Sonli nuqta usuli - Finite point method - Wikipedia

The cheklangan nuqta usuli (FPM) a meshfree usuli hal qilish uchun qisman differentsial tenglamalar (PDE) ballarning tarqoq tarqalishi bo'yicha. FPM to'qsoninchi yillarning o'rtalarida taklif qilingan (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Taylor, 1996a),[1] (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b)[2] va (Oñate & Idelsohn, 1998a)[3] murakkab geometriya, erkin yuzalar, harakatlanuvchi chegaralar va bilan bog'liq muammolarni hal qilishni osonlashtirish maqsadida moslashuvchan takomillashtirish. O'shandan beri FPM sezilarli darajada rivojlanib, qoniqarli aniqlik va turli suyuqlik va qattiq mexanika muammolarini hal qilish imkoniyatlarini ko'rsatdi.

Tarix

PDE-lar uchun boshqa meshfree usullariga o'xshab, cheklangan nuqta usuli (FPM) tarqoq ma'lumotlarni joylashtirish va interpolatsiya qilish uchun ishlab chiqilgan usullardan kelib chiqadi, asosan eng kichik kvadratchalar usullari (WLSQ). Ikkinchisini .ning o'ziga xos shakllari deb hisoblash mumkin kichik kvadratchalar harakatlanuvchi Lankaster va Salkauskas tomonidan taklif qilingan usul (MLS).[4] WLSQ usullari meshfree texnikasida keng qo'llanilgan, chunki MLS ning aksariyat qismini saqlashga imkon beradi, ammo amalga oshirish ancha samarali va sodda. Ushbu maqsadlarni hisobga olgan holda, FPM rivojlanishiga olib kelgan ajoyib tekshiruv boshlandi (Oñate, Idelsohn & Zienkiewicz, 1995a)[5] va (Teylor, Zienkievicz, Oñate & Idelsohn, 1995).[6] Tavsiya etilgan usul, nuqtalarning mahalliy bulutlari bo'yicha WLSQ yaqinlashuvi va nuqta kollokatsiyasiga asoslangan tenglamalarni diskretizatsiya qilish protsedurasi bilan tavsiflandi (Batina asarlari qatorida, 1989,[7] 1992[8]). FPMning birinchi dasturlari moslashuvchan siqiladigan oqim muammolariga qaratilgan (Fischer, Onate & Idelsohn, 1995;[9] Oñate, Idelsohn & Zienkiewicz, 1995a;[5] Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Fisher, 1995b[10]). Mahalliy bulutlar va tortish funktsiyalarining yaqinlashishiga ta'sirlar chiziqli va kvadratik polinom asoslari yordamida ham tahlil qilingan (Fischer, 1996).[11] Konveksiya-diffuziya va siqilmaydigan oqim muammolari kontekstidagi qo'shimcha tadqiqotlar FPMga yanada mustahkam asos yaratdi; qarz (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Taylor, 1996a)[1] va (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b).[2] Ushbu asarlar va (Oñate & Idelsohn, 1998)[3] bugungi kunda qo'llaniladigan asosiy FPM texnikasini aniqladi.

Raqamli yaqinlashish

FPM raqamli taxminiy sxemasi

FPMdagi taxminiy ko'rsatkichni quyidagicha umumlashtirish mumkin. Har bir nuqta uchun tahlil sohasida (yulduzcha nuqta), taxminiy echim atrofdagi qo'llab-quvvatlovchi nuqtalarning kichik to'plamidan foydalangan holda mahalliy ravishda qurilgan , muammo domeniga tegishli (nuqtalarning mahalliy buluti ). Yaqinlashish bulut noma'lum tugun qiymatlari (yoki parametrlari) va ma'lum metrik koeffitsientlarining chiziqli kombinatsiyasi sifatida hisoblanadi. Ular bulut darajasida WLSQ muammosini echish yo'li bilan olinadi, unda tugun parametrlari va taxminiy eritma orasidagi masofalar LSQ ma'nosida minimallashtiriladi. Taxminiy metrik koeffitsientlari ma'lum bo'lgandan so'ng, har birida PDElarni boshqarish muammosi tanlanadi yulduzcha nuqta yordamida kollokatsiya usuli. Uzluksiz o'zgaruvchilar (va ularning hosilalari) namuna olingan tenglamalarda diskret taxminiy shakllar bilan almashtiriladi va hosil bo'lgan tizimning echimi noma'lum tugun qiymatlarini hisoblash imkonini beradi. Demak, masalaning boshqaruvchi tenglamalarini qondiradigan taxminiy echimni olish mumkin. Shuni ta'kidlash kerakki, FPMning juda lokal xususiyati usulni samarali parallel echimlar sxemalarini amalga oshirishga moslashtiradi.

Odatda FPM yaqinlashuvi qurilishi (Oñate & Idelsohn, 1998) da tasvirlangan.[3] Taxminiy parametrlarning tahlili (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007)[12] va yanada keng qamrovli tadqiqotlar (Ortega, 2014) da o'tkaziladi.[13] Boshqa yondashuvlar ham taklif qilingan, masalan, qarang (Boroomand, Tabatabaei va Oñate, 2005).[14] FPM yaqinlashmasining kengaytmasi keltirilgan (Boroomand, Najjar & Oñate, 2009).[15]

Ilovalar

Suyuqlik mexanikasi

Suyuqlik oqimi muammolariga FPMni tadqiq qilish va qo'llashning dastlabki yo'nalishlari qisqacha bayon qilingan (Fischer, 1996).[11] U erda konvektiv-diffuziv masalalar LSQ va WLSQ polinomiy yaqinlashmalari yordamida o'rganildi. Tadqiqot nuqta buluti va tortish funktsiyalari lokal taxminiy aniqligiga ta'siriga qaratildi, bu esa FPM ning asosiy xatti-harakatlarini tushunishga yordam berdi. Natijalar shuni ko'rsatdiki, 1D FPM yaqinlashuvi ikkinchi darajali aniq bo'lgan, markaziy farq yaqinlashuvi bilan olinganga o'xshash diskret lotin shakllariga olib keladi. Biroq, aniqlik nosimmetrik bo'lmagan bulutlar uchun tortish funktsiyasiga qarab birinchi darajaga qadar pasayadi. Minimallashtirish muammosining yomon holatini yaxshilash maqsadida mahalliy bulutlarga mos keladigan nuqtalarni tanlash bo'yicha dastlabki mezonlar ham aniqlandi. Ushbu ishda ishlaydigan oqim hal qiluvchi aniq sun'iy tarqalish bilan ikki bosqichli Teylor-Galerkin sxemasiga asoslangan edi. Raqamli misollarda indissid subsonik, transonik va ovozdan yuqori tezlikda ikki o'lchovli muammolar mavjud edi, ammo yopishqoq past-Reynolds sonining sinov ishi ham taqdim etildi. Umuman olganda, ushbu ishda olingan natijalar qoniqarli edi va LSQ minimallashtirishda og'irlikni kiritish yuqori natijalarga olib kelishini ko'rsatdi (chiziqli asos ishlatilgan).

Xuddi shunday tadqiqot yo'nalishida, cheklangan domendagi oqim muvozanati nuqtai nazaridan olingan qoldiq stabilizatsiya texnikasi, "Sonlu o'sish hisobi" (Oñate, 1996,)[16] 1998[17]), joriy etildi. Natijalar aniq sun'iy tarqalish bilan olingan natijalar bilan taqqoslandi, ammo afzalligi shundaki, FICdagi barqarorlik izchil ravishda joriy qilingan, qarang (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b)[2] va (Oñate & Idelsohn, 1998a).[3]

Ushbu o'zgarishlar orasida birinchi navbatda nuqta yaratish masalasi ko'rib chiqildi (Löhner & Oñate, 1998).[18] Oldinga siljish uslubiga asoslanib, mualliflar shuni ko'rsatdiki, meshsiz hisoblash uchun mos bo'lgan nuqta diskretizatsiyasini an'anaviy mash ishlab chiqarishda zarur bo'lgan odatdagi sifat tekshiruvlaridan qochish orqali yanada samarali yaratish mumkin. An'anaviy meshlar bilan taqqoslaganda yuqori raqobatbardosh avlodlar vaqtiga erishildi, birinchi marta meshsiz usullar diskretizatsiya muammolarini engillashtirish uchun mumkin bo'lgan alternativ ekanligini ko'rsatdi.

Siqib bo'lmaydigan 2-darajali oqimlar birinchi marta o'rganilgan (Oñate, Sacco & Idelsohn, 2000)[19] yordamida proektsiya usuli FIC texnikasi orqali barqarorlashdi. Ushbu yondashuvni batafsil tahlil qilish (Sacco, 2002).[20] Ushbu ishning ajoyib yutuqlari FPMga yanada mustahkam asos yaratdi; ular orasida mahalliy va normallashtirilgan taxminiy asoslarning ta'rifi, mahalliy Delaunay uchburchagi asosida nuqtalarning mahalliy bulutlarini qurish tartibi va natijada yaqinlashuv sifatini baholash mezonlari. Taqdim etilgan raqamli dasturlar asosan ikki o'lchovli (yopishqoq va invitsidli) siqilmaydigan oqimlarga yo'naltirilgan, ammo uch o'lchovli dastur namunasi ham berilgan.

(Idelsohn, Storti & Oñate, 2001) da keltirilgan FPMni lagranj doirasidagi dastlabki qo'llanmasi,[21] haqida ham aytib o'tish joiz. Siqilmaydigan uchun olingan qiziqarli natijalarga qaramay erkin sirt oqimlar, ushbu tadqiqot yo'nalishi FPM ostida davom ettirilmadi va keyinchalik formulalar faqat Evleriya oqim tavsiflariga asoslangan edi.

3D siqilgan oqimlarni hal qilishda FPMni birinchi tadbiq etilishi kashshoflik ishida (Löhner, Sacco, Oñate & Idelsohn, 2002) taqdim etilgan.[22] U erda nuqtalarning mahalliy bulutlarini qurishning ishonchli va umumiy tartibi (Delaunay texnikasi asosida) va oqim tenglamalarini echish uchun juda mos sxema ishlab chiqilgan. Tavsiya etilgan echim sxemasida diskret oqim hosilalari bulut nuqtalarini bir-biriga bog'laydigan qirralarning bo'ylab markaziy farqga o'xshash ifoda va konvektiv stabillashishni ta'minlovchi yuqoriga qarab yo'naltirilgan atama sifatida yozilgan. Buning uchun Rim va Van Leer oqimi vektorlari bo'linishining taxminiy hal qiluvchi vositasi ishlatilgan. Taklif qilinayotgan yondashuv sun'iy tarqatish usullariga qaraganda aniqroq (shuningdek, qimmatroq) va qo'shimcha ravishda mahalliy bulutdagi geometrik o'lchovlarni va muammoga bog'liq parametrlarni aniqlashni talab qilmaydi. Tenglamalarni vaqt ichida integratsiyasi Runge-Kutta usullari qatorida ko'p bosqichli aniq sxema orqali amalga oshirildi.

Bir necha yil o'tgach, 3D FPM taxminlariga nisbatan qo'shimcha tadqiqotlar olib borildi (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007).[12] Ushbu ish mahalliy qo'llab-quvvatlash xususiyatlaridan qat'iy nazar mustahkam taxminlarni tuzishga qaratilgan. Shu maqsadda tortish funktsiyasini va boshqa taxminiy parametrlarni mahalliy avtomatik sozlash taklif qilindi. Siqilgan aerodinamikani o'z ichiga olgan usulning keyingi 3D qo'llanmalari moslashuvchan takomillashtirish (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2009)[23] va harakatlanuvchi / deformatsiyalanuvchi chegara muammolar (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2013).[24] Ushbu ishlarda FPM qoniqarli darajada mustahkam va aniqligini va amaliy hisob-kitoblarni hal qilish imkoniyatlarini namoyish etdi. Boshqa yutuqlar qatori, modelni diskretizatsiyasini to'liq qayta tiklash, hatto yirik simulyatsiya muammolarida ham arzon echim strategiyasi bo'lishi mumkinligini namoyish etdi. Ushbu natija harakatlanuvchi / deformatsiya qilinadigan domen muammolarini meshsiz tahlil qilish uchun yangi imkoniyatlar yaratadi. FPM ham moslashishga muvaffaqiyatli qo'llanildi sayoz suv muammolar (Ortega, Oñate, Idelsohn & Buachart, 2011)[25] va (Buachart, Kanok-Nukulchai, Ortega & Oñate, 2014).[26] Yuqori Reynoldsning yopishqoq oqimi muammolarida meshsiz afzalliklardan foydalanish taklifi (Ortega, Oñate, Idelsohn & Flores, 2014a).[27]

Xuddi shu dastur sohasida FPMning aniqligi, hisoblash qiymati va parallel ishlashi bo'yicha katta tadqiqotlar o'tkazildi (Ortega, Oñate, Idelsohn & Flores, 2014b).[28] U erda FPM ekvivalent Finite Element asosidagi hal qiluvchi bilan taqqoslandi, bu ikkalasini ham, meshsiz hal qiluvchining xususiyatlarini va uning amaliy qo'llanmalariga mosligini baholash uchun standart berdi. Ushbu ishda FPM texnikasini ba'zi soddalashtirish samaradorligini oshirish va FEM bilan ishlash farqini kamaytirish uchun taklif qilingan. Keyinchalik, qanot tanasi konfiguratsiyasidan foydalangan holda panjara yaqinlashuvi bo'yicha tadqiqotlar o'tkazildi. Natijalar taqqoslanadigan aniqlik va ishlashni namoyish etdi, bu FPMni o'zining hamkasbiga nisbatan raqobatdoshligini ko'rsatdi. Bu juda muhimdir, chunki dastlabki amaliyotlarning past samaradorligi sababli mashsiz usullar ko'pincha amaliy emas.

FPM ham qo'llanilgan aerokustika ichida (Bajko, Cermak & Jicha, 2014).[29] Tavsiya etilgan echim sxemasi chiziqli Riman solveriga asoslangan va yuqori darajadagi FPM taxminlarining afzalliklaridan muvaffaqiyatli foydalanadi. Olingan natijalar FPMning ovozni targ'ib qilish muammolarini hal qilish salohiyatidan dalolat beradi.

Qattiq mexanika

Hozirgi tergov yo'nalishlari

Amaldagi sa'y-harakatlar asosan FPM imkoniyatlaridan foydalanib, katta miqyosdagi amaliy muammolarni hal qilish uchun parallel muhitda ishlashga yo'naltirilgan, xususan, ortiqcha oro bermay protseduralar foydali hissa qo'shishi mumkin bo'lgan joylarda, masalan, murakkab geometriya, harakatlanuvchi / deformatsiyalanuvchi domen, moslashuvchan takomillashtirish bilan bog'liq muammolar. va ko'p o'lchovli hodisalar.

Adabiyotlar

  1. ^ a b Oñate, E .; Idelson, S .; Zienkievicz, O. C.; Teylor, R. L. (1996). "Suyuqlik mexanikasi muammolarini tahlil qilishning yakuniy usuli. Konvektiv transport va suyuqlik oqimi uchun qo'llanmalar". Muhandislikda raqamli usullar bo'yicha xalqaro jurnal. 39 (2): 3839–3866. Bibcode:1996IJNME..39.3839O. doi:10.1002 / (SICI) 1097-0207 (19961130) 39:22 <3839 :: AID-NME27> 3.0.CO; 2-R.
  2. ^ a b v Oñate, E .; Idelson, S .; Zienkievicz, O. C.; Teylor, R. L .; Sacco, C. (1996). "Suyuqlik mexanikasi muammolarini tahlil qilish uchun barqarorlashtirilgan cheklangan nuqta usuli". Amaliy mexanika va muhandislikdagi kompyuter usullari. 139 (1): 315–346. Bibcode:1996CMAME.139..315O. doi:10.1016 / s0045-7825 (96) 01088-2.
  3. ^ a b v d Oñate, E .; Idelsohn, S. (1998). "Advektiv-diffuziv transport va suyuqlik oqimi muammolari uchun to'rsiz cheklangan nuqta usuli". Hisoblash mexanikasi. 24 (4–5): 283–292. Bibcode:1998 yil Kompaniya..21..283O. doi:10.1007 / s004660050304.
  4. ^ Lankaster, P.; Salkauskas, K. (1981). "Eng kichik kvadratlarni harakatlantirish natijasida hosil bo'lgan yuzalar". Hisoblash matematikasi. 37 (155): 141–158. doi:10.2307/2007507. JSTOR  2007507.
  5. ^ a b Oñate, E .; Idelson, S .; Zienkiewicz, O. C. (1995). "Hisoblash mexanikasida cheklangan nuqta usullari". CIMNE Publication Nº 74: Muhandislikda raqamli usullarning xalqaro markazi.
  6. ^ Teylor, R. L .; Zienkievicz, O. C.; Oñate, E .; Idelsohn, S. (1995). "Differentsial tenglamalarni echish uchun eng kichik kvadrat yaqinlashuvlari". CIMNE nashri Nº 74 (31-bet): Xalqaro muhandislikdagi raqamli usullar markazi.
  7. ^ Batina, J. T. (1989). "Murakkab samolyotlar aeroelastik tahlillari uchun strukturasiz dinamik mash bilan beqaror Eyler algoritmi". AIAA qog'ozi. 89: 1189.
  8. ^ Batina, J. T. (1992). "Murakkab ikki o'lchovli dasturlar uchun panjarasiz Eyler / Navier-Stoks echimlari algoritmi". Nasa-Tm-107631.
  9. ^ Fischer, T .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (1995). "Yuqori tezlikli oqimlarni kompyuterda tahlil qilish uchun mashsiz usul". AGARDning CFD usullari va algoritmlaridagi taraqqiyot va muammolarga bag'ishlangan simpoziumida taqdim etilgan maqola, Sevilya.
  10. ^ Oñate, E .; Idelson, S .; Zienkievicz, O. C.; Fisher, T. (1995). "Hisoblash mexanikasida cheklangan nuqta usullari". Suyuqlikdagi so'nggi elementlar usullari bo'yicha konferentsiya, Venize, Italiya, 15-21.
  11. ^ a b Fischer, T. (1996). "Siqiladigan oqim muammolarini moslashuvchan sonli echimiga hissa". PHD dissertatsiyasi, Universitat Politècnica de Catalunya.
  12. ^ a b Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (2007). "Uch o'lchovli potentsial oqimlar uchun takomillashtirilgan cheklangan nuqta usuli". Hisoblash mexanikasi. 40 (6): 949–963. Bibcode:2007CompM..40..949O. doi:10.1007 / s00466-006-0154-6.
  13. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (2014). Siqiladigan aerodinamik masalalarga cheklangan nuqta usulini ishlab chiqish va qo'llash (PDF). CIMNE monografiyasi M143. ISBN  978-84-941686-7-3.
  14. ^ Boroomand, B .; Tabatabaei, A. A .; Oñate, E. (2005). "Sonli nuqta usulini barqarorlashtirish uchun oddiy modifikatsiyalar". Muhandislikda raqamli usullar bo'yicha xalqaro jurnal. 63 (3): 351–379. Bibcode:2005IJNME..63..351B. doi:10.1002 / nme.1278.
  15. ^ Boroomand, B .; Najjar, M .; Oñate, E. (2009). "Umumlashtirilgan cheklangan nuqta usuli". Hisoblash mexanikasi. 44 (2): 173–190. Bibcode:2009 yil Kompaniya..44..173B. doi:10.1007 / s00466-009-0363-x.
  16. ^ Oñate, E. (1996). "Konvektiv transport va suyuqlik oqimi muammolarining sonli echimini barqarorlashtirish to'g'risida". N Report 81 tadqiqot hisoboti: muhandislikdagi raqamli usullarning xalqaro markazi.
  17. ^ Oñate, E. (1998). "Advektiv-diffuziv tashish va suyuqlik oqimi masalalarini sonli echimi uchun stabillashgan tenglamalarni chiqarish". Amaliy mexanika va muhandislikdagi kompyuter usullari. 151 (1): 233–265. Bibcode:1998CMAME.151..233O. doi:10.1016 / s0045-7825 (97) 00119-9.
  18. ^ Lohner, R .; Oñate, E. (1998). "Oldinga yo'naltirilgan avlodni yaratish texnikasi" Muhandislikdagi raqamli usullardagi aloqa. 14 (12): 1097–1108. doi:10.1002 / (sici) 1099-0887 (199812) 14:12 <1097 :: aid-cnm183> 3.0.co; 2-7.
  19. ^ Oñate, E .; Sakko, C .; Idelsohn, S. (2000). "Siqilmaydigan oqim muammolari uchun cheklangan nuqta usuli". Fanda hisoblash va vizualizatsiya. 3 (1–2): 67–75. doi:10.1007 / s007910050053.
  20. ^ Sacco, C. (2002). "Desarrollo del metodo de puntos finitos en mecánica de fluidos". PHD dissertatsiyasi, Universitat Politècnica de Catalunya.
  21. ^ Idelson, S .; Storti, M.; Oñate, E. (2001). "Erkin sirtni siqib bo'lmaydigan yopiq suyuqlik oqimlarini echish uchun lagranj formulalari". Amaliy mexanika va muhandislikdagi kompyuter usullari. 191 (6): 583–593. Bibcode:2001CMAME.191..583R. doi:10.1016 / s0045-7825 (01) 00303-6.
  22. ^ Lohner, R .; Sakko, C .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (2002). "Siqiladigan oqim uchun cheklangan nuqta usuli". Muhandislikda raqamli usullar bo'yicha xalqaro jurnal. 53 (8): 1765–1779. Bibcode:2002 yil. IJNME..53.1765L. doi:10.1002 / nme.334. hdl:2117/167123.
  23. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelsohn, S. (2009). "Uch o'lchamli siqiladigan oqimlarni hisoblash uchun cheklangan nuqta usuli". Suyuqlikdagi raqamli usullar bo'yicha xalqaro jurnal. 60 (9): 937–971. Bibcode:2009IJNMF..60..937O. doi:10.1002 / fld.1892. hdl:2117/24488.
  24. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelson, S .; Flores, R. (2013). "Harakatlanuvchi chegaralar va moslashuvchanlikni o'z ichiga olgan siqiladigan oqim muammolarini uch o'lchovli tahlil qilish uchun meshsiz cheklangan nuqta usuli". Suyuqlikdagi raqamli usullar bo'yicha xalqaro jurnal. 73 (4): 323–343. Bibcode:2013IJNMF..73..323O. doi:10.1002 / fld.3799. hdl:2117/86276.
  25. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelson, S .; Buachart, C. (2011). "Sayoz suv tenglamalari uchun moslashuvchan cheklangan nuqta usuli". Muhandislikda raqamli usullar bo'yicha xalqaro jurnal. 88 (2): 180–204. Bibcode:2011IJNME..88..180O. doi:10.1002 / nme.3171.
  26. ^ Buachart, C .; Kanok-Nukulchay, V.; Ortega, E .; Oñate, E. (2014). "Sonli nuqta usuli bilan sayoz suv modeli". Xalqaro hisoblash usullari jurnali. 11 (1): 1350047. doi:10.1142 / S0219876213500473.
  27. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelson, S .; Flores, R. (2014). "Yuqori Reynolds sonli siqiladigan oqim muammolariga cheklangan nuqta usulini qo'llash". Suyuqlikdagi raqamli usullar bo'yicha xalqaro jurnal. 74 (10): 732. Bibcode:2014IJNMF..74..732O. doi:10.1002 / fld.3871.
  28. ^ Ortega, E .; Oñate, E .; Idelson, S .; Flores, R. (2014). "Siqiladigan oqim muammolarida cheklangan nuqta usulining qiyosiy aniqligi va ishlashini baholash". Kompyuterlar va suyuqliklar. 89: 53–65. doi:10.1016 / j.compfluid.2013.10.024.
  29. ^ Bajko, J .; Cermak, L .; Jícha, M. (2014). "Ovozni tarqatish muammolarini hal qilish uchun yuqori tartibli cheklangan nuqta usuli". Amaliy mexanika va muhandislikdagi kompyuter usullari. 280: 157–175. Bibcode:2014CMAME.280..157B. doi:10.1016 / j.cma.2014.07.022.