Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi - Grothendieck–Riemann–Roch theorem

Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi

Grotendikning Grotendik - Riman - Roch teoremasiga sharhi
Maydon	Algebraik geometriya
Birinchi dalil	Aleksandr Grothendieck
Birinchi dalil	1957
Umumlashtirish	Atiya - Singer indeks teoremasi
Oqibatlari	Xirzebrux – Riman-Rox teoremasi Rimann –Roch sirtlari uchun teorema Riman-Rox teoremasi

Yilda matematika, xususan algebraik geometriya, Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi bu juda katta natijadir izchil kohomologiya. Bu .ning umumlashtirilishi Xirzebrux – Riman-Rox teoremasi, haqida murakkab manifoldlar, bu o'zi klassikning umumlashtirilishi Riman-Rox teoremasi uchun chiziqli to'plamlar kuni ixcham Riemann sirtlari.

Riemann-Roch tipidagi teoremalar bog'liqdir Eyler xususiyatlari ning kohomologiya a vektor to'plami ular bilan topologik darajalar, yoki umuman olganda ularning (co) homologiyasida yoki ularning algebraik analoglarida xarakterli sinflari. Klassik Riemann-Roch teoremasi bu chiziqlar va chiziqlar to'plamlari uchun bajarilgan bo'lsa, Xirzebrux-Riman-Rox teoremalari buni kollektorlar ustidagi vektor to'plamlariga umumlashtiradi. Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi ikkala teoremani a ning nisbiy holatida o'rnatadi morfizm ikkita kollektor o'rtasida (yoki umuman umumiyroq) sxemalar ) va teoremani bitta to'plam haqidagi bayonotdan murojaat qiladiganga o'zgartiradi zanjirli komplekslar ning sochlar.

Teorema juda ta'sirchan bo'lib, nafaqat rivojlanishi uchun Atiya - Singer indeks teoremasi. Aksincha, murakkab analitik Grothendiek-Riemann-Roch teoremasining analoglarini oilalar uchun indeks teoremasi yordamida isbotlash mumkin. Aleksandr Grothendieck birinchi dalilni 1957 yilda yozilgan, keyinchalik nashr etilgan qo'lyozmada berdi.^[1] Armand Borel va Jan-Per Ser 1958 yilda Grothendiekning dalillarini yozdi va nashr etdi.^[2] Keyinchalik Grothendieck va uning hamkorlari dalillarni soddalashtirdilar va umumlashtirdilar.^[3]

Formulyatsiya

Ruxsat bering X bo'lishi a silliq kvazi-proektiv sxema ustidan maydon. Ushbu taxminlarga ko'ra Grothendieck guruhi ${ displaystyle K_ {0} (X)}$ ning chegaralangan komplekslar ning izchil qirg'oqlar cheklangan darajali vektor to'plamlarining Grothendieck guruhi uchun kanonik ravishda izomorfdir. Ushbu izomorfizmdan foydalanib, ni ko'rib chiqing Chern xarakteri (ning oqilona kombinatsiyasi Chern sinflari ) kabi funktsional o'zgartirish:

${ displaystyle mathrm {ch} ikki nuqta K_ {0} (X) dan A (X, mathbb {Q}),}$

qayerda ${ displaystyle A_ {d} (X, mathbb {Q})}$ bo'ladi Chow guruhi tsikllar yoniq X o'lchov d modul ratsional ekvivalentlik, tensorlangan bilan ratsional sonlar. Bo'lgan holatda X orqali belgilanadi murakkab sonlar, oxirgi guruh xaritalarini topologik xaritalar kohomologiya guruhi:

${ displaystyle H ^ {2 dim (X) -2d} (X, mathbb {Q}).}$

Endi ko'rib chiqing to'g'ri morfizm ${ displaystyle f yo'g'on nuqta X dan Ygacha$ silliq kvazi-proektsion sxemalar va chegaralarning chegaralangan kompleksi o'rtasida ${ displaystyle {{ mathcal {F}} ^ { bullet}}}$ kuni ${ displaystyle X.}$

The Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi oldinga siljish xaritasi bilan bog'liq

${ displaystyle f _ {!} = sum (-1) ^ {i} R ^ {i} f _ {*} ikki nuqta K_ {0} (X) dan K_ {0} (Y)} gacha$

(o'zgaruvchan yig'indisi yuqori to'g'ridan-to'g'ri tasvirlar ) va pushforward

${ displaystyle f _ {*} nuqta A (X) dan A (Y) gacha,}$

formula bo'yicha

${ displaystyle mathrm {ch} (f _ {!} { mathcal {F}} ^ { bullet}) mathrm {td} (Y) = f _ {*} ( mathrm {ch} ({ mathcal {) F}} ^ { bullet}) mathrm {td} (X)).}$

Bu yerda ${ displaystyle mathrm {td} (X)}$ bo'ladi Todd jinsi ning teginish to'plami ning) X. Shunday qilib, teorema yuqoridagi hislarda oldinga siljish va Chern xarakterida kommutativlikning yo'qligi uchun aniq o'lchovni beradi va kerakli tuzatish omillari bog'liqligini ko'rsatadi X va Y faqat. Aslida, Todd jinsi funktsional va multiplikativ bo'lgani uchun aniq ketma-ketliklar, biz Grothendieck-Riemann-Roch formulasini quyidagicha yozishimiz mumkin

${ displaystyle mathrm {ch} (f _ {!} { mathcal {F}} ^ { bullet}) = f _ {*} ( mathrm {ch} ({ mathcal {F}} ^ { bullet} ) mathrm {td} (T_ {f})),}$

qayerda ${ displaystyle T_ {f}}$ nisbatan teginish to'plami f, element sifatida belgilangan ${ displaystyle TX-f ^ {*} (TY)}$ yilda ${ displaystyle K_ {0} (X)}$. Masalan, qachon f a silliq morfizm, ${ displaystyle T_ {f}}$ oddiygina vektor to'plami bo'lib, uning tolalari bo'ylab teginuvchi to'plam deb nomlanadi f.

Foydalanish A¹- homotopiya nazariyasi, Grothendiek-Riemann-Roch teoremalari kengaytirilgan Navarro va Navarro (2017) vaziyatga f a to'g'ri xarita ikkita silliq sxema o'rtasida.

Umumlashtirish va ixtisoslashtirish

Teoremani umumlashtirish, birikmaning tegishli umumlashtirilishini ko'rib chiqish orqali silliq bo'lmagan holatga keltirilishi mumkin ${ displaystyle mathrm {ch} (-) mathrm {td} (X)}$ va noo'rin ishni ko'rib chiqish yo'li bilan ixcham ko'mak bilan kohomologiya.

The arifmetik Riman-Roch teoremasi Grothendiek-Riemann-Roch teoremasini kengaytiradi arifmetik sxemalar.

The Xirzebrux – Riman-Roch teoremasi (mohiyatan) qaerda bo'lgan maxsus holat Y nuqta, maydon esa kompleks sonlar maydonidir.

Riemann-Roch teoremasining yo'naltirilgan kohomologiya nazariyalari versiyasi Ivan Panin va Aleksandr Smirnov tomonidan isbotlangan.^[4] Bu algebraik yo'naltirilgan kohomologiya nazariyalari orasidagi multiplikatsion operatsiyalar bilan bog'liq (masalan Algebraik kobordizm ). Grothendieck-Riemann-Roch - bu uning o'ziga xos hodisasidir va Chern xarakteri ushbu muhitda tabiiy ravishda paydo bo'ladi.^[5]

Misollar

Egri chiziqdagi vektorli to'plamlar

Vektorli to'plam ${ displaystyle E to C}$ daraja ${ displaystyle n}$ va daraja ${ displaystyle d}$ (uning determinant darajasi yoki unga teng ravishda birinchi Chern sinfining darajasi sifatida belgilangan) maydon bo'ylab tekis proektsion egri chiziqda ${ displaystyle k}$ ga o'xshash formulaga ega Riemann-Roch chiziqli to'plamlar uchun. Agar olsak ${ displaystyle X = C}$ va ${ displaystyle Y = {* }}$ nuqta keyin Grothendieck-Riemann-Roch formulasini o'qish mumkin

${ displaystyle { begin {aligned} mathrm {ch} (f _ {!} { mathcal {F}} ^ { bullet}) & = h ^ {0} (C, E) -h ^ {1} (C, E) f _ {*} ( mathrm {ch} (E) mathrm {td} (X)) & = f _ {*} ((n + c_ {1} (E)) (1+) (1/2) c_ {1} (T_ {C}))) & = f _ {*} (n + c_ {1} (E) + (n / 2) c_ {1} (T_ {C}) )) & = f _ {*} (c_ {1} (E) + (n / 2) c_ {1} (T_ {C})) & = d + n (1-g) end { tekislangan}}}$

shu sababli

${ displaystyle chi (C, E) = d + n (1-g).}$^[6]

Ushbu formula, shuningdek, izchil darajalar qatorlari uchun ham amal qiladi ${ displaystyle n}$ va daraja ${ displaystyle d}$.

To'g'ri xaritalarni tekislang

Grothendieck-Riemann-Roch formulasining afzalliklaridan biri shundaki, uni Xirzebrux-Riman-Rox formulasining nisbiy versiyasi sifatida talqin qilish mumkin. Masalan, silliq morfizm ${ displaystyle f yo'g'on nuqta X dan Ygacha$ barchasi teng o'lchovli tolalarga ega (va asos o'zgarganda topologik bo'shliqlar kabi izomorfik) ${ displaystyle mathbb {C}}$). Ushbu fakt modullar nazariyasida modullar makonini ko'rib chiqishda foydalidir ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ to'g'ri bo'shliqlarni parametrlash. Masalan, Devid Mumford Chou halqasining munosabatlarini chiqarish uchun ushbu formuladan foydalangan algebraik egri chiziqlarning moduli maydoni.^[7]

Egri chiziqlar moduli

Jinsning moduli to'plami uchun ${ displaystyle g}$ egri chiziqlar (va belgilangan nuqtalar yo'q) ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ universal egri chiziq mavjud ${ displaystyle pi colon { overline { mathcal {C}}} _ {g} to { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ qayerda ${ displaystyle { overline { mathcal {C}}} _ {g} = { overline { mathcal {M}}} _ {g, 1}}$ (bu turdagi egri chiziqlarning moduli to'plami) ${ displaystyle g}$ va bitta belgilangan nuqta. Keyin, u belgilaydi tavtologik mashg'ulotlar

${ displaystyle { begin {aligned} K _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}} & = c_ {1} ( omega _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}}) kappa _ {l} & = pi _ {*} (K _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}} ^ {l + 1}) mathbb { E} & = pi _ {*} ( omega _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}}) lambda _ {l} & = c_ {l} ( mathbb {E}) end {aligned}}}$

qayerda ${ displaystyle 1 leq l leq g}$ va ${ displaystyle omega _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}}}$ nisbiy dualizatsiyalashgan sheaf hisoblanadi. Ning tolasiga e'tibor bering ${ displaystyle omega _ {{ overline { mathcal {C}}} _ {g} / { overline { mathcal {M}}} _ {g}}}$bir nuqta ustida ${ displaystyle [C] in { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ bu dualing sheaf ${ displaystyle omega _ {C}}$. U o'rtasidagi munosabatlarni topishga muvaffaq bo'ldi ${ displaystyle lambda _ {i}}$ va ${ displaystyle kappa _ {i}}$ tavsiflovchi ${ displaystyle lambda _ {i}}$ yig'indisi bo'yicha ${ displaystyle kappa _ {i}}$^[7] (6.2-xulosa) chov halqasida ${ displaystyle A ^ {*} ({ mathcal {M}} _ {g})}$ Grothendieck-Riemann-Roch-dan foydalangan holda silliq joy. Chunki ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ silliqdir Deligne-Mumford stack, u sxema bo'yicha qoplamani ko'rib chiqdi ${ displaystyle { tilde { mathcal {M}}} _ {g} to { overline { mathcal {M}}} _ {g}}$ qaysi taqdim etadi ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g} = [{ tilde { mathcal {M}}} _ {g} / G]}$ ba'zi bir cheklangan guruh uchun ${ displaystyle G}$. U Grothendieck-Riemann-Roch-dan foydalanadi ${ displaystyle omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} _ {g} / { tilde { mathcal {M}}} _ {g}}}$ olish uchun; olmoq

${ displaystyle mathrm {ch} ( pi _ {!} ( omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / { tilde { mathcal {M}}}})) = = pi _ {*} ( mathrm {ch} ( omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / { tilde { mathcal {M}}}}) mathrm {Td} ^ { vee} ( Omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / { tilde { mathcal {M}}}} ^ {1}))}$

Chunki

${ displaystyle mathbf {R} ^ {1} pi _ {!} ({ omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} _ {g} / { tilde { mathcal {M}} } _ {g}}}) cong { mathcal {O}} _ { tilde {M}},}$

bu formulani beradi

${ displaystyle mathrm {ch} ( mathbb {E}) = 1 + pi _ {*} ({ text {ch}} ( omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / { tilde { mathcal {M}}}}) { text {Td}} ^ { vee} ( Omega _ {{ tilde { mathcal {C}}} / { tilde { mathcal {M} }}} ^ {1})).}$

Hisoblash ${ displaystyle mathrm {ch} ( mathbb {E})}$ keyinchalik yanada kamaytirilishi mumkin. Hatto o'lchamlarda ${ displaystyle 2k}$,

${ displaystyle { text {ch}} ( mathbb {E}) _ {2k} = 0.}$

Shuningdek, 1-o'lchovda,

${ displaystyle lambda _ {1} = c_ {1} ( mathbb {E}) = { frac {1} {12}} ( kappa _ {1} + delta),}$

qayerda ${ displaystyle delta}$ chegaradagi sinf. Bunday holda ${ displaystyle g = 2}$ va silliq lokusda ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}}$ munosabatlar mavjud

${ displaystyle { begin {aligned} lambda _ {1} & = { frac {1} {12}} kappa _ {1} lambda _ {2} & = { frac { lambda _ {1} ^ {2}} {2}} = { frac { kappa _ {1} ^ {2}} {288}} end {aligned}}}$

ning Chern xarakterini tahlil qilish orqali aniqlash mumkin ${ displaystyle mathbb {E}}$.

Yopiq ichki joylashtirish

Yopiq joylar ${ displaystyle f colon Y to X}$ Grothendieck-Riemann-Roch formulasidan foydalangan holda tavsifga ega bo'ling va formulani ushlab turadigan boshqa ahamiyatsiz holatni ko'rsating.^[8] Yumshoq navlar uchun ${ displaystyle X}$ o'lchov ${ displaystyle n}$ va subvariety ${ displaystyle Y}$ kod o'lchovi ${ displaystyle k}$, formula mavjud

${ displaystyle c_ {k} ({ mathcal {O}} _ {Y}) = (- 1) ^ {k-1} (k-1)! [Y]}$

Qisqa aniq ketma-ketlikdan foydalanish

${ displaystyle 0 to { mathcal {I}} _ {Y} to { mathcal {O}} _ {X} to { mathcal {O}} _ {Y} to 0}$,

formula mavjud

${ displaystyle c_ {k} ({ mathcal {I}} _ {Y}) = (- 1) ^ {k} (k-1)! [Y]}$

buyon ideal sheaf uchun ${ displaystyle 1 = c ({ mathcal {O}} _ {X}) = c ({ mathcal {O}} _ {Y}) c ({ mathcal {I}} _ {Y})}$.

Ilovalar

Modulli bo'shliqlarning kvazayihaviyligi

Grothendieck-Riemann-Roch qo'pol modulli makon ekanligini isbotlashda foydalanish mumkin ${ displaystyle M}$kabi uchli algebraik egri chiziqlarning moduli maydoni ${ displaystyle M_ {g, n}}$, proektsion makonga joylashishni tan oladi, shuning uchun a kvazi-proektiv xilma-xillik. Bunga kanonik bog'langan chiziqlarga qarash orqali erishish mumkin ${ displaystyle M}$ va bog'langan chiziqli to'plamlarning darajasini o'rganish. Masalan; misol uchun, ${ displaystyle M_ {g, n}}$^[9] egri chiziqlar oilasiga ega

${ displaystyle pi ikki nuqta C_ {g, n} dan M_ {g, n}} gacha$

bo'limlari bilan

${ displaystyle s_ {i} ikki nuqta M_ {g, n} dan C_ {g, n}} gacha$

belgilangan nuqtalarga mos keladigan. Har bir tolaning kanonik to'plami bo'lgani uchun ${ displaystyle omega _ {C}}$, bog'langan qator to'plamlari mavjud

${ displaystyle Lambda _ {g, n} ( pi) = det ( mathbf {R} pi _ {*} ( omega _ {C_ {g, n} / M_ {g, n}}) )}$ va ${ displaystyle chi _ {g, n} ^ {(i)} = s_ {i} ^ {*} ( omega _ {C_ {g, n} / M_ {g, n}})}$.

Aniqlanishicha

${ displaystyle Lambda _ {g, n} ( pi) otimes left ( bigotimes _ {i = 1} ^ {n} chi _ {g, n} ^ {(i)} right)}$

bu etarli miqdordagi to'plam^{[9]209 bet}, shuning uchun qo'pol modullar maydoni ${ displaystyle M_ {g, n}}$ kvazi-proektivdir.

Tarix

Aleksandr Grothendieck Riman-Roch teoremasining versiyasi dastlab maktubda etkazilgan Jan-Per Ser taxminan 1956–1957 yillarda. Dastlab u ommaga e'lon qilindi Bonn Arbeitstagung, 1957 yilda. Serre va Armand Borel keyinchalik seminar tashkil qildi Princeton universiteti buni tushunish. Yakuniy nashr qilingan nashr amalda Borel-Serre ekspozitsiyasi edi.

Grotendikning yondashuvining ahamiyati bir nechta jihatlarga asoslangan. Birinchidan, Grothendieck bayonotni o'zi o'zgartirdi: teorema, o'sha paytda, xilma-xillik Grotendik esa buni navlar orasidagi morfizm haqidagi teorema sifatida ko'rdi. To'g'ri umumlashtirishni topib, dalil oddiylashdi, xulosa esa umumiyroq bo'ldi. Qisqasi, Grothendieck kuchli qo'lladi toifali ning qattiq qismiga yaqinlashish tahlil. Bundan tashqari, Grothendieck tanishtirdi K guruhlari, yuqorida muhokama qilinganidek, bu yo'l ochdi algebraik K-nazariyasi.

Shuningdek qarang

• Kavasakining Riman-Roch formulasi

Izohlar

Adabiyotlar

• Berthelot, Per (1971). Aleksandr Grothendieck; Luc Illusie (tahr.). Séminaire de Géémetrie Algébrique du Bois Mari - 1966-67 - Téorie des chorses and et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Matematikadan ma'ruzalar 225) (frantsuz tilida). Berlin; Nyu York: Springer-Verlag. xii + 700. doi:10.1007 / BFb0066283. ISBN  978-3-540-05647-8.
• Borel, Armand; Serre, Jan-Per (1958), "Le théorème de Riemann-Roch", Xabar byulleteni de Société Mathématique de France (frantsuz tilida), 86: 97–136, ISSN  0037-9484, JANOB  0116022
• Fulton, Uilyam (1998), Kesishmalar nazariyasi, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2-nashr), Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-62046-X, JANOB  1644323, Zbl  0885.14002
• Navarro, Alberto; Navarro, Xose (2017), Projektiv gipotezasiz Riemann-Roch formulasida, arXiv:1705.10769, Bibcode:2017arXiv170510769N
• Panin, Ivan; Smirnov, Aleksandr (2000). "Algebraik navlarning yo'naltirilgan kohomologik nazariyalarida oldinga siljish".

Tashqi havolalar

• Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi
• The ip "Grothendieck-Riemann-Roch dasturlari?" kuni MathOverflow.
• The ip "GRR ni qanday tushunish kerak? (Grothendieck Riemann Roch)" MathOverflow.
• The ip "Chern klassi ideal sheaf" Stack Exchange.