Gosset-Elte raqamlari - Gosset–Elte figures

The 4₂₁ 8 fazoning politopi

Yilda geometriya, Gosset-Elte raqamlaritomonidan nomlangan Kokseter keyin Thorold Gosset va E. L. Elte, guruhidir bir xil politoplar ular yo'q muntazam, tomonidan yaratilgan Wythoff qurilishi buyurtma-2 va tartib-3 dihedral burchaklari bilan bog'liq bo'lgan nometall bilan. Ularni ko'rish mumkin bitta uchli qo'ng'iroq Kokseter-Dinkin diagrammasi.

The Kokseter belgisi chunki bu raqamlar shaklga ega k_{men, j}, bu erda har bir harf Koxeter-Dinkin diagrammasidagi buyurtma uzunligini bildiradi-a, tugunning bitta tugmachasida bitta halqa bilan k filiallarning uzunlik ketma-ketligi. The tepalik shakli ning k_{men, j} bu (k − 1)_{men, j}va uning har bir tomoni nolga teng obunalardan bittasini olib tashlash bilan ifodalanadi, ya'ni. k_{men − 1,j} va k_{men,j − 1}.^[1]

Tuzatilgan sodda bilan cheklovchi holatlar sifatida ro'yxatga kiritilgan k= 0. Xuddi shunday 0_{i, j, k} markaziy tugun halqalangan bifurkatsiya qilingan grafani ifodalaydi.

Tarix

Kokseter ushbu raqamlarni shunday nomlagan k_{men, j} (yoki k_ij) stsenariyda va Gosset va Elte'ga o'zlarining kashfiyotlari uchun minnatdorchilik bildirdilar:^[2]

Thorold Gosset birinchi bo'lib ro'yxatini e'lon qildi kosmosdagi muntazam va yarim muntazam raqamlar n o'lchamlari^[3] 1900 yilda bir yoki bir nechta turlari bo'lgan politoplarni sanab chiqing muntazam politop yuzlar. Bunga quyidagilar kiradi rektifikatsiyalangan 5 hujayrali 0₂₁ 4 fazoda, demipenterakt 1₂₁ 5-kosmosda, 2₂₁ 6 bo'shliqda, 3₂₁ 7-kosmosda, 4₂₁ 8 bo'shliqda va 5₂₁ 8 fazodagi cheksiz tessellation.
E. L. Elte 1912 yilgi kitobida mustaqil ravishda boshqa semirgular ro'yxatini sanab o'tdi, Giperspaslarning semiregular politoplari.^[4] U ularni chaqirdi birinchi turdagi semiregular polytopes, uning izlanishini odatdagi yoki semiregular k-yuzlarning bir yoki ikki turi bilan cheklash.

Elte ro'yxatiga barcha kiritilgan k_ij dan tashqari polytopes 1₄₂ unda 6 ta yuzning 3 turi mavjud.

Raqamlar to'plami mos ravishda 6,7,8 o'lchovli evklid bo'shliqlarida (2,2,2), (3,3,1) va (5,4,1) oilalarning chuqurchalariga tarqaladi. Gosset ro'yxatiga quyidagilar kiritilgan 5₂₁ chuqurchalar uning ta'rifidagi yagona semirgular sifatida.

Ta'rif

Oddiy to'rli ADE guruhlari

Ushbu oiladagi polipoplar va ko'plab chuqurchalar ichida ko'rinadi ADE tasnifi.

Cheklangan politop k_ij agar mavjud bo'lsa

{displaystyle {frac {1} {i + 1}} + {frac {1} {j + 1}} + {frac {1} {k + 1}}> 1}

yoki evklidli chuqurchalar uchun teng, giperbolik chuqurchalar uchun kamroq.

The Kokseter guruhi [3^{i, j, k}] 3 tagacha noyob forma ishlab chiqarishi mumkin Gosset-Elte raqamlari bilan Kokseter-Dinkin diagrammasi bitta tugun qo'ng'irog'i bilan. By Kokseter notation, har bir raqam bilan ifodalanadi k_ij tugmachasini tugatish degani kuzunlik ketma-ketligi qo'ng'iroq qilinadi

The oddiy oilani cheklovchi ish sifatida ko'rish mumkin k= 0 va barchasi tuzatilgan (bitta halqali) Kokseter - Dinkin diagrammasi.

A-oila [3ⁿ] (tuzatilgan sodda )

Oilasi n-sodda shaklning Gosset-Elte raqamlarini o'z ichiga oladi 0_ij hamma kabi tuzatilgan shakllari n-sodda (men + j = n − 1).

Ular quyida, ular bilan birga keltirilgan Kokseter - Dinkin diagrammasi, har bir o'lchovli oila grafik sifatida chizilgan ortogonal proektsiya ning tekisligida Petrie ko'pburchagi oddiy simpleks.

Kokseter guruhi	Simpleks	Tuzatilgan	Birlashtirilgan	To'g'ri yo'naltirilgan	To'rtta aniqlangan
A₁ [3⁰]	= 0₀₀
A₂ [3¹]	= 0₁₀
A₃ [3²]	= 0₂₀	= 0₁₁
A₄ [3³]	= 0₃₀	= 0₂₁
A₅ [3⁴]	= 0₄₀	= 0₃₁	= 0₂₂
A₆ [3⁵]	= 0₅₀	= 0₄₁	= 0₃₂
A₇ [3⁶]	= 0₆₀	= 0₅₁	= 0₄₂	= 0₃₃
A₈ [3⁷]	= 0₇₀	= 0₆₁	= 0₅₂	= 0₄₃
A₉ [3⁸]	= 0₈₀	= 0₇₁	= 0₆₂	= 0₅₃	= 0₄₄
A₁₀ [3⁹]	= 0₉₀	= 0₈₁	= 0₇₂	= 0₆₃	= 0₅₄
...	...

D oilasi [3^n−3,1,1] demihypercube

Har bir D._n guruhda ikkita Gosset-Elte raqamlari mavjud n-demihypercube kabi 1_k1va o'zgaruvchan shakli n-ortoppleks, k₁₁, o'zgaruvchan sodda tomonlar bilan qurilgan. Tuzatilgan n-demihiperkublar, birektifikatsiyalangan pastki simmetriya shakli n-cube, shuningdek, sifatida ifodalanishi mumkin 0_k11.

Sinf	Demihiperkublar	Orfoplekslar (Muntazam)	Rektifikatsiya qilingan demikublar
D.₃ [3^1,1,0]	= 1₁₀		= 0₁₁₀
D.₄ [3^1,1,1]	= 1₁₁		= 0₁₁₁
D.₅ [3^2,1,1]	= 1₂₁	= 2₁₁	= 0₂₁₁
D.₆ [3^3,1,1]	= 1₃₁	= 3₁₁	= 0₃₁₁
D.₇ [3^4,1,1]	= 1₄₁	= 4₁₁	= 0₄₁₁
D.₈ [3^5,1,1]	= 1₅₁	= 5₁₁	= 0₅₁₁
D.₉ [3^6,1,1]	= 1₆₁	= 6₁₁	= 0₆₁₁
D.₁₀ [3^7,1,1]	= 1₇₁	= 7₁₁	= 0₇₁₁
...	...	...
D._n [3^n−3,1,1]	... = 1_n−3,1	... = (n−3)₁₁	... = 0_n−3,1,1

E_n oila [3^n−4,2,1]

Har bir E_n 4 dan 8 gacha bo'lgan guruhda ikkita yoki uchta Gosset-Elte raqamlari mavjud bo'lib, ularni so'nggi tugunlardan biri ifodalaydi:k₂₁, 1_k2, 2_k1. Tuzatilgan 1_k2 ketma-ket sifatida ham ifodalanishi mumkin 0_k21.

	2_k1	1_k2	k₂₁	0_k21
E₄ [3^0,2,1]	= 2₀₁	= 1₂₀	= 0₂₁
E₅ [3^1,2,1]	= 2₁₁	= 1₂₁	= 1₂₁	= 0₂₁₁
E₆ [3^2,2,1]	= 2₂₁	= 1₂₂	= 2₂₁	= 0₂₂₁
E₇ [3^3,2,1]	= 2₃₁	= 1₃₂	= 3₂₁	= 0₃₂₁
E₈ [3^4,2,1]	= 2₄₁	= 1₄₂	= 4₂₁	= 0₄₂₁

Evklid va giperbolik chuqurchalar

Uchta evklid (afine ) Kokseter guruhlari 6, 7 va 8 o'lchamlarda:^[5]

Kokseter guruhi	Asal qoliplari
${displaystyle {ilde {E}} _ {6}}$ = [3^2,2,2]	= 2₂₂			= 0₂₂₂
${displaystyle {ilde {E}} _ {7}}$ = [3^3,3,1]	= 3₃₁	= 1₃₃		= 0₃₃₁
${displaystyle {ilde {E}} _ {8}}$ = [3^5,2,1]	= 2₅₁	= 1₅₂	= 5₂₁	= 0₅₂₁

Uchta giperbolik (parakompakt ) Kokseter guruhlari 7, 8 va 9 o'lchamlarda:

Kokseter guruhi	Asal qoliplari
${displaystyle {ar {T}} _ {7}}$ = [3^3,2,2]	= 3₂₂	= 2₃₂		= 0₃₂₂
${displaystyle {ar {T}} _ {8}}$ = [3^4,3,1]	= 4₃₁	= 3₄₁	= 1₄₃	= 0₄₃₁
${displaystyle {ar {T}} _ {9}}$ = [3^6,2,1]	= 2₆₁	= 1₆₂	= 6₂₁	= 0₆₂₁

Ushbu ramzda umumlashma sifatida ko'proq tartib-3 filiallari ham ifodalanishi mumkin. 4 o'lchovli afine Kokseter guruhi, ${displaystyle {ilde {Q}} _ {4}}$ , [3^1,1,1,1], to'rtta buyurtma-3 filialga ega va bitta chuqurchani ifoda eta oladi, 1₁₁₁, , ning pastki simmetriya shaklini ifodalaydi 16 hujayrali chuqurchalar va 0₁₁₁₁, uchun rektifikatsiyalangan 16 hujayrali chuqurchalar. 5 o'lchovli giperbolik Kokseter guruhi, ${displaystyle {ar {L}} _ {4}}$ , [3^1,1,1,1,1], beshta buyurtma-3 filialga ega va bitta chuqurchani ifoda eta oladi, 1₁₁₁₁, va uni to'g'rilash 0₁₁₁₁₁, .

Izohlar

^ Kokseter 1973, p.201
^ Kokseter, 1973, p. 210 (11.x Tarixiy eslatma)
^ Gosset, 1900 yil
^ Elite Elte, 1912 yil
^ Coxeter 1973, pp.202-204, 11.8 Gossetning oltita, etti va sakkiz o'lchovdagi raqamlari.

Adabiyotlar

Gosset, Thorold (1900). "Kosmosdagi muntazam va yarim muntazam ko'rsatkichlar to'g'risida n o'lchamlari". Matematika xabarchisi. 29: 43–48.
Elte, E. L. (1912), Giperspaslarning semiregular politoplari, Groningen: Groningen universiteti, ISBN 1-4181-7968-X [1] [2]
Kokseter, X.S.M. (3-nashr, 1973) Muntazam Polytopes, Dover nashri, ISBN 0-486-61480-8
Norman Jonson Yagona politoplar, Qo'lyozma (1991)
- N.V. Jonson: Yagona politoplar va asal qoliplari nazariyasi, T.f.n. Dissertatsiya, Toronto universiteti, 1966 y

[1] Kokseter 1973, p.201

[2] Kokseter, 1973, p. 210 (11.x Tarixiy eslatma)

[3] Gosset, 1900 yil

[4] Elite Elte, 1912 yil

[5] Coxeter 1973, pp.202-204, 11.8 Gossetning oltita, etti va sakkiz o'lchovdagi raqamlari.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]