O'rtacha geometrik-garmonik - Geometric–harmonic mean

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Resurs manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Geometrik-garmonik o'rtacha"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2012 yil sentyabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, o'rtacha geometrik-harmonik M (x, y) ikkitadan ijobiy haqiqiy raqamlar x va y quyidagicha ta'riflanadi: biz hosil qilamiz o'rtacha geometrik ning g₀ = x va h₀ = y va uni chaqiring g₁, ya'ni g₁ bo'ladi kvadrat ildiz ning xy. Bundan tashqari biz garmonik o'rtacha ning x va y va uni chaqiring h₁, ya'ni h₁ bo'ladi o'zaro ning o'rtacha arifmetik ning o'zaro aloqalari x va y. Ular ketma-ket (har qanday tartibda) yoki bir vaqtning o'zida bajarilishi mumkin.

Endi biz ushbu operatsiyani takrorlashimiz mumkin g₁ o'rnini egallash x va h₁ o'rnini egallash y. Shu tarzda, ikkitasi ketma-ketliklar (g_n) va (h_n) aniqlanadi:

${ displaystyle g_ {n + 1} = { sqrt {g_ {n} h_ {n}}}}$

va

${ displaystyle h_ {n + 1} = { frac {2} {{ frac {1} {g_ {n}}} + { frac {1} {h_ {n}}}}}}}$

Ushbu ikkala ketma-ketlik yaqinlashmoq biz qo'ng'iroq qiladigan raqamga o'rtacha geometrik-harmonik M (x, y) ning x vay. Geometrik-harmonik o'rtacha ham sifatida belgilanadi garmonik-geometrik o'rtacha. (quyida Wolfram MathWorld).

Limitning mavjudligini vositalar bilan isbotlash mumkin Bolzano-Vayderstrass teoremasi mavjudligini isbotlash bilan deyarli bir xil tarzda o'rtacha arifmetik - geometrik o'rtacha.

Xususiyatlari

M (x, y) - ning geometrik va harmonik o'rtacha orasidagi raqam x va y; xususan, bu o'rtasida x va y. M (x, y) ham bir hil, ya'ni agar r > 0, keyin M (rx, ry) = r M (x, y).

Agar AG (x, y) bo'ladi o'rtacha arifmetik - geometrik o'rtacha, keyin bizda ham bor

${ displaystyle M (x, y) = { frac {1} {AG ({ frac {1} {x}}, { frac {1} {y}})}}}$

Tengsizliklar

Bizda Pifagoriya vositalari bilan bog'liq quyidagi tengsizlik mavjud {H, G, A} va takrorlangan Pifagor degani {HG, HA, GA}:

${ displaystyle min (x, y) leq H (x, y) leq HG (x, y) leq G (x, y) leq GA (x, y) leq A (x, y)) leq max (x, y)}$

bu erda takrorlanadigan Pifagoriya vositalari ularning qismlari bilan aniqlangan {H, G, A} ketma-ketlikda:

• H(x, y) garmonik o'rtacha,
• HG(x, y) garmonik-geometrik o'rtacha,
• G(x, y) = HA(x, y) geometrik o'rtacha (bu ham harmonik-arifmetik o'rtacha),
• GA(x, y) o'rtacha geometrik-arifmetik,
• A(x, y) o'rtacha arifmetik hisoblanadi.

Shuningdek qarang

• O'rtacha arifmetik-geometrik
• O'rtacha arifmetik-harmonik
• Anglatadi

Tashqi havolalar

• Vayshteyn, Erik V. "Harmonik-geometrik o'rtacha". MathWorld.