Hanner politopi - Hanner polytope

Geometriyada a Hanner politopi a qavariq politop tomonidan rekursiv ravishda qurilgan Dekart mahsuloti va qutbli dual operatsiyalar. Hanner polytopes nomi berilgan Olof Hanner, ularni 1956 yilda tanishtirgan.[1]

Qurilish

Hanner polipoplari quyidagi qoidalar bo'yicha rekursiv ravishda qurilgan:[2]

  • Chiziqli segment - bu bir o'lchovli Hanner politopi
  • Har bir ikkita Hanner politopining dekartiy mahsuloti - bu boshqa ikkita politopning o'lchamlari yig'indisi bo'lgan boshqa Hanner politopi.
  • Hanner politopining dualligi - xuddi shu o'lchamdagi boshqa Hanner politopidir.

Ular aynan shu qoidalar yordamida qurilishi mumkin bo'lgan politoplardir: ya'ni har bir Hanner politopi mahsulotning ketma-ketligi va ikki tomonlama operatsiyalar yordamida chiziq segmentlaridan hosil bo'lishi mumkin.[2]

Shu bilan bir qatorda qutbli dual operatsiyaga teng ravishda Hanner politoplari kartezyen mahsulotlari tomonidan qurilishi mumkin va to'g'ridan-to'g'ri summalar, Kartezyen mahsulotlarining ikkiliklari. To'g'ridan-to'g'ri yig'indisi operatsiyasi ikkita politopni birlashtirib, ularni kattaroq kosmosning ikkita chiziqli mustaqil kichik fazosiga joylashtirib, so'ngra qavariq korpus ularning ittifoqi.[3][4]

Misollar

Uch o'lchovli kub va uning ikkilamchi oktaedr, ikkita uch o'lchovli Hanner polytopes
Schlegel diagrammasi ning oktahedral prizma

A kub Hanner politopidir va uchta chiziqli segmentlardan dekart mahsuloti sifatida qurilishi mumkin. Uning duali oktaedr, shuningdek, Hanner politopi, uchta chiziqli segmentlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi. Uch o'lchovda barcha Hanner polipoplari kombinativ ravishda ushbu ikki turdagi polipoplardan biriga tengdir.[5] Yuqori o'lchamlarda giperkubiklar va o'zaro faoliyat politoplar, kub va oktaedrning analoglari yana Hanner politoplari. Biroq, ko'proq misollar mumkin. Masalan, oktahedral prizma, to'rt o'lchovli prizma oktaedr bilan uning asosi ham Hanner politopi, shuningdek uning dual kubik bipiramidasi.

Xususiyatlari

Koordinatali vakillik

Har bir Hanner politopiga 0, 1 yoki -1 ga teng bo'lgan vertikal koordinatalar berilishi mumkin.[6] Agar aniqroq bo'lsa P va Q bu koordinatalari Hanner politoplari, keyin dekart hosilasi tepaliklari koordinatalari. P va Q in vertikal koordinatalarini birlashtirish orqali hosil bo'ladi P tepalik koordinatalari bilan Q. To'g'ridan-to'g'ri yig'indisi tepaliklarining koordinatalari P va Q yoki vertikal koordinatalarini birlashtirish orqali hosil bo'ladi P nollar vektori bilan yoki nollarning vektorini vertikal koordinatalari bilan birlashtirish orqali Q.

Hanner politopining qutbli duali boshqa Hanner politopi bo'lganligi sababli, Hanner politoplari o'zlari ham, ularning duallari ham {0,1, -1) koordinatalariga ega bo'lgan xususiyatga ega.[6]

Yuzlar soni

Har bir Hanner politopi markaziy nosimmetrik va aniq bor 3d bo'sh emas yuzlar (shu jumladan polytopning o'zi yuz sifatida, lekin bo'sh to'plamni o'z ichiga olmaydi). Masalan, kubning 8 ta tepasi, 12 ta qirrasi, 6 ta kvadrati va 1 ta kubikning o'zi (o'zi) yuzga ega; 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 33. Hanner polipoplari muhim misollar sinfini tashkil qiladi Kalayning 3d taxmin barcha markaziy nosimmetrik politoplar kamida 3 ga tengd bo'sh bo'lmagan yuzlar.[3]

Qarama-qarshi qirralarning va tepaliklarning juftliklari

Hanner politopida har ikki qarama-qarshi tomon bir-biridan ajralib turadi va shu bilan birga politopning barcha tepalarini o'z ichiga oladi, shunday qilib qavariq korpus Ikkala tomonning barchasi butun politopdir.[6][7] Ushbu haqiqatning oddiy natijasi sifatida, Hanner politopining barcha qirralari bir-birining soniga teng sonlarga ega (butun politop tepalari sonining yarmi). Biroq, qirralarning barchasi bir-biriga izomorf bo'lmasligi mumkin. Masalan, oktahedral prizma, ikkala tomoni oktaedradan, qolgan sakkiz tomoni esa uchburchak prizmalar. Ikki tomondan, har bir Hanner politopida har ikki qarama-qarshi tepa bir-biridan ajratilgan yuzlar to'plamiga tegadi va birgalikda polytopning barcha qirralariga tegadi.

Mahler hajmi

The Mahler hajmi Hanner politopi (uning hajmi va qutbli dualning mahsuloti) kub yoki xoch politop bilan bir xil. Agar Maler gumoni To'g'ri, bu politoplar markazlashgan nosimmetriklar orasida Mahler hajmining minimatorlari hisoblanadi qavariq tanalar.[8]

Helli mulki

Tarjimalari a giperkub (yoki uning afinaviy o'zgarishi, a parallelotop ) shakl Helli oilasi: bo'sh bo'lmagan juftlik kesishmalariga ega bo'lgan har bir tarjima to'plami bo'sh bo'lmagan kesishishga ega. Bundan tashqari, bular yagona qavariq tanalar ushbu mulk bilan.[9]Boshqa har qanday markaziy nosimmetrik qavariq politop uchun K, Hanner (1956) belgilangan Men(K) ning eng kichik tarjimasi bo'lishi K Helli oilasini tashkil qilmaydigan (ular juft bo'lib kesishadi, lekin bo'sh kesishgan). U buni ko'rsatdi Men(K) uchta yoki to'rttadir va Hanner polipoplarini to'rttasi bo'lgan politoplarga misol qilib keltirdi. Hansen va Lima (1981) Keyinchalik bu xususiyatdan Hanner politoplarini tavsiflash uchun foydalanish mumkinligini ko'rsatdi: ular (afinaviy transformatsiyaga qadar) aynan shu politoplardir Men(K) > 3.[10]

Kombinatorial sanab chiqish

Hanner polotoplarining kombinatorial turlari soni d soni bilan bir xil oddiy ketma-ket parallel grafikalar bilan d yorliqsiz qirralar.[4] Uchun d = 1, 2, 3, ... bu:

1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, ... (ketma-ketlik) A058387 ichida OEIS ).

Aniqroq bijection Hanner polotoplari o'rtasida d va kograflar bilan d tepaliklar tomonidan berilgan Raysner (1991). Ushbu biektsiya uchun Hanner politoplari kombinatorial ekvivalentlik sinflari sifatida emas, balki {0,1, -1) koordinatalari yordamida geometrik tarzda ifodalanadi; Xususan, ikkita o'lchamda ham Hanner politopining ikki xil geometrik shakli mavjud, vertikal koordinatali kvadrat (± 1, ± 1) va tepalik koordinatali olmos (0, ± 1) va (± 1,0). Berilgan d-oyoqli politop, tepalik koordinatalari {0,1, -1}, Reisner bog'langan grafikani aniqlaydi d cho'qqilar politopni o'z ichiga olgan bo'shliqning birlik vektorlariga mos keladi va agar ular yig'indisi politopdan tashqarida bo'lsa, ikkita vektor chekka bilan bog'langan. U Hanner polipoplarining grafikalari kograflar ekanligini kuzatib, ularni ikki xil xarakterlaydi: yo'q grafikalar induktsiya qilingan yo'l uzunlikdagi uchta va subgraflari indikatsiyalangan grafiklarning hammasi uzilgan yoki uzilgan grafiklarning qo'shimchalari. Aksincha, har bir kogografni shu tarzda Hanner politopi namoyish qilishi mumkin.[6]

Hanner bo'shliqlari

Hanner polipoplari bu birlik to'plari cheklangan o'lchovli oilaning Banach bo'shliqlari deb nomlangan Hanner bo'shliqlari.[7] Hanner bo'shliqlari - bu bir o'lchovli bo'shliqlardan qurish mumkin bo'lgan bo'shliqlar va kombinatsiyalar.[1]

Adabiyotlar

  1. ^ a b Hanner, Olof (1956), "Qavariq jismlar tarjimalarining chorrahalari", Mathematica Scandinavica, 4: 65–87, JANOB  0082696.
  2. ^ a b Freij, Ragnar (2012), Algoritmik, sanoq va geometrik kombinatorikadagi mavzular (PDF), T.f.n. dissertatsiya, Matematik fanlari bo'limi, Chalmers Texnologiya Instituti.
  3. ^ a b Kalay, Gil (1989), "markaziy-simmetrik politoplarning yuzlari soni", Grafika va kombinatorika, 5 (1): 389–391, doi:10.1007 / BF01788696, JANOB  1554357.
  4. ^ a b Sanyal, Raman; Verner, Aksel; Zigler, Gyunter M. (2009), "Kalayning markaziy nosimmetrik politoplarga oid taxminlari to'g'risida", Diskret va hisoblash geometriyasi, 41 (2): 183–198, arXiv:0708.3661, doi:10.1007 / s00454-008-9104-8, JANOB  2471868/
  5. ^ Kozachok, Marina (2012), "Mukammal prizmatoidlar va markaziy nosimmetrik politoplarning yuz raqamlariga oid gumon", Aleksandrovning yuz yilligiga bag'ishlangan Yaroslavl Xalqaro konferentsiyasi "Diskret geometriya" (Yaroslavl, 2012 yil 13-18 avgust) (PDF), P.G. Demidov Yaroslavl davlat universiteti, Xalqaro B.N. Delaunay laboratoriyasi, 46-49 bet[doimiy o'lik havola ].
  6. ^ a b v d Reisner, S. (1991), "Grafalar bilan bog'liq ma'lum Banax bo'shliqlari va 1 shartsiz asosli CL bo'shliqlar", London Matematik Jamiyati jurnali, Ikkinchi seriya, 43 (1): 137–148, doi:10.1112 / jlms / s2-43.1.137, JANOB  1099093.
  7. ^ a b Martini, X .; Sueynepol, K. J .; de Wet, P. Oloff (2009), "Burchlarni yutish, Shtayner minimal daraxtlar va antipodallik", Optimizatsiya nazariyasi va ilovalari jurnali, 143 (1): 149–157, arXiv:1108.5046, doi:10.1007 / s10957-009-9552-1, JANOB  2545946.
  8. ^ Kim, Jaegil (2014), "Hanner polytopes yaqinidagi minimal hajmli mahsulot", Funktsional tahlillar jurnali, 266 (4): 2360–2402, arXiv:1212.2544, doi:10.1016 / j.jfa.2013.08.008, JANOB  3150164.
  9. ^ Sz.-Nagy, Béla (1954), "Parallelverschiebungen konvexer Körper", Acta Universitatis Szegediensis, 15: 169–177, JANOB  0065942, dan arxivlangan asl nusxasi 2016-03-04 da, olingan 2013-05-19.
  10. ^ Xansen, Allan B.; Lima, Tsvald (1981), "3.2. Kesishish xususiyatiga ega bo'lgan chekli o'lchovli Banax bo'shliqlarining tuzilishi", Acta Mathematica, 146 (1–2): 1–23, doi:10.1007 / BF02392457, JANOB  0594626.