Eyler raqamlari - Euler numbers

Yilda matematika, Eyler raqamlari a ketma-ketlik E_n ning butun sonlar (ketma-ketlik A122045 ichida OEIS ) bilan belgilanadi Teylor seriyasi kengayish

${ displaystyle { frac {1} { cosh t}} = { frac {2} {e ^ {t} + e ^ {- t}}} = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {E_ {n}} {n!}} cdot t ^ {n}}$,

qayerda xushchaqchaq t bo'ladi giperbolik kosinus. Eyler raqamlari ning maxsus qiymati bilan bog'liq Eyler polinomlari, ya'ni:

${ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} ({ tfrac {1} {2}}).}$

Eyler raqamlari Teylor seriyasi ning kengayishi sekant va giperbolik sekant funktsiyalari. Ikkinchisi ta'rifdagi funktsiya. Ular shuningdek, kombinatorika, ayniqsa sonini hisoblashda o'zgaruvchan almashtirishlar juft sonli elementlarga ega to'plamning.

Misollar

Eulerning toq indeksli raqamlari barchasi nol. Yagona indekslanganlar (ketma-ketlik) A028296 ichida OEIS ) o'zgaruvchan belgilarga ega. Ba'zi qadriyatlar:

E0	=	1
E2	=	−1
E4	=	5
E6	=	−61
E8	=	1385
E10	=	−50521
E12	=	2702765
E14	=	−199360981
E16	=	19391512145
E18	=	−2404879675441

Ba'zi mualliflar nolga teng bo'lgan Eulerning g'alati raqamlarini chiqarib tashlash yoki barcha belgilarni ijobiy (ketma-ketlik) ga o'zgartirish uchun ketma-ketlikni qayta indekslashadi. A000364 ichida OEIS ). Ushbu maqola yuqorida qabul qilingan konventsiyaga amal qiladi.

Aniq formulalar

Ikkinchi turdagi Stirling raqamlari bo'yicha

Quyidagi ikkita formulalar Eyler sonlarini quyidagicha ifodalaydi Ikkinchi turdagi raqamlar^{[1] [2]}

${ displaystyle E_ {r} = 2 ^ {2r-1} sum _ {k = 1} ^ {r} { frac {(-1) ^ {k} S (r, k)} {k + 1 }} chap (3 chap ({ frac {1} {4}} o'ng) ^ {(k)} - chap ({ frac {3} {4}} o'ng) ^ {(k) } o'ng),}$

${ displaystyle E_ {2l} = - 4 ^ {2l} sum _ {k = 1} ^ {2l} (- 1) ^ {k} cdot { frac {S (2l, k)} {k + 1}} cdot chap ({ frac {3} {4}} o'ng) ^ {(k)},}$

qayerda ${ displaystyle S (r, k)}$ belgisini bildiradi Ikkinchi turdagi raqamlar va ${ displaystyle x ^ {(n)} = (x) (x + 1) cdots (x + n-1)}$ belgisini bildiradi ko'tarilayotgan faktorial.

Ikki baravar miqdorida

Quyidagi ikkita formulada Eyler sonlari ikki baravar yig'indisi sifatida ifodalanadi^[3]

${ displaystyle E_ {2k} = (2k + 1) sum _ { ell = 1} ^ {2k} (- 1) ^ { ell} { frac {1} {2 ^ { ell} ( ell +1)}} { binom {2k} { ell}} sum _ {q = 0} ^ { ell} { binom { ell} {q}} (2q- ell) ^ {2k },}$

${ displaystyle E_ {2k} = sum _ {i = 1} ^ {2k} (- 1) ^ {i} { frac {1} {2 ^ {i}}} sum _ { ell = 0 } ^ {2i} (- 1) ^ { ell} { binom {2i} { ell}} (i- ell) ^ {2k}.}$

Takrorlangan summa sifatida

Eyler raqamlari uchun aniq formula:^[4]

${ displaystyle E_ {2n} = i sum _ {k = 1} ^ {2n + 1} sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {k} {j}} { frac {( -1) ^ {j} (k-2j) ^ {2n + 1}} {2 ^ {k} i ^ {k} k}},}$

qayerda men belgisini bildiradi xayoliy birlik bilan men² = −1.

Bo'limlar bo'yicha yig'indisi sifatida

Eyler raqami E_2n juftlik ustiga yig‘indisi sifatida ifodalanishi mumkin bo'limlar ning 2n,^[5]

${ displaystyle E_ {2n} = (2n)! sum _ {0 leq k_ {1}, ldots, k_ {n} leq n} { binom {K} {k_ {1}, ldots, k_ {n}}} delta _ {n, sum mk_ {m}} chap (- { frac {1} {2!}} o'ng) ^ {k_ {1}} chap (- { frac {1} {4!}} o'ng) ^ {k_ {2}} cdots chap (- { frac {1} {(2n)!}} o'ng) ^ {k_ {n}},}$

shuningdek, toq qismlarining yig'indisi 2n − 1,^[6]

${ displaystyle E_ {2n} = (- 1) ^ {n-1} (2n-1)! sum _ {0 leq k_ {1}, ldots, k_ {n} leq 2n-1} { binom {K} {k_ {1}, ldots, k_ {n}}} delta _ {2n-1, sum (2m-1) k_ {m}} chap (- { frac {1} {1!}} O'ng) ^ {k_ {1}} chap ({ frac {1} {3!}} O'ng) ^ {k_ {2}} cdots chap ({ frac {(-) 1) ^ {n}} {(2n-1)!}} O'ng) ^ {k_ {n}},}$

ikkala holatda ham K = k₁ + ··· + k_n va

${ displaystyle { binom {K} {k_ {1}, ldots, k_ {n}}} equiv { frac {K!} {k_ {1}! cdots k_ {n}!}}}$

a multinomial koeffitsient. The Kronekker deltalari yuqoridagi formulalar bo'yicha summalarni cheklaydi ks ga 2k₁ + 4k₂ + ··· + 2nk_n = 2n va ga k₁ + 3k₂ + ··· + (2n − 1)k_n = 2n − 1navbati bilan.

Misol tariqasida,

${ displaystyle { begin {aligned} E_ {10} & = 10! left (- { frac {1} {10!}} + { frac {2} {2! , 8!}} + { frac {2} {4! , 6!}} - { frac {3} {2! ^ {2} , 6!}} - { frac {3} {2! , 4! ^ { 2}}} + { frac {4} {2! ^ {3} , 4!}} - { frac {1} {2! ^ {5}}} right) [6pt] & = 9! Chap (- { frac {1} {9!}} + { Frac {3} {1! ^ {2} , 7!}} + { Frac {6} {1! , 3 ! , 5!}} + { Frac {1} {3! ^ {3}}} - { frac {5} {1! ^ {4} , 5!}} - { frac {10} {1! ^ {3} , 3! ^ {2}}} + { frac {7} {1! ^ {6} , 3!}} - { frac {1} {1! ^ {9 }}} right) [6pt] & = - 50 , 521. end {hizalanmış}}}$

Determinant sifatida

E_2n tomonidan berilgan aniqlovchi

${ displaystyle { begin {aligned} E_ {2n} & = (- 1) ^ {n} (2n)! ~ { begin {vmatrix} { frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ & ~ { frac {1} {4!}} & { frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ vdots & ~ & ddots ~~ & ddots ~~ & ~ { frac {1} {(2n-2)!}} va { frac {1} {(2n-4)!}} & ~ & { frac {1} {2!}} & 1 { frac {1} {(2n)!}} & { frac {1} {(2n-2)!}} & cdots & { frac {1} {4!}} & { frac {1} { 2!}} End {vmatrix}}. End {hizalangan}}}$

Ajralmas sifatida

E_2n quyidagi integrallar bilan ham berilgan:

${ displaystyle { begin {aligned} (- 1) ^ {n} E_ {2n} & = int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {2n}} { cosh { frac { pi t} {2}}}} ; dt = chap ({ frac {2} { pi}} o'ng) ^ {2n + 1} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n}} { cosh x}} ; dx [8pt] & = chap ({ frac {2} { pi}} o'ng) ^ {2n} int _ { 0} ^ {1} log ^ {2n} chap ( tan { frac { pi t} {4}} o'ng) , dt = chap ({ frac {2} { pi}} o'ng) ^ {2n + 1} int _ {0} ^ { pi / 2} log ^ {2n} chap ( tan { frac {x} {2}} o'ng) , dx [8pt] & = { frac {2 ^ {2n + 3}} { pi ^ {2n + 2}}} int _ {0} ^ { pi / 2} x log ^ {2n} ( tan x) , dx = chap ({ frac {2} { pi}} o'ng) ^ {2n + 2} int _ {0} ^ { pi} { frac {x} {2 }} log ^ {2n} left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx. end {aligned}}}$

Uchrashuvlar

V. Chjan^[7] har qanday tub son uchun Eyler raqamlariga tegishli quyidagi kombinatsion identifikatorlarni oldi ${ displaystyle p}$, bizda ... bor

${ displaystyle (-1) ^ { frac {p-1} {2}} E_ {p-1} equiv textstyle { begin {case} 0 mod p & { text {if}} p equiv 1 { bmod {4}}; - 2 mod p & { text {if}} p equiv 3 { bmod {4}}. End {case}}}$

V. Chjan va Z. Syu^[8] buni har qanday boshlanish uchun isbotladi ${ displaystyle p equiv 1 { pmod {4}}}$ va tamsayı ${ displaystyle alpha geq 1}$, bizda ... bor

${ displaystyle E _ { phi (p ^ { alpha}) / 2} not equiv 0 { pmod {p ^ { alpha}}}}$

qayerda ${ displaystyle phi (n)}$ bo'ladi Eylerning totient funktsiyasi.

Asimptotik yaqinlashish

Euler soni juda tez o'sib boradi, chunki katta indekslar quyidagi chegaraga ega

${ displaystyle | E_ {2n} |> 8 { sqrt { frac {n} { pi}}} chap ({ frac {4n} { pi e}} o'ng) ^ {2n}.}$

Eyler zigzag raqamlari

The Teylor seriyasi ning ${ displaystyle sec x + tan x = tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac {x} {2}} right)}$ bu

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {A_ {n}} {n!}} x ^ {n},}$

qayerda A_n bo'ladi Eyler zigzag raqamlari bilan boshlanadi

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (ketma-ketlik) A000111 ichida OEIS )

Hatto hamma uchun n,

${ displaystyle A_ {n} = (- 1) ^ { frac {n} {2}} E_ {n},}$

qayerda E_n Eyler raqami; va hamma g'alati n,

${ displaystyle A_ {n} = (- 1) ^ { frac {n-1} {2}} { frac {2 ^ {n + 1} left (2 ^ {n + 1} -1 right ) B_ {n + 1}} {n + 1}},}$

qayerda B_n bo'ladi Bernulli raqami.

Har bir kishi uchun n,

${ displaystyle { frac {A_ {n-1}} {(n-1)!}} sin { left ({ frac {n pi} {2}} right)} + sum _ { m = 0} ^ {n-1} { frac {A_ {m}} {m! (nm-1)!}} sin { left ({ frac {m pi} {2}} right )} = { frac {1} {(n-1)!}}.}$^{[iqtibos kerak ]}

Shuningdek qarang

• Qo'ng'iroq raqami
• Bernulli raqami
• Eyler-Maskeroni doimiysi

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• "Eyler raqamlari", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Vayshteyn, Erik V. "Eyler raqami". MathWorld.