Teng taqsimlangan ketma-ketlik - Equidistributed sequence

Yilda matematika, a ketma-ketlik (s₁, s₂, s₃, ...) ning haqiqiy raqamlar deb aytilgan teng taqsimlangan, yoki bir xil taqsimlangan, agar subintervalga tushadigan atamalar nisbati ushbu subinterval uzunligiga mutanosib bo'lsa. Bunday ketma-ketliklar o'rganiladi Diofantin yaqinlashishi nazariyasi va dasturlari mavjud Monte-Karlo integratsiyasi.

Ta'rif

Ketma-ketlik (s₁, s₂, s₃, ...) ning haqiqiy raqamlar deb aytilgan teng taqsimlangan buzilib ketmaydigan oraliq [a, b] agar biron bir subinterval uchun bo'lsa [v, d ] ninga, b] bizda ... bor

{ displaystyle lim _ {n to infty} { left | {, s_ {1}, dots, s_ {n} , } cap [c, d] right | over n} = {d-c over-a}.}

(Bu erda, yozuv | |s₁,...,s_n} ∩ [v, d ] | birinchisidan tashqari elementlar sonini bildiradi n orasidagi ketma-ketlik elementlari v va d.)

Masalan, ketma-ketlik [0, 2] da teng taqsimlangan bo'lsa, [0.5, 0.9] oralig'i [0, 2] oralig'ining 1/5 qismini egallaganligi sababli n katta bo'ladi, birinchisining ulushi n 0,5 dan 0,9 gacha bo'lgan ketma-ketlik a'zolari 1/5 ga yaqinlashishi kerak. Bo'shashgan holda aytish mumkinki, ketma-ketlikning har bir a'zosi o'z diapazonining istalgan joyiga tushish ehtimoli tengdir. Biroq, bu degani emas (s_n) ning ketma-ketligi tasodifiy o'zgaruvchilar; aksincha, bu haqiqiy sonlarning aniqlangan ketma-ketligi.

Farqlanish

Biz belgilaymiz farqlanish D._N ketma-ketlik uchun (s₁, s₂, s₃, ...) intervalgacha [a, b] kabi

{ displaystyle D_ {N} = sup _ {a leq c leq d leq b} left vert { frac { left | {, s_ {1}, dots, s_ {N} , } cap [c, d] right |} {N}} - { frac {dc} {ba}} right vert.}

Agar kelishmovchilik bo'lsa, ketma-ketlik teng taqsimlanadi D._N kabi nolga intiladi N cheksizlikka intiladi.

Equidistribution - bu ketma-ketlik segmentni to'ldirishini va bo'shliqlar qoldirmasligini ifodalash uchun juda zaif mezon. Masalan, segment bo'yicha tasodifiy o'zgaruvchining rasmlari segmentda teng taqsimlanadi, ammo segmentdagi birinchi multip sonlarni sanab o'tadigan ketma-ketlik bilan taqqoslaganda katta bo'shliqlar bo'ladi, ba'zi bir kichik ε uchun mos ravishda tanlangan usul , keyin esa ε ning kichikroq va kichikroq qiymatlari uchun buni davom ettiradi. Kuchliroq mezonlarga va bir tekis taqsimlangan ketma-ketliklar tuzilishiga qarang kam farqli ketma-ketlik.

Teng taqsimotning Rimann integral mezonlari

Agar shunday bo'lsa, eslang f a funktsiya ega bo'lish Riemann integrali oralig'ida [a, b], keyin uning integrali limiti hisoblanadi Rimanning summasi funktsiyani tanlash orqali olingan f a o'rnatilgan intervalning ingichka bo'limidan tanlangan ballar. Shuning uchun, agar ba'zi ketma-ketliklar [ga tenglashtirilsaa, b], ushbu ketma-ketlik bilan Riman bilan integrallanadigan funktsiyaning integralini hisoblashda foydalanish mumkin deb taxmin qilinadi. Bu quyidagi mezonga olib keladi^[1] teng taqsimlangan ketma-ketlik uchun:

Aytaylik (s₁, s₂, s₃, ...) - bu intervalda joylashgan ketma-ketlika, b]. Keyin quyidagi shartlar tengdir:

Ketma-ketlik teng taqsimlanadi [a, b].
Har bir Riemann uchun integral (murakkab qadrli ) funktsiyasi f : [a, b] → ℂ, quyidagi chegara amal qiladi:

{ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} f chap (s_ {n} right) = { frac {1} {ba}} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx}

Isbot

Birinchidan, teng taqsimlangan ketma-ketlikning ta'rifi har doim integral mezonga teng bo'lishiga e'tibor bering f bo'ladi ko'rsatkich funktsiyasi intervalli: Agar f = 1_[v, d], keyin chap tomon - bu ketma-ketlik nuqtalarining intervalgacha tushgan nisbati [v, d] va o'ng tomoni to'liq

{ displaystyle textstyle { frac {d-c} {b-a}}.}

Bu 2 2 1 degan ma'noni anglatadi (chunki indikator funktsiyalari Riemann bilan birlashtirilishi mumkin) va uchun 1 ⇒ 2 f intervalning ko'rsatkich funktsiyasi bo'lish. Indikator funktsiyalari uchun integral mezon mavjud deb taxmin qilish va uning umumiy Riemann bilan integrallanadigan funktsiyalar uchun ham mavjudligini isbotlash kerak.

Integral kriteriya tenglamasining ikkala tomoni ham ekanligini unutmang chiziqli yilda fva shuning uchun mezon amal qiladi chiziqli kombinatsiyalar interval ko'rsatkichlari, ya'ni qadam funktsiyalari.

Buning ushlab turilishini ko'rsatish uchun f umumiy Riemann-integral funktsiyasi bo'lib, birinchi navbatda faraz qiling f haqiqiy qadrlanadi. Keyin foydalanish orqali Darbukning ta'rifi integralning har bir ε> 0 uchun ikkita qadam funktsiyasi mavjud f₁ va f₂ shu kabi f₁ ≤ f ≤ f₂ va ${ displaystyle textstyle int _ {a} ^ {b} (f_ {2} (x) -f_ {1} (x)) , dx leq varepsilon (b-a).}$ E'tibor bering:

{ displaystyle { frac {1} {ba}} int _ {a} ^ {b} f_ {1} (x) , dx = lim _ {N to infty} { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} f_ {1} (s_ {n}) leq liminf _ {N to infty} { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} f (s_ {n})}

{ displaystyle { frac {1} {ba}} int _ {a} ^ {b} f_ {2} (x) , dx = lim _ {N to infty} { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} f_ {2} (s_ {n}) geq limsup _ {N to infty} { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} f (s_ {n})}

Chiqarish orqali biz chegara ustun va chegara past ning ${ displaystyle textstyle { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} f (s_ {n})}$ eng ko'p differ bilan farq qiladi. $ Delta $ o'zboshimchalik bilan bo'lgani uchun, bizda chegara mavjud va Darbou tomonidan integralning ta'rifi bo'yicha bu to'g'ri chegara hisoblanadi.

Va nihoyat, murakkab qiymatga ega bo'lgan Riemann-integrallanadigan funktsiyalar uchun natija yana chiziqlilikdan kelib chiqadi va har bir funktsiyani quyidagicha yozish mumkin. f = siz + vi, qayerda siz, v haqiqiy qiymatga ega va Riemann bilan birlashtirilishi mumkin.∎

Ushbu mezon g'oyaga olib keladi Monte-Karlo integratsiyasi, bu erda integrallar funktsiyani intervalda teng taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi bo'yicha namuna olish yo'li bilan hisoblab chiqiladi.

Faqatgina Riemann bilan integrallanadigan funktsiyalardan kattaroq funktsiyalar sinfiga integral mezonni umumlashtirish mumkin emas. Masalan, agar Lebesg integrali hisoblanadi va f ichida bo'lish qabul qilinadi L¹, keyin bu mezon bajarilmaydi. Qarama-qarshi misol sifatida oling f bo'lish ko'rsatkich funktsiyasi teng taqsimlangan ketma-ketlikning. Keyin mezonda chap tomon har doim 1, o'ng tomon esa nolga teng, chunki ketma-ketlik hisoblanadigan, shuning uchun f nolga teng deyarli hamma joyda.

Aslida de Bruijn – Post teoremasi yuqoridagi mezonning teskari tomonini aytadi: Agar f funksiyasi shundan iboratki, yuqoridagi mezon har qanday teng taqsimlangan ketma-ketlik uchun [a, b], keyin f Riman bilan integratsiyalashgan [a, b].^[2]

Teng taqsimlash moduli 1

Ketma-ketlik (a₁, a₂, a₃, ...) haqiqiy sonlar deyiladi teng taqsimlangan modul 1 yoki bir xil taqsimlangan modul 1 agar ketma-ketligi kasr qismlari ning a_n, bilan belgilanadi (a_n) yoki tomonidan a_n − ⌊a_nPh, [0, 1] oralig'ida teng taqsimlanadi.

Misollar

Birlik oralig'ini to'ldirish tasviri (x-aksis) birinchisidan foydalanib n Van der Korput ketma-ketligining shartlari, uchun n 0 dan 999 gacha (y-axsis). Rangdagi gradatsiya taxallusga bog'liq.

The teng taqsimlash teoremasi: An ning barcha ko'paytmalarining ketma-ketligi mantiqsiz a,

0, a, 2a, 3a, 4a, ...

teng taqsimlangan 1-modul.^[3]

Umuman olganda, agar p a polinom irratsional doimiy atamadan tashqari kamida bitta koeffitsient bilan ketma-ketlik p(n) teng taqsimlangan modul 1.

Bu Veyl tomonidan isbotlangan va van der Korputning farq teoremasining qo'llanilishi.^[4]

Ketma-ketlik jurnali (n) emas bir xil taqsimlangan modul 1.^[3] Bu haqiqat bilan bog'liq Benford qonuni.
Irratsionalning barcha ko'paytmalarining ketma-ketligi a ketma-ket tub sonlar,

2a, 3a, 5a, 7a, 11a, ...

teng taqsimlangan modul hisoblanadi. Bu mashhur teorema analitik sonlar nazariyasi tomonidan nashr etilgan I. M. Vinogradov 1948 yilda.^[5]

The van der Corput ketma-ketligi teng taqsimlanadi.^[6]

Veyl mezonlari

Veyl mezonlari ketma-ketligini bildiradi a_n moduli 1 ga teng taqsimlanadi, agar u nolga teng bo'lsa butun sonlar ℓ,

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {j = 1} ^ {n} e ^ {2 pi i ell a_ {j}} = 0.}

Mezon nomi bilan nomlangan va birinchi bo'lib quyidagicha tuzilgan: Herman Veyl.^[7] Bu teng taqsimlash bo'yicha savollarni chegaraga kamaytirishga imkon beradi eksponent summalar, asosiy va umumiy usul.

Isbotning eskizi

Agar ketma-ketlik moduli 1 ga teng taqsimlangan bo'lsa, unda Rimann integral mezonini (yuqorida tavsiflangan) funktsiyaga qo'llashimiz mumkin

{ displaystyle textstyle f (x) = e ^ {2 pi i ell x},}

[0, 1] oralig'ida integral nolga ega bo'lgan. Bu darhol Veylning mezonini beradi.

Va aksincha, Veylning mezoniga ega deylik. Keyin funktsiyalar uchun Riemann integral mezoniga ega f yuqoridagi kabi va mezonning chiziqliligi bo'yicha u amal qiladi f har qanday bo'lish trigonometrik polinom. Tomonidan Tosh-Veyerstrass teoremasi va taxminiy argument, bu har qanday narsaga tegishli davomiy funktsiya f.

Nihoyat, ruxsat bering f intervalning ko'rsatkich funktsiyasi bo'lishi. Bog'lanish mumkin f yuqoridan va pastdan intervalda ikkita uzluksiz funktsiyalar bajariladi, ularning integrallari ixtiyoriy by bilan farqlanadi. Riemann integral mezonining isbotiga o'xshash argument bo'yicha, natijani istalganga etkazish mumkin interval ko'rsatkichi funktsiya f, shu bilan berilgan ketma-ketlikning teng taqsimot modulini 1 isbotlaydi.∎

Umumlashtirish

Veyl mezonining miqdoriy shakli quyidagicha berilgan Erduss-Turan tengsizligi.
Veylning mezonlari tabiiy ravishda yuqoriroq darajaga to'g'ri keladi o'lchamlari, teng taqsimot moduli 1 ta'rifining tabiiy umumlashtirilishini nazarda tutgan holda:

Ketma-ketlik v_n ning vektorlari R^k 1-modul tenglashtiriladi, agar u nolga teng bo'lmagan ℓ vector vektor uchun bo'lsaZ^k,

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {j = 0} ^ {n-1} e ^ {2 pi i ell cdot v_ { j}} = 0.}

Foydalanish namunasi

Veyl mezonidan osongina isbotlash uchun foydalanish mumkin teng taqsimlash teoremasi, ko'paytmalar ketma-ketligi 0, a, 2a, 3a, ... ba'zi haqiqiy sonlar a agar faqat shunday bo'lsa, teng taqsimlanadi 1-modul a mantiqsiz.^[3]

Aytaylik a mantiqsiz va bizning ketma-ketligimizni belgilaydi a_j = ja (qayerda j 0 dan boshlanadi, keyinchalik formulani soddalashtirish uchun). Ruxsat bering ℓ ≠ 0 butun son. Beri a mantiqsiz, gha hech qachon butun son bo'la olmaydi, shuning uchun ${ textstyle e ^ {2 pi i ell alfa}}$ hech qachon bo'lishi mumkin emas 1. Sonli yig'indining formulasidan foydalanish geometrik qatorlar,

{ displaystyle left | sum _ {j = 0} ^ {n-1} e ^ {2 pi i ell j alpha} right | = left | sum _ {j = 0} ^ { n-1} chap (e ^ {2 pi i ell alfa} o'ng) ^ {j} o'ng | = chap | { frac {1-e ^ {2 pi i ell n alfa}} {1-e ^ {2 pi i ell alpha}}} right | leq { frac {2} { left | 1-e ^ {2 pi i ell alpha} o'ng |}},}

bog'liq bo'lmagan cheklangan chegara n. Shuning uchun, bo'linishdan keyin n va ruxsat berish n cheksizlikka moyil, chap tomon nolga intiladi va Veylning mezonlari qondiriladi.

Aksincha, agar shunday bo'lsa, e'tibor bering a bu oqilona u holda bu ketma-ketlik teng taqsimlanmagan 1-modul, chunki qismli qism uchun faqat sonli variantlar mavjud a_j = ja.

van der Korputning farq teoremasi

Teoremasi Yoxannes van der Korput^[8] har bir kishi uchun bo'lsa, deb ta'kidlaydi h ketma-ketlik s_n+h − s_n bir xil taqsimlangan modul 1, keyin ham shunday bo'ladi s_n.^[9]^[10]^[11]

A van der Corput to'plami to'plamdir H butun sonlar, agar har biri uchun bo'lsa h yilda H ketma-ketlik s_n+h − s_n bir xil taqsimlangan modul 1, u holda s ham bo'ladi_n.^[10]^[11]

Metrik teoremalar

Metrik teoremalari uchun parametrlangan ketma-ketlikning xatti-harakatlarini tavsiflaydi deyarli barchasi ba'zi parametrlarning qiymatlari a: ya'ni qiymatlari uchun a ba'zi bir istisnolar to'plamida yotmaslik Lebesg o'lchovi nol.

Alohida butun sonlarning har qanday ketma-ketligi uchun b_n, ketma-ketlik (b_na) deyarli barcha qiymatlari uchun mod 1 ga teng taqsimlanadi a.^[12]
Ketma-ketlik (aⁿ) deyarli barcha qiymatlari uchun mod 1 ga teng taqsimlanadi a > 1.^[13]

Bu ketma-ketliklar (yokieⁿ) yoki ( $π$ ⁿ) teng taqsimlangan mod 1. Biroq, ma'lumki, (aⁿ) emas teng taqsimlangan mod 1, agar a a PV raqami.

Yaxshi taqsimlangan ketma-ketlik

Ketma-ketlik (s₁, s₂, s₃, ...) haqiqiy sonlar deyiladi yaxshi taqsimlangan kuni [a, b] agar biron bir subinterval uchun bo'lsa [v, d ] ninga, b] bizda ... bor

{ displaystyle lim _ {n to infty} { left | {, s_ {k + 1}, dots, s_ {k + n} , } cap [c, d] right | over n} = {d-c over-a}}

bir xilda yilda k. Shubhasiz, har bir yaxshi taqsimlangan ketma-ketlik bir xil taqsimlangan, ammo aksincha, amal qilmaydi. Yaxshi taqsimlangan 1-modulning ta'rifi o'xshashdir.

Ixtiyoriy o'lchov bo'yicha teng taqsimlangan ketma-ketliklar

O'zboshimchalik uchun ehtimollik o'lchov maydoni ${ displaystyle (X, mu)}$ , ochkolar ketma-ketligi ${ displaystyle (x_ {n})}$ ga nisbatan teng taqsimlanadi deyiladi ${ displaystyle mu}$ agar o'rtacha nuqta choralari zaif birlashadi ga ${ displaystyle mu}$ :^[14]

{ displaystyle { frac { sum _ {k = 1} ^ {n} delta _ {x_ {k}}} {n}} Rightarrow mu .}

Har qanday holda Borel ehtimollik o'lchovi a ajratiladigan, o'lchovli bo'shliq, o'lchov bo'yicha teng taqsimlangan ketma-ketlik mavjud; Darhaqiqat, bu darhol shunday bo'shliq mavjudligidan kelib chiqadi standart.

Dinamik tizimlar uchun tenglashtirishning umumiy hodisasi juda ko'p narsani keltirib chiqaradi Yolg'on guruhlar Masalan, Margulisning Oppenxaym gumoni.

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Kuipers & Niederreiter (2006) 2-3 bet
^ http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf, Teorema 8
^ ^a ^b ^v Kuipers & Niederreiter (2006) p. 8
^ Kuipers & Niederreiter (2006) p. 27
^ Kuipers & Niederreiter (2006) p. 129
^ Kuipers & Niederreiter (2006) p. 127
^ Veyl, H. (1916 yil sentyabr). "Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins". [Bir modul sonini taqsimlash to'g'risida] (PDF). Matematika. Ann. (nemis tilida). 77 (3): 313–352. doi:10.1007 / BF01475864.
^ van der Korput, J. (1931), "Diophantische Ungleichungen. I. Zur Gleichverteilung Modulo Eins", Acta Mathematica, Springer Niderlandiya, 56: 373–456, doi:10.1007 / BF02545780, ISSN 0001-5962, JFM 57.0230.05, Zbl 0001.20102
^ Kuipers & Niederreiter (2006) p. 26
^ ^a ^b Montgomeri (1994) s.18
^ ^a ^b Montgomeri, Xyu L. (2001). "Analitik sonlar nazariyasida mavjud bo'lgan harmonik tahlil" (PDF). Byornsda Jeyms S. (tahrir). Yigirmanchi asr harmonik tahlili - bayram. NATOning Ilg'or o'rganish instituti materiallari, Il Ciocco, Italiya, 2000 yil 2-15 iyul. NATO ilmiy ishlari. Ser. II, matematik. Fizika. Kimyoviy. 33. Dordrext: Kluwer Academic Publishers. 271–293 betlar. doi:10.1007/978-94-010-0662-0_13. ISBN 978-0-7923-7169-4. Zbl 1001.11001.
^ Qarang Bernshteyn, Feliks (1911), "Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem", Matematik Annalen, 71 (3): 417–439, doi:10.1007 / BF01456856.
^ Koksma, J. F. (1935), "Ein mengentheoretischer Satz va Gleichverteilung modulo Eins o'ladi"., Compositio Mathematica, 2: 250–258, JFM 61.0205.01, Zbl 0012.01401
^ Kuipers & Niederreiter (2006) s.171

Adabiyotlar

Kuipers, L .; Niederreiter, H. (2006) [1974]. Tartiblarning yagona taqsimlanishi. Dover nashrlari. ISBN 0-486-45019-8.
Kuipers, L .; Niederreiter, H. (1974). Tartiblarning yagona taqsimlanishi. John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-51045-9. Zbl 0281.10001.
Montgomeri, Xyu L. (1994). Analitik sonlar nazariyasi va harmonik tahlil o'rtasidagi interfeys bo'yicha o'nta ma'ruza. Matematika bo'yicha mintaqaviy konferentsiyalar seriyasi. 84. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001.

Qo'shimcha o'qish

Granvil, Endryu; Rudnik, Zev, nashr. (2007). Raqamlar nazariyasida teng taqsimlash, kirish. NATO nazariyasini teng taqsimlash bo'yicha NATOning ilg'or tadqiqotlar instituti materiallari, Monreal, Kanada, 2005 yil 11-22 iyul.. NATO Fan seriyasi II: Matematika, fizika va kimyo. 237. Dordrext: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1121.11004.
Tao, Terens (2012). Yuqori darajadagi Fourier tahlili. Matematika aspiranturasi. 142. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. ISBN 978-0-8218-8986-2. Zbl 1277.11010.

Tashqi havolalar

[1] Kuipers & Niederreiter (2006) 2-3 bet

[2] ttp://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf, Teorema 8

[KN8-3] v Kuipers & Niederreiter (2006) p. 8

[KN27-4] Kuipers & Niederreiter (2006) p. 27

[KN129-5] Kuipers & Niederreiter (2006) p. 129

[KN127-6] Kuipers & Niederreiter (2006) p. 127

[7] Veyl, H. (1916 yil sentyabr). "Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins". [Bir modul sonini taqsimlash to'g'risida] (PDF). Matematika. Ann. (nemis tilida). 77 (3): 313–352. doi:10.1007 / BF01475864.

[8] van der Korput, J. (1931), "Diophantische Ungleichungen. I. Zur Gleichverteilung Modulo Eins", Acta Mathematica, Springer Niderlandiya, 56: 373–456, doi:10.1007 / BF02545780, ISSN 0001-5962, JFM 57.0230.05, Zbl 0001.20102

[9] Kuipers & Niederreiter (2006) p. 26

[Mon18-10] Montgomeri (1994) s.18

[Mon2001-11] Montgomeri, Xyu L. (2001). "Analitik sonlar nazariyasida mavjud bo'lgan harmonik tahlil" (PDF). Byornsda Jeyms S. (tahrir). Yigirmanchi asr harmonik tahlili - bayram. NATOning Ilg'or o'rganish instituti materiallari, Il Ciocco, Italiya, 2000 yil 2-15 iyul. NATO ilmiy ishlari. Ser. II, matematik. Fizika. Kimyoviy. 33. Dordrext: Kluwer Academic Publishers. 271–293 betlar. doi:10.1007/978-94-010-0662-0_13. ISBN 978-0-7923-7169-4. Zbl 1001.11001.

[12] Qarang Bernshteyn, Feliks (1911), "Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem", Matematik Annalen, 71 (3): 417–439, doi:10.1007 / BF01456856.

[13] Koksma, J. F. (1935), "Ein mengentheoretischer Satz va Gleichverteilung modulo Eins o'ladi"., Compositio Mathematica, 2: 250–258, JFM 61.0205.01, Zbl 0012.01401

[KN171-14] Kuipers & Niederreiter (2006) s.171

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]