Fyppl-von Karman tenglamalari - Föppl–von Kármán equations - Wikipedia

The Fyppl-von Karman tenglamalarinomi bilan nomlangan Avgust Fyppl[1] va Teodor fon Karman,[2] chiziqli bo'lmaganlar to'plamidir qisman differentsial tenglamalar yupqa yassi plitalarning katta burilishlarini tavsiflovchi.[3] Dizaynidan tortib dasturlari bilan dengiz osti kemalari hujayra devorining mexanik xususiyatlariga,[4] tenglamalarni echish juda qiyin va quyidagi shaklga ega:[5]

qayerda E bo'ladi Yosh moduli plastinka materialidan (bir hil va izotrop deb taxmin qilingan), υ bo'ladi Puassonning nisbati, h plitaning qalinligi, w plitaning tekislikdan chetga burilishi, P bu plitaning birligi uchun tashqi normal kuch, σ bo'ladi Koshi kuchlanish tensori va a, β bor indekslar 1 va 2 qiymatlarini oladigan (ikkita ortogonal tekislik yo'nalishi). 2 o'lchovli biharmonik operator sifatida belgilanadi[6]

Yuqoridagi tenglama (1) dan olinishi mumkin kinematik taxminlar va konstitutsiyaviy munosabatlar plastinka uchun. Tenglamalar (2) - bu tekislikdan tashqaridagi stresslar () deb taxmin qilingan ikkita o'lchovdagi chiziqli impulsni saqlash uchun ikkita tenglama.σ33,σ13,σ23) nolga teng.

Fyppl-von Karman tenglamalarining amal qilish muddati

Fyppl-von Karman tenglamalari sof matematik nuqtai nazardan qiziq bo'lsa-da, bu tenglamalarning fizik asosliligi shubhali.[7] Ciarlet[8] aytadi: Dastlab fon Karman [1910] tomonidan taklif qilingan plitalar uchun ikki o'lchovli fon Karman tenglamalari amaliy matematikada afsonaviy rol o'ynaydi. Ular matematik nuqtai nazardan juda ko'p va qoniqarli darajada o'rganilgan bo'lsalar-da, xususan, mavjudlik, muntazamlik va bifurkatsiya kabi turli xil masalalar, ularning echimlari, ularning jismoniy sog'lomligi ko'pincha jiddiy shubha ostiga qo'yilgan. Sabablarga faktlar kiradi

  1. nazariya aniq belgilanmagan taxminiy geometriyaga bog'liq
  2. kesma bo'yicha stressning ma'lum bir o'zgarishi o'zboshimchalik bilan qabul qilinadi
  3. aniq aniqlangan stress va kuchlanish o'lchovlari o'rtasidagi ma'lum munosabatlarga mos kelmaydigan chiziqli konstitutsiyaviy munosabatlar qo'llaniladi
  4. kuchlanishning ba'zi tarkibiy qismlari o'zboshimchalik bilan e'tiborsiz qoldiriladi
  5. mos yozuvlar va deformatsiyalangan konfiguratsiyalar o'rtasida chalkashlik mavjud, bu nazariyani u o'ylab topilgan katta deformatsiyalarga tatbiq etilmaydi.

Ushbu tenglamalar amalda qo'llaniladigan va hal etilganda oqilona natijalar beradigan shartlar Ciarlet-da muhokama qilinadi.[8][9]

Airy stress funktsiyasi bo'yicha tenglamalar

Ni kiritgan holda uchta Föppl-von Karman tenglamalarini ikkiga qisqartirish mumkin Havodagi stress funktsiyasi qayerda

Tenglama (1) bo'ladi[5]

Airy funktsiyasi esa, kuch balansi tenglamasini (2) tuzish bilan qondiradi. Uchun tenglama shtammni stress funktsiyasi sifatida ifodalashni ta'minlovchi holda olinadi. Bittasi oladi [5]

Sof egilish

Uchun sof egilish yupqa plitalarning muvozanat tenglamasi , qayerda

deyiladi egiluvchan yoki silindrsimon qat'iylik plitaning[5]

Kinematik taxminlar (Kirchhoff gipotezasi)

Fyppl-von Karman tenglamalarini keltirib chiqarishda asosiy kinematik taxmin (shuningdek, Kirchhoff gipotezasi) shu sirt normalari plastinka tekisligiga deformatsiyadan keyin plastinkaga perpendikulyar bo'lib qoladi. Shuningdek, tekislik ichidagi (membrana) siljishlar kichik va plastinka qalinligining o'zgarishi ahamiyatsiz deb taxmin qilinadi. Ushbu taxminlar joy almashtirish maydonini anglatadi siz plitada quyidagicha ifodalanishi mumkin[10]

unda v tekislikdagi (membrana) siljishdir. Ko'chirish maydonining bu shakli to'g'ridan-to'g'ri plitaning aylanish miqdori kichikligini taxmin qiladi.

Kuchlarning o'zgarishi munosabatlari (fon Karman shtammlari)

Uch o'lchovli Lagranjning tarkibiy qismlari Yashil shtamm tensori sifatida belgilanadi

Ko'chirish maydoni uchun ifodalarni yuqoridagilarga almashtirish beradi

Kichik shtammlar uchun lekin o'rtacha aylanishlar, e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydigan yuqori buyurtma shartlari

Boshqa barcha yuqori buyurtma shartlarini e'tiborsiz qoldirib, plastinka qalinligini o'zgartirmasligi talabini bajarib, kuchlanish tenzori tarkibiy qismlari fon Karman shtammlari

Birinchi atamalar o'rtacha sirt uchun odatiy mayda shtammlardir. Ko'chirish gradyanlari kvadratlarini o'z ichiga olgan ikkinchi atamalar chiziqli emas va plastinka egilishi juda katta bo'lganda (aylanishlar 10-15 daraja atrofida bo'lganda) hisobga olinishi kerak. Ushbu dastlabki ikkita atama birgalikda deyiladi membrana shtammlari. Ikkinchi hosilalarni o'z ichiga olgan so'nggi atamalar: egiluvchan (egiluvchi) shtammlar. Ular egriliklarni o'z ichiga oladi. Ushbu nol sonlar klassik plastinka nazariyasining taxminlari bilan bog'liq bo'lib, ular o'rta tekislikka normal elementlar o'zgarmas bo'lib qoladi va o'rta tekislikka perpendikulyar chiziqli elementlar deformatsiyadan keyin o'rta tekislikka normal bo'lib qoladi.

Stress-stress munosabatlar

Agar biz taxmin qilsak Koshi kuchlanish tensori komponentlari fon Karman shtammlari bilan chiziqli bog'liqdir Xuk qonuni, plastinka izotrop va bir hil bo'lib, plastinka a ostida joylashgan tekislikdagi stress holat,[11] bizda ... bor σ33 = σ13 = σ23 = 0 va

Shartlarni kengaytirib, uchta nolga teng bo'lmagan stresslar

Stress natijalari

The stress natijalari plitasida quyidagicha aniqlanadi

Shuning uchun,

tekislikdagi siljishlarni yo'q qilishga olib keladi

va

Boshqaruv tenglamalari tekislikdagi kuchlanishlar emas, balki stress natijalari bilan ifodalanganida echimlarni topish osonroq bo'ladi.

Muvozanat tenglamalari

Kirchhoff plitasining zaif shakli

bu erda Ω o'rta tekislikni bildiradi. Zaif shakl olib keladi

Natijada boshqariladigan tenglamalar

Fyppl-von Karmanning stress natijalari bo'yicha tenglamalari

Fyppl-von Karman tenglamalari, odatda, energetik yondashuvni hisobga olgan holda olinadi o'zgarishlar ichki energiya va tashqi kuchlar tomonidan amalga oshirilgan virtual ish. Olingan statik boshqaruvchi tenglamalar (Muvozanat tenglamalari)

Plitaning umumiy o'lchamlari bilan solishtirganda burilishlar kichik bo'lsa va o'rta sirt shtammlari e'tibordan chetda qolsa,

.

Muvozanat tenglamalari kamaytirilgan (sof egilish yupqa plitalar) ga

.

Adabiyotlar

  1. ^ Föppl, A., "Vorlesungen über technische Mechanik", B.G. Teubner, Bd. 5., p. 132, Leypsig, Germaniya (1907)
  2. ^ fon Karman, T., "Festigkeitsproblem im Maschinenbau", Encyk. D. matematik. Yomon. IV, 311–385 (1910)
  3. ^ Cerda, E .; Mahadevan, L. (2003 yil 19-fevral). "Geometriya va ajinlar fizikasi". Jismoniy tekshiruv xatlari. Amerika jismoniy jamiyati (APS). 90 (7): 074302. doi:10.1103 / physrevlett.90.074302. ISSN  0031-9007.
  4. ^ Devid Xarris (2011 yil 11 fevral). "Fokus: burmalangan qog'ozni soddalashtirish". Jismoniy tekshiruvga e'tibor. Olingan 4 fevral 2020.
  5. ^ a b v d "Elastiklik nazariyasi". L. D. Landau, E. M. Lifshits, (3-nashr). ISBN  0-7506-2633-X)
  6. ^ 2 o'lchovli Laplasiya, Δ, deb belgilanadi
  7. ^ von Karman plastinka tenglamalari http://imechanica.org/node/6618, 30-iyul, 2013-yil 14:20.
  8. ^ a b Ciarlet, P. G. (1990), Plastmassa va elastik ko'p qavatli birikmalar, Springer-Verlag.
  9. ^ Ciarlet, Filipp G. (1980), "Fon Karman tenglamalarini asoslash", Ratsional mexanika va tahlil arxivi, 73 (4): 349–389., Bibcode:1980 yil ArRMA..73..349C, doi:10.1007 / BF00247674
  10. ^ Ciarlet, Filipp G. (1980), "Fon Karman tenglamalarini asoslash", Ratsional mexanika va tahlil arxivi, 73 (4): 349–389., Bibcode:1980 yil ArRMA..73..349C, doi:10.1007 / BF00247674
  11. ^ Odatda, taxmin nol tekislikdan tashqari stress shu nuqtada amalga oshiriladi.

Shuningdek qarang