Equiareal xaritasi (matematika) - Equiareal map (mathematics)

Yilda differentsial geometriya, an equiareal xaritasi (yoki teng xaritalar xaritasi) a silliq xarita bittadan sirt saqlaydigan boshqasiga maydonlar raqamlar.

Xususiyatlari

Agar M va N ning ikkita yuzasi Evklid fazosi R³, keyin teng qiymatdagi xarita f quyidagi teng sharoitlardan biri bilan tavsiflanishi mumkin:

• The sirt maydoni ning f(U) ning maydoniga teng U har bir kishi uchun ochiq to'plam U kuni M.
• The orqaga tortish ning maydon elementi m_N kuni N ga teng m_M, maydon elementi yoniq M.
• Har bir nuqtada p ning Mva tangens vektorlar v va w ga M da p,

${ displaystyle | df_ {p} (v) marta df_ {p} (w) | = | v marta w | ,}$

bu erda × Evklidni bildiradi o'zaro faoliyat mahsulot va vektorlari df belgisini bildiradi oldinga birga f.

Misol

Equiareal xaritasiga misol, tufayli Sirakuzadagi Arximed, birlik sferadan proektsiyadir x² + y² + z² = 1 blok tsilindrga x² + y² = 1 ularning umumiy o'qidan tashqariga. Aniq formulalar

${ displaystyle f (x, y, z) = left ({ frac {x} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}, { frac {y} { sqrt { x ^ {2} + y ^ {2}}}}, z o'ng)}$

uchun (x, y, z) birlik sharidagi nuqta.

Lineer transformatsiyalar

Har bir Evklid izometriyasi ning Evklid samolyoti equiareal, ammo aksincha to'g'ri emas. Aslini olib qaraganda, qirqishni xaritalash va siqishni xaritalash teskari misol uchun qarama-qarshi misollardir.

Kesishni xaritalash to'rtburchakni xuddi shu maydonning parallelogrammiga olib boradi. Matritsa shaklida yozilgan, xaritalash

${ displaystyle (x, y) { begin {pmatrix} 1 & 0 v & 1 end {pmatrix}} = (x + vy, y).}$

Umumiy dastur klassikaga tegishli kinematik qayerda y vaqtinchalik qiymat (vaqt). Shu nuqtai nazardan, qaychi a Galiley o'zgarishi.

Xaritani siqish to'rtburchaklar tomonlarini uzaytiradi va qisqartiradi, shu bilan maydon saqlanib qoladi. Matritsa shaklida yozilgan, λ> 1 bilan siqish o'qiladi

${ displaystyle (x, y) { begin {pmatrix} lambda & 0 0 & 1 / lambda end {pmatrix}} = ( lambda x, y / lambda).}$

Relyativistik kinematikada yorug'lik tezligi v tezlik uchun supremumdir. Giperbolalar xy = k siqilish ostida barqaror. Tezlik, giperbolada ko'rsatilgan va chaqirilgan tezkorlik, (-c, c) ichida "giperbolik aylanish" bilan o'zgartiriladi.

Tashqi algebra bo'yicha, chiziqli o'zgarish ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & c b & d end {pmatrix}}}$ maydonini uning kattaligiga ko'paytiradi aniqlovchi reklama – miloddan avvalgi. Teng chiziqli transformatsiyalarning aylanishi, qirqilishi va siqib chiqarilishi ko'rsatilgan 2 × 2 haqiqiy matritsalar murakkab sonlar sifatida. Ushbu xaritalar maxsus chiziqli guruhni tashkil qiladi SL (2, R).

Xaritadagi proektsiyalarda

Kontekstida geografik xaritalar, a xaritani proektsiyalash deyiladi teng maydon, teng, autalik, ekvareal, yoki hududni saqlash, agar maydonlar doimiy omilgacha saqlanib qolsa; maqsadli xaritani joylashtirish, odatda pastki qismi hisoblanadi R², aniq tarzda R³, yuqoridagi talab quyidagicha zaiflashadi:

${ displaystyle | df_ {p} (v) times df_ {p} (w) | = kappa | v times w |}$

kimdir uchun κ > 0 bog'liq emas ${ displaystyle v}$ va ${ displaystyle w}$.Bunday proektsiyalarning misollari uchun qarang teng maydonli xaritani proektsiyalash.

Shuningdek qarang

• Yakobian matritsasi va determinanti

Adabiyotlar

• Pressli, Endryu (2001), Elementar differensial geometriya, Springer bakalavriat matematika seriyasi, London: Springer-Verlag, ISBN  978-1-85233-152-8, JANOB  1800436