushbu so'nggi bayonotda biz ishda yangilanish jarayonining qiziqarli xususiyatini ko'ramiz: formulalar e'lon qilinganidan keyin albatta to'g'ri kelmaydi. Biz buni texnik jihatdan "o'z-o'zini qat'iyatlilik" deb ataymiz va bu muammo epistemik formulalar uchun yuzaga keladi (propozitsion formulalardan farqli o'laroq). E'londa kodlangan ba'zi ma'lumotlarni bekor qilishi mumkin bo'lgan e'lon va ushbu e'lon bilan bog'liq yangilanishni chalkashtirmaslik kerak.^[27]

O'zboshimchalik bilan sodir bo'lgan hodisalar

In this section, we assume that events are not necessarily public and we focus on items 2 and 3 above, namely on how to represent events and on how to update an epistemic model with such a representation of events by means of a product update.

Event Model

Epistemic models are used to model how agents perceive the actual world. Their perception can also be described in terms of knowledge and beliefs about the world and about the other agents’ beliefs. The insight of the DEL approach is that one can describe how an event is perceived by the agents in a very similar way. Indeed, the agents’ perception of an event can also be described in terms of knowledge and beliefs. For example, the private announcement of ${ displaystyle A}$ ga ${ displaystyle B}$ that her card is red can also be described in terms of knowledge and beliefs: while ${ displaystyle A}$ aytadi ${ displaystyle B}$ that her card is red (event ${ displaystyle e}$) ${ displaystyle C}$ ishonadi that nothing happens (event ${ displaystyle f}$). This leads to define the notion of event model whose definition is very similar to that of an epistemic model.

A pointed event model ${displaystyle ({mathcal {E}},e)}$ represents how the actual event represented by ${ displaystyle e}$ is perceived by the agents. Intuitiv ravishda, ${displaystyle fin R_{j}(e)}$ means that while the possible event represented by ${ displaystyle e}$ is occurring, agent ${ displaystyle j}$ considers possible that the possible event represented by ${ displaystyle f}$ is actually occurring.

An voqea modeli bu koridor ${displaystyle {mathcal {E}}=(W^{alpha },R_{1}^{alpha },ldots ,R_{m}^{alpha },I^{alpha })}$ qaerda:

• ${displaystyle W^{alpha }}$ is a non-empty set of possible events,
• ${displaystyle R_{j}^{alpha }subseteq W^{alpha } imes W^{alpha }}$ is a binary relation called an accessibility relation kuni ${displaystyle W^{alpha }}$, har biriga ${displaystyle jin AGTS}$,
• ${displaystyle I^{alpha }:W^{alpha } ightarrow {mathcal {L}}_{ extsf {EL}}}$ is a function called the precondition function assigning to each possible event a formula of ${displaystyle {mathcal {L}}_{ extsf {EL}}}$.

${displaystyle R_{j}^{alpha }(e)}$ denotes the set ${displaystyle {fin W^{alpha };(e,f)in R_{j}^{alpha }}}$ .We write ${displaystyle ein {mathcal {E}}}$ uchun ${displaystyle ein W^{alpha }}$va ${displaystyle ({mathcal {E}},e)}$ deyiladi a pointed event model (${ displaystyle e}$ often represents the actual event).

Card Example:

Let us resume the card example and assume that players ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ show their card to each other. Ma'lum bo'lishicha, ${ displaystyle C}$ buni payqadim ${ displaystyle A}$ showed her card to ${ displaystyle B}$ but did not notice that ${ displaystyle B}$ did so to ${ displaystyle A}$. Aktyorlar ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ know this. This event is represented below in the event model ${displaystyle ({mathcal {E}},e)}$.

The possible event ${ displaystyle e}$ corresponds to the actual event ‘players ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ show their and cards respectively to each other’ (with precondition ${displaystyle {color {red}{A}}land {color {green}{B}}}$), ${ displaystyle f}$ stands for the event ‘player ${ displaystyle A}$ shows her green card’ (with precondition ${displaystyle {color {green}{A}}}$) va ${ displaystyle g}$ stands for the atomic event ‘player ${ displaystyle A}$ shows her red card’ (with precondition ${displaystyle {color {red}{A}}}$). Aktyorlar ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ show their cards to each other, players ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ know this and consider it possible, while player ${ displaystyle C}$ considers possible that player ${ displaystyle A}$ shows her red card and also considers possible that player ${ displaystyle A}$ shows her green card, since he does not know her card. In fact, that is all that player ${ displaystyle C}$ considers possible because she did not notice that ${ displaystyle B}$ showed her card.

Pointed event model ${displaystyle ({mathcal {E}},e)}$: Players A and B show their cards to each other in front of player C

Another example of event model is given below. This second example corresponds to the event whereby Player ${ displaystyle A}$ shows her red card publicly to everybody. Aktyor ${ displaystyle A}$ shows her red card, players ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ va ${ displaystyle C}$ ‘know’ it, players ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ va ${ displaystyle C}$ ‘know’ that each of them ‘knows’ it, va boshqalar. In other words, there is umumiy bilim among players ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ va ${ displaystyle C}$ that player ${ displaystyle A}$ shows her red card.

Pointed event model ${displaystyle ({mathcal {F}},e)}$

Product Update

The DEL product update is defined below.^[5] This update yields a new pointed epistemic model ${displaystyle ({mathcal {M}},w)otimes ({mathcal {E}},e)}$ representing how the new situation which was previously represented by ${displaystyle ({mathcal {M}},w)}$ is perceived by the agents after the occurrence of the event represented by ${displaystyle ({mathcal {E}},e)}$.

Ruxsat bering ${displaystyle {mathcal {M}}=(W,R_{1},ldots ,R_{n},I)}$ be an epistemic model and let ${displaystyle {mathcal {E}}=(W^{alpha },R_{1}^{alpha },ldots ,R_{n}^{alpha },I^{alpha })}$ be an event model. The product update ning ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ va ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ is the epistemic model ${displaystyle {mathcal {M}}otimes {mathcal {mathcal {E}}}=(W^{otimes },R_{1}^{otimes },ldots ,R_{n}^{otimes },I^{otimes })}$ defined as follows: for all ${ displaystyle v in W}$ va barchasi ${displaystyle fin W^{alpha }}$,

${displaystyle W^{otimes }}$	=	${displaystyle {(v,f)in W imes W^{alpha };{mathcal {M}},vmodels I^{alpha }(f)}}$
${displaystyle R_{j}^{otimes }(v,f)}$	=	${displaystyle {(u,g)in W^{otimes };uin R_{j}(v){ extrm {~and~}}gin R_{j}^{alpha }(f)}}$
${displaystyle I^{otimes }(v,f)}$	=	${displaystyle I(v)}$

Agar ${displaystyle win W}$ va ${displaystyle ein W^{alpha }}$ shundaymi? ${displaystyle {mathcal {M}},wmodels I^{alpha }(e)}$ keyin ${displaystyle ({mathcal {M}},w)otimes ({mathcal {E}},e)}$ denotes the pointed epistemic model ${displaystyle ({mathcal {M}}otimes {mathcal {E}},(w,e))}$. This definition of the product update is conceptually grounded.^[6]

Card Example:

As a result of the first event described above (Players ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ show their cards to each other in front of player ${ displaystyle C}$), the agents update their beliefs. We get the situation represented in the pointed epistemic model ${displaystyle ({mathcal {M}},w)otimes ({mathcal {E}},e)}$ quyida. In this pointed epistemic model, the following statement holds: ${displaystyle ({mathcal {M}},w)otimes ({mathcal {E}},e)models ({color {green}{B}}land K_{A}{color {green}{B}})land K_{C} eg K_{A}{color {green}{B}}.}$ It states that player ${ displaystyle A}$ knows that player ${ displaystyle B}$ has the card but player ${ displaystyle C}$ 'believes' that it is not the case.

Updated pointed epistemic model ${displaystyle ({mathcal {M}},w)otimes ({mathcal {E}},e)}$

The result of the second event is represented below. In this pointed epistemic model, the following statement holds: ${displaystyle ({mathcal {M}},w)otimes ({mathcal {F}},e)models C_{{B,C}}({color {red}{A}}land {color {green}{B}}land {color {blue}{C}})land eg K_{A}({color {green}{B}}land {color {blue}{C}})}$. It states that there is common knowledge among ${ displaystyle B}$ va ${ displaystyle C}$ that they know the true state of the world (namely ${ displaystyle A}$ has the red card, ${ displaystyle B}$ has the green card and ${ displaystyle C}$ has the blue card), but ${ displaystyle A}$ does not know it.

Updated pointed epistemic model ${displaystyle ({mathcal {M}},w)otimes ({mathcal {F}},e)}$

Based on these three components (epistemic model, event model and product update), Baltag, Moss and Solecki defined a general logical language inspired from the logical language of propositional dynamic logic^[25] to reason about information and knowledge change.^[5][6]

Shuningdek qarang

• Epistemik mantiq
• Epistemologiya
• Informatikadagi mantiq
• Modal mantiq

Izohlar

Adabiyotlar

• van Benthem, Johan (2011). Logical Dynamics of Information and Interaction. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  978-0521873970.
• Hans, van Ditmarsch; Halpern, Joseph; van der Hoek, Wiebe; Kooi, Barteld (2015). Handbook of Epistemic Logic. London: College publication. ISBN  978-1848901582.
• van Ditmarsch, Hans, van der Hoek, Wiebe, and Kooi, Barteld (2007). Dynamic Epistemic Logic. Ithaca: volume 337 of Synthese library. Springer. ISBN  978-1-4020-5839-4.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
• Fagin, Ronald; Halpern, Joseph; Moses, Yoram; Vardi, Moshe (2003). Reasoning about Knowledge. Kembrij: MIT Press. ISBN  978-0-262-56200-3. A classic reference.
• Xintikka, Jaakko (1962). Knowledge and Belief - An Introduction to the Logic of the Two Notions. Itaka: Kornell universiteti matbuoti. ISBN  978-1-904987-08-6..

Tashqi havolalar

• Baltag, Alexandru; Renne, Bryan. "Dynamic Epistemic Logic". Yilda Zalta, Edvard N. (tahrir). Stenford falsafa entsiklopediyasi.
• van Ditmarsch, Hans; van der Hoek, Wiebe; Kooi, Barteld. "Dynamic Epistemic Logic". Internet falsafasi entsiklopediyasi.
• Hendricks, Vincent; Symons, Jon. "Epistemic Logic". Yilda Zalta, Edvard N. (tahrir). Stenford falsafa entsiklopediyasi.
• Garson, James. "Modal logic". Yilda Zalta, Edvard N. (tahrir). Stenford falsafa entsiklopediyasi.