Eyzenshteyn seriyasi - Eisenstein series

Eyzenshteyn seriyasi, nemis matematikasi nomi bilan atalgan Gotthold Eyzenshteyn, xususan modulli shakllar bilan cheksiz qatorlar to'g'ridan-to'g'ri yozilishi mumkin bo'lgan kengayishlar. Dastlab. Uchun belgilangan modulli guruh, Eyzenshteyn qatorini nazariyasida umumlashtirish mumkin avtomorf shakllar.

Modulli guruh uchun Eyzenshteyn seriyasi

Ning haqiqiy qismi

G 6

funktsiyasi sifatida

q

ustida birlik disk. Salbiy raqamlar qora.

Ning xayoliy qismi

G 6

funktsiyasi sifatida

q

birlik diskida.

Ruxsat bering $τ$ bo'lishi a murakkab raqam qat'iy ijobiy bilan xayoliy qism. Aniqlang holomorf Eyzenshteyn seriyasi $G 2 k (τ)$ vazn $2 k$ , qayerda $k \geq 2$ quyidagi qator bo'yicha butun son:

{ displaystyle G_ {2k} ( tau) = sum _ {(m, n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {1} {(m +) n tau) ^ {2k}}}.}

Ushbu seriya mutlaqo birlashadi ning holomorfik funktsiyasiga $τ$ ichida yuqori yarim tekislik va uning quyida keltirilgan Fourier kengayishi uning at-da holomorf funktsiyaga qadar cho'zilishini ko'rsatadi $τ = men \infty$ . Eyzenshteyn seriyasining a ekanligi ajoyib fakt modulli shakl. Darhaqiqat, asosiy xususiyat unga tegishli $SL (2, ℤ)$ - o'zgarmaslik. Agar aniq bo'lsa $a, b, v, d \in ℤ$ va $reklama - miloddan avvalgi = 1$ keyin

{ displaystyle G_ {2k} chap ({ frac {a tau + b} {c tau + d}} right) = (c tau + d) ^ {2k} G_ {2k} ( tau) )}

(Dalil)

{ displaystyle { begin {aligned} G_ {2k} chap ({ frac {a tau + b} {c tau + d}} right) & = sum _ {(m, n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {1} { chap (m + n { frac {a tau + b} {c tau + d}} o'ng ) ^ {2k}}} & = sum _ {(m, n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {(c tau + d) ^ {2k}} {(md + nb + (mc + na) tau) ^ {2k}}} & = sum _ { left (m ', n' right) = (m, n) { begin {pmatrix} d c b a end {pmatrix}} atop (m, n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {(c tau + d) ^ {2k}} { chap (m '+ n' tau right) ^ {2k}}} end {aligned}}}

Agar $reklama - miloddan avvalgi = 1$ keyin

{ displaystyle { begin {pmatrix} d & c b & a end {pmatrix}} ^ {- 1} = { begin {pmatrix} a & -c - b & d end {pmatrix}}}

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

{ displaystyle (m, n) mapsto (m, n) { begin {pmatrix} d & c b & a end {pmatrix}}}

bijection hisoblanadi $ℤ 2 \to ℤ 2$ , ya'ni:

{ displaystyle sum _ { chap (m ', n' o'ng) = (m, n) { begin {pmatrix} d c b a end {pmatrix}} atop (m) , n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {1} { left (m '+ n' tau right) ^ {2k}}} = sum _ { chap (m ', n' o'ng) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {1} {(m '+ n' tau) ^ {2k}}} = G_ {2k} ( tau)}

Umuman olganda, agar $reklama - miloddan avvalgi = 1$ keyin

{ displaystyle G_ {2k} chap ({ frac {a tau + b} {c tau + d}} right) = (c tau + d) ^ {2k} G_ {2k} ( tau) )}

va $G 2 k$ shuning uchun og'irlikning modulli shakli hisoblanadi $2 k$ . Shuni nazarda tutish muhimligini unutmang $k \geq 2$ , aks holda yig'ish tartibini o'zgartirish noqonuniy bo'ladi va $SL (2, ℤ)$ -inversiya ushlab turolmaydi. Darhaqiqat, vaznning nodavlat modulli shakllari mavjud emas. Shunga qaramay, holomorfik Eyzenshteyn seriyasining analogini hatto $k = 1$ , garchi bu faqat a kvazimodulyar shakl.

Modulli invariantlarga munosabat

The modulli invariantlar $g 2$ va $g 3$ ning elliptik egri chiziq birinchi ikkita Eyzenshteyn seriyasi tomonidan berilgan:

{ displaystyle { begin {aligned} g_ {2} & = 60G_ {4} g_ {3} & = 140G_ {6}. end {aligned}}}

Modulli invariantlar haqidagi maqolada ushbu ikki funktsiya uchun ifodalar berilgan teta funktsiyalari.

Takrorlanish munosabati

Modulli guruh uchun har qanday holomorfik modulli shaklni in polinom sifatida yozish mumkin $G 4$ va $G 6$ . Xususan, yuqori tartib $G 2 k$ jihatidan yozilishi mumkin $G 4$ va $G 6$ orqali takrorlanish munosabati. Ruxsat bering $d k = (2 k + 3) k! G 2 k + 4$ , masalan, $d 0 = 3 G 4$ va $d 1 = 5 G 6$ . Keyin $d k$ munosabatlarni qondirish

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {n ni tanlang k} d_ {k} d_ {nk} = { frac {2n + 9} {3n + 6}} d_ {n + 2} }

Barcha uchun $n \geq 0$ . Bu yerda, $(n k)$ bo'ladi binomial koeffitsient.

The $d k$ uchun ketma-ket kengayishda sodir bo'ladi Vaysterstrasning elliptik funktsiyalari:

{ displaystyle { begin {aligned} wp (z) & = { frac {1} {z ^ {2}}} + z ^ {2} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {d_ {k} z ^ {2k}} {k!}} & = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} (2k + 1) G_ {2k + 2} z ^ {2k}. End {hizalanmış}}}

Fourier seriyasi

G 4

G 6

G 8

G 10

G 12

G 14

Aniqlang $q = e 2π iτ$ . (Ba'zi eski kitoblarda ta'rif berilgan $q$ bo'lish nom $q = e π iτ$ , lekin $q = e 2 π iτ$ Endi raqamlar nazariyasida standart hisoblanadi.) Keyin Fourier seriyasi Eyzenshteyn seriyasining

{ displaystyle G_ {2k} ( tau) = 2 zeta (2k) left (1 + c_ {2k} sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {2k-1} (n ) q ^ {n} o'ng)}

bu erda koeffitsientlar $v 2 k$ tomonidan berilgan

{ displaystyle { begin {aligned} c_ {2k} & = { frac {(2 pi i) ^ {2k}} {(2k-1)! zeta (2k)}} [4pt] & = { frac {-4k} {B_ {2k}}} = { frac {2} { zeta (1-2k)}}. end {aligned}}}

Bu yerda, $B n$ ular Bernulli raqamlari, $ζ (z)$ bu Riemannning zeta funktsiyasi va $σ p (n)$ bo'ladi bo'linuvchi yig'indisi funktsiyasi, ning yig'indisi $p$ bo'linuvchilarning kuchlari $n$ . Xususan, bitta

{ displaystyle { begin {aligned} G_ {4} ( tau) & = { frac { pi ^ {4}} {45}} left (1 + 240 sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {3} (n) q ^ {n} o'ng) [4pt] G_ {6} ( tau) & = { frac {2 pi ^ {6}} {945} } chap (1-504 sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {5} (n) q ^ {n} o'ng). end {hizalangan}}}

Xulosa tugadi $q$ sifatida qayta tiklanishi mumkin Lambert seriyasi; ya'ni bitta bor

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} q ^ {n} sigma _ {a} (n) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {a} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}

o'zboshimchalik uchun murakkab $| q | < 1$ va $a$ . Bilan ishlashda $q$ - kengayish Eyzenshteyn seriyasining ushbu muqobil yozuvlari tez-tez kiritiladi:

{ displaystyle { begin {aligned} E_ {2k} ( tau) & = { frac {G_ {2k} ( tau)} {2 zeta (2k)}} & = 1 + { frac {2} { zeta (1-2k)}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {2k-1} q ^ {n}} {1-q ^ {n }}} & = 1 - { frac {4k} {B_ {2k}}} sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {2k-1} (n) q ^ {n } & = 1 - { frac {4k} {B_ {2k}}} sum _ {d, n geq 1} n ^ {2k-1} q ^ {nd}. End {aligned}} }

Eyzenshteyn seriyasini o'z ichiga olgan shaxslar

Teta funktsiyalari sifatida

Berilgan $q = e 2 π iτ$ , ruxsat bering

{ displaystyle { begin {aligned} E_ {4} ( tau) & = 1 + 240 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {3} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} E_ {6} ( tau) & = 1-504 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {5} q ^ { n}} {1-q ^ {n}}} E_ {8} ( tau) & = 1 + 480 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {7} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} end {hizalanmış}}}

va aniqlang

{ displaystyle { begin {aligned} a & = theta _ {2} left (0; e ^ { pi i tau} right) = vartheta _ {10} (0; tau) b & = theta _ {3} left (0; e ^ { pi i tau} right) = vartheta _ {00} (0; tau) c & = theta _ {4} left ( 0; e ^ { pi i tau} right) = vartheta _ {01} (0; tau) end {hizalanmış}}}

qayerda $θ m$ va $ϑ ij$ uchun muqobil yozuvlar Jakobi teta vazifalari. Keyin,

{ displaystyle { begin {aligned} E_ {4} ( tau) & = { tfrac {1} {2}} left (a ^ {8} + b ^ {8} + c ^ {8} o'ng), [4pt] E_ {6} ( tau) & = { tfrac {1} {2}} chap (-3a ^ {8} chap (b ^ {4} + c ^ {4 } o'ng) + b ^ {12} + c ^ {12} o'ng) [4pt] & = { tfrac {1} {2}} { sqrt { frac { left (a ^ {8 } + b ^ {8} + c ^ {8} right) ^ {3} -54 (abc) ^ {8}} {2}}}, end {aligned}}}

shunday qilib,

{ displaystyle E_ {4} ^ {3} -E_ {6} ^ {2} = { tfrac {27} {4}} (abc) ^ {8}}

ga tegishli ifoda modulli diskriminant,

{ displaystyle Delta = g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2} = (2 pi) ^ {12} left ({ tfrac {1} {2}} abc right) ^ {8}}

Bundan tashqari, beri $E 8 = E 24$ va $a 4 - b 4 + v 4 = 0$ , bu shuni anglatadi

{ displaystyle E_ {8} ( tau) = { tfrac {1} {2}} chap (a ^ {16} + b ^ {16} + c ^ {16} o'ng).}

Eyzenshteyn seriyasining mahsulotlari

Eyzenshteyn seriyasi eng aniq misollarni tashkil etadi modulli shakllar to'liq modulli guruh uchun $SL (2, ℤ)$ . Og'irlikning modulli shakllari makonidan beri $2 k$ uchun 1-o'lchov mavjud $2 k = 4, 6, 8, 10, 14$ , Eyzenshteyn seriyasining ushbu og'irliklarga ega bo'lgan turli xil mahsulotlari skaler ko'paytmasiga teng bo'lishi kerak. Aslida biz identifikatorlarni olamiz:

{ displaystyle E_ {4} ^ {2} = E_ {8}, quad E_ {4} E_ {6} = E_ {10}, quad E_ {4} E_ {10} = E_ {14}, to'rtinchi E_ {6} E_ {8} = E_ {14}.}

Dan foydalanish $q$ - yuqorida berilgan Eyzenshteyn seriyasining kengayishi, ular bo'linuvchilarning kuchlari yig'indisidan iborat bo'lgan identifikator sifatida qayta ko'rib chiqilishi mumkin:

{ displaystyle left (1 + 240 sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {3} (n) q ^ {n} right) ^ {2} = 1 + 480 sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {7} (n) q ^ {n},}

shu sababli

{ displaystyle sigma _ {7} (n) = sigma _ {3} (n) +120 sum _ {m = 1} ^ {n-1} sigma _ {3} (m) sigma _ {3} (nm),}

va shunga o'xshash boshqalar uchun. The teta funktsiyasi sakkiz o'lchovli, hatto bir xil bo'lmagan panjaraning $Γ$ to'liq modulli guruh uchun 4 vaznning modulli shakli bo'lib, u quyidagi xususiyatlarni beradi:

{ displaystyle theta _ { Gamma} ( tau) = 1 + sum _ {n = 1} ^ { infty} r _ { Gamma} (2n) q ^ {n} = E_ {4} ( tau), qquad r _ { Gamma} (n) = 240 sigma _ {3} (n)}

raqam uchun $r Γ (n)$ kvadrat uzunlikdagi vektorlarning $2 n$ ichida turdagi ildiz panjarasi $E 8$ .

A tomonidan o'ralgan holomorf Eyzenshteyn seriyasini o'z ichiga olgan shunga o'xshash usullar Dirichlet belgisi musbat tamsayılar sonining formulalarini ishlab chiqarish $n$ 'ning bo'linishi bo'yicha ikki, to'rt yoki sakkiz kvadratlarning yig'indisi sifatida $n$ .

Yuqoridagi takrorlanish munosabatlaridan foydalanib, barchasi yuqoriroq $E 2 k$ in polinomlar sifatida ifodalanishi mumkin $E 4$ va $E 6$ . Masalan:

{ displaystyle { begin {aligned} E_ {8} & = E_ {4} ^ {2} E_ {10} & = E_ {4} cdot E_ {6} 691 cdot E_ {12} & = 441 cdot E_ {4} ^ {3} +250 cdot E_ {6} ^ {2} E_ {14} & = E_ {4} ^ {2} cdot E_ {6} 3617 cdot E_ {16} & = 1617 cdot E_ {4} ^ {4} +2000 cdot E_ {4} cdot E_ {6} ^ {2} 43867 cdot E_ {18} & = 38367 cdot E_ {4} ^ {3} cdot E_ {6} +5500 cdot E_ {6} ^ {3} 174611 cdot E_ {20} & = 53361 cdot E_ {4} ^ {5} + 121250 cdot E_ {4} ^ {2} cdot E_ {6} ^ {2} 77683 cdot E_ {22} & = 57183 cdot E_ {4} ^ {4} cdot E_ {6} + 20500 cdot E_ {4} cdot E_ {6} ^ {3} 236364091 cdot E_ {24} & = 49679091 cdot E_ {4} ^ {6} +176400000 cdot E_ {4} ^ {3 } cdot E_ {6} ^ {2} +10285000 cdot E_ {6} ^ {4} end {aligned}}}

Eyzenshteyn seriyasining mahsulotlari o'rtasidagi ko'plab aloqalarni nafis tarzda yozish mumkin Hankel determinantlari, masalan. Garvanning o'ziga xosligi

{ displaystyle Delta ^ {2} = - { frac {691} {1728 ^ {2} cdot 250}} det { begin {vmatrix} E_ {4} va E_ {6} va E_ {8} E_ {6} va E_ {8} va E_ {10} E_ {8} va E_ {10} va E_ {12} end {vmatrix}}}

qayerda

{ displaystyle Delta = { frac {E_ {4} ^ {3} -E_ {6} ^ {2}} {1728}}}

bo'ladi modulli diskriminant.^[1]

Ramanujan shaxsi

Srinivasa Ramanujan differentsiatsiyani o'z ichiga olgan birinchi bir necha Eyzenshteyn seriyasi orasida bir nechta qiziqarli identifikatorlarni berdi. Ruxsat bering

{ displaystyle { begin {aligned} L (q) & = 1-24 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {nq ^ {n}} {1-q ^ {n}} } && = E_ {2} ( tau) M (q) & = 1 + 240 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {3} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} && = E_ {4} ( tau) N (q) & = 1-504 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {5} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} && = E_ {6} ( tau), end {hizalanmış}}}

keyin

{ displaystyle { begin {aligned} q { frac {dL} {dq}} & = { frac {L ^ {2} -M} {12}} q { frac {dM} {dq} } & = { frac {LM-N} {3}} q { frac {dN} {dq}} & = { frac {LN-M ^ {2}} {2}}. end { tekislangan}}}

Ushbu identifikatorlar, qatorlar orasidagi o'zaro o'xshashlik kabi, arifmetik natijalarni beradi konversiya o'z ichiga olgan identifikatorlar bo'linish yig'indisi. Ramanujanga ergashgan holda, ushbu identifikatorlarni eng sodda shaklda qo'yish uchun domenini kengaytirish kerak $σ p (n)$ o'rnatish orqali nolni qo'shish

{ displaystyle { begin {aligned} sigma _ {p} (0) = { tfrac {1} {2}} zeta (-p) quad Longrightarrow quad sigma (0) & = - { tfrac {1} {24}} sigma _ {3} (0) & = { tfrac {1} {240}} sigma _ {5} (0) & = - { tfrac { 1} {504}}. End {hizalangan}}}

Keyin, masalan

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} sigma (k) sigma (nk) = { tfrac {5} {12}} sigma _ {3} (n) - { tfrac { 1} {2}} n sigma (n).}

Ushbu turdagi boshqa identifikatorlar, ammo oldingi munosabatlar bilan bevosita bog'liq emas $L$ , $M$ va $N$ funktsiyalari, Ramanujan tomonidan isbotlangan va Juzeppe Melfi,^[2]^[3] masalan

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {k = 0} ^ {n} sigma _ {3} (k) sigma _ {3} (nk) & = { tfrac {1} {120} } sigma _ {7} (n) sum _ {k = 0} ^ {n} sigma (2k + 1) sigma _ {3} (nk) & = { tfrac {1} {240 }} sigma _ {5} (2n + 1) sum _ {k = 0} ^ {n} sigma (3k + 1) sigma (3n-3k + 1) & = { tfrac {1 } {9}} sigma _ {3} (3n + 2). End {hizalangan}}}

Umumlashtirish

Avomorf shakllar umumiy uchun modulli shakllar g'oyasini umumlashtirish Yolg'on guruhlar; va Eyzenshteyn seriyalari xuddi shunday tarzda umumlashtiriladi.

Ta'riflash $O K$ bo'lish butun sonlarning halqasi a umuman haqiqiy algebraik sonlar maydoni $K$ , keyin belgilaydi Hilbert – Blumental modulli guruh kabi $PSL (2, O K)$ . Keyin Eyzenshteyn seriyasini har kimga bog'lash mumkin pog'ona Hilbert-Blumental modul guruhi.

Adabiyotlar

^ Milne, Stiven S (2000). "Eyzenshteyn seriyasining Gankelni aniqlagichlari". arXiv:matematik / 0009130v3.
^ Ramanujan, Srinivasa (1962). "Ba'zi arifmetik funktsiyalar to'g'risida". To'plangan hujjatlar. Nyu-York, Nyu-York: Chelsi. 136–162 betlar.
^ Melfi, Juzeppe (1998). "Ba'zi bir modul identifikatorlari to'g'risida". Raqamlar nazariyasi, diofantin, hisoblash va algebraik jihatlar: Vengriyaning Eg shahrida bo'lib o'tgan Xalqaro konferentsiya materiallari.. Walter de Grutyer & Co. 371-382 betlar.

Qo'shimcha o'qish

Axiezer, Naum Illyich (1970). "Elliptik funktsiyalar nazariyasining elementlari" (rus tilida). Moskva. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering) Ingliz tiliga shunday tarjima qilingan Elliptik funktsiyalar nazariyasining elementlari. Matematik monografiyalarning AMS tarjimalari 79. Providence, RI: Amerika Matematik Jamiyati. 1990 yil. ISBN 0-8218-4532-2.
Apostol, Tom M. (1990). Modulli funktsiyalar va raqamlar nazariyasidagi Dirichlet seriyasi (2-nashr). Nyu-York, Nyu-York: Springer. ISBN 0-387-97127-0.
Chan, Xen Xuat; Ong, Yau Lin (1999). "Eyzenshteyn seriyasida" (PDF). Proc. Amer. Matematika. Soc. 127 (6): 1735–1744. doi:10.1090 / S0002-9939-99-04832-7.
Ivaniec, Genrix (2002). Automorfik shakllarning spektral usullari. Matematika aspiranturasi 53 (2-nashr). Providence, RI: Amerika Matematik Jamiyati. ch. 3. ISBN 0-8218-3160-7.
Serre, Jan-Per (1973). Arifmetikadan dars. Matematikadan aspirantura matnlari 7 (tarjima. tahr.). Nyu-York va Heidelberg: Springer-Verlag.

[1] Milne, Stiven S (2000). "Eyzenshteyn seriyasining Gankelni aniqlagichlari". arXiv:matematik / 0009130v3.

[2] Ramanujan, Srinivasa (1962). "Ba'zi arifmetik funktsiyalar to'g'risida". To'plangan hujjatlar. Nyu-York, Nyu-York: Chelsi. 136–162 betlar.

[3] Melfi, Juzeppe (1998). "Ba'zi bir modul identifikatorlari to'g'risida". Raqamlar nazariyasi, diofantin, hisoblash va algebraik jihatlar: Vengriyaning Eg shahrida bo'lib o'tgan Xalqaro konferentsiya materiallari.. Walter de Grutyer & Co. 371-382 betlar.

[1]

[2]

[3]