Hardy Cross usuli - Hardy Cross method

Quvur oqimining misoli

The Hardy Cross usuli bu takroriy usul kirish va chiqishlar ma'lum bo'lgan, ammo tarmoq ichidagi oqim noma'lum bo'lgan quvur tarmoq tizimlarida oqimni aniqlash uchun.^[1] Ushbu usul birinchi bo'lib 1936 yil noyabr oyida uning ism-shariflari bilan nashr etilgan, Hardy Xoch, qurilish muhandisligi professori Illinoys universiteti Urbana-Shampan.^[2] Hardy Xoch usuli - bu moslashuv Momentni taqsimlash usuli, shuningdek, Hardy Cross tomonidan statik jihatdan aniqlanmagan tuzilmalardagi kuchlarni aniqlash usuli sifatida ishlab chiqilgan.

Quvur oqimlari tarmoqlarini tahlil qilish uchun Hardy Cross usulini joriy etish inqilobga aylandi shahar suv ta'minoti dizayn. Usul joriy etilgunga qadar, tarqatish uchun murakkab quvur tizimlarini echish boshni yo'qotish va oqim o'rtasidagi chiziqli bo'lmagan munosabatlar tufayli juda qiyin bo'lgan. Keyinchalik bu usul kompyuterni ishlatish algoritmlari yordamida eskirgan Nyuton-Raphson usuli yoki chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimini qo'l bilan hal qilish zaruratini bartaraf etadigan boshqa raqamli usullar.

Tarix

1930 yilda, Hardy Xoch ta'riflagan "Ruxsat etilgan lahzalarni tarqatish orqali uzluksiz kadrlarni tahlil qilish" nomli maqolani chop etdi momentni taqsimlash usuli, bu sohadagi muhandislarning tarkibiy tahlillarni amalga oshirish uslubini o'zgartiradi.^[3] Moment taqsimlash usuli statik jihatdan aniqlanmagan tuzilmalardagi kuchlarni aniqlashda ishlatilgan va muhandislarga 1930 yildan 1960 yilgacha, kompyuterga yo'naltirilgan uslubgacha konstruktsiyalarni xavfsiz loyihalashga imkon bergan.^[3] 1936 yil noyabr oyida Xross xuddi shu geometrik usulni quvurlar tarmog'ining oqimini taqsimlash muammolarini hal qilishda qo'llagan va "O'tkazgichlar yoki o'tkazgichlar tarmoqlaridagi oqim tahlili" deb nomlangan maqolasini nashr etgan.^[1]

Hosil qilish

Hardy Cross usuli - bu dastur oqimning uzluksizligi va potentsialning uzluksizligi quvur tarmog'idagi oqimlarni takroriy ravishda hal qilish.^[1] Quvur oqimi holatida, oqimning saqlanishi, oqimning quvurning har bir o'tish joyidagi oqimga teng bo'lishini anglatadi. Potensialni saqlab qolish tizimdagi har qanday tsikl bo'ylab umumiy yo'nalishdagi yo'qotishlarning nolga teng bo'lishini anglatadi (oqimga qarshi hisoblangan boshning yo'qolishi aslida boshning ortishi deb hisoblanadi).

Hardy Cross oqim tarmoqlarini echishning ikkita usulini ishlab chiqdi. Har bir usul oqimning uzluksizligini yoki potentsialni saqlashdan boshlanadi, so'ngra ikkinchisi uchun echiladi.

Taxminlar

Hardy Cross usuli tizimga kiradigan va chiqadigan oqim ma'lum va quvur uzunligi, diametri, pürüzlülüğü va boshqa asosiy xususiyatlari ham ma'lum yoki taxmin qilinishi mumkin deb taxmin qiladi.^[1] Usul shuningdek, oqim tezligi va boshni yo'qotish o'rtasidagi bog'liqlik ma'lum deb hisoblaydi, ammo bu usuldan foydalanish uchun har qanday alohida munosabatni talab qilmaydi.^[1]

Suv quvurlari orqali oqadigan bo'lsa, boshning yo'qolishi va oqim o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlash uchun bir qator usullar ishlab chiqilgan. Hardy Cross usuli ushbu munosabatlarning har qandayidan foydalanishga imkon beradi.

Boshni yo'qotish va oqim o'rtasidagi umumiy munosabatlar quyidagilardan iborat:

{displaystyle h_ {f} = kcdot Q ^ {n}}

qayerda k birlik oqimi uchun boshning yo'qolishi va n oqim ko'rsatkichidir. Ko'pgina dizayn holatlarida ular tashkil etadigan qadriyatlar k, masalan, quvur uzunligi, diametri va pürüzlülüğü, ma'lum yoki qabul qilinadi va shuning uchun qiymati qabul qilinadi k tarmoqdagi har bir quvur uchun aniqlanishi mumkin. Tarkibiy qadriyatlar k va qiymati n boshning yo'qolishini aniqlash uchun ishlatiladigan munosabatlarga qarab o'zgaradi. Biroq, barcha munosabatlar Hardy Cross uslubiga mos keladi.^[4]

Boshni yo'qotish tenglamasi	Aloqalar	k	n
Xazen-Uilyams tenglamasi	${displaystyle h_ {f} = Lcdot {frac {10.67quad Q ^ {1.85}} {C ^ {1.85} quad d ^ {4.87}}}}$	${displaystyle Lcdot {frac {10.67} {C ^ {1.85} quad d ^ {4.87}}}}$	1.85
Darsi-Vaysbax tenglamasi	${displaystyle h_ {f} = {frac {8fLQ ^ {2}} {gpi ^ {2} d ^ {5}}}}$	${displaystyle Lcdot {frac {8f} {gpi ^ {2} d ^ {5}}}}$	2

Shuni ham ta'kidlash joizki, Hardy Cross uslubi oddiy sxemalarni va boshqa vaziyatlarni hal qilishda ishlatilishi mumkin. Oddiy elektronlar uchun,

{displaystyle V = Kcdot I}

ga teng

{displaystyle h_ {f} = kcdot Q ^ {n}}

.

K koeffitsientini K ga, oqim tezligini Q dan I ga va ko'rsatkichni n ga 1 ga o'rnatgan holda, oddiy sxemani echish uchun Hardy Cross usulidan foydalanish mumkin. Biroq, kuchlanishning pasayishi va oqim o'rtasidagi bog'liqlik chiziqli bo'lganligi sababli, Hardy Cross usuli zarur emas va elektronni takrorlanmaydigan usullar yordamida hal qilish mumkin.

Boshlarni muvozanatlash usuli

Balanslash usuli boshlar har bir o'tish joyidagi oqimning uzluksizligini qondiradigan va keyin potentsialning uzluksizligiga erishilguncha oqimlarni muvozanatlashtiradigan dastlabki taxminni ishlatadi.^[1]

Isbot (r k ni bildiradi)

Quyidagi dalil Xardi Xochning "O'tkazgichlar yoki o'tkazgichlar tarmoqlarida oqimni tahlil qilish" maqolasidan olingan.^[1] va suv va chiqindi suvlarni muhandislik texnologiyasini takomillashtirish bo'yicha milliy dastur sahifasida tasdiqlanishi mumkin,^[4] va Robert J. Houghtalen tomonidan gidrotexnika tizimlarining asoslari.^[5]

Agar har bir trubadagi oqim tezligining dastlabki taxminlari to'g'ri bo'lsa, tizimdagi pastadir ustidagi o'zgarish, ${displaystyle Sigma rQ ^ {n}}$ nolga teng bo'ladi. Ammo, agar dastlabki taxmin to'g'ri bo'lmasa, boshning o'zgarishi nolga teng bo'lmaydi va oqim o'zgarishi bo'ladi, ${displaystyle Delta Q}$ qo'llanilishi kerak. Yangi oqim tezligi, ${displaystyle Q = Q_ {0} + Delta Q}$ eski oqim tezligining yig'indisi va oqim tezligining ba'zi o'zgarishlari, shunday qilib tsikl ustidagi o'zgarish nolga teng. Keyinchalik yangi tsikl ustidagi o'zgarishlarning yig'indisi bo'ladi ${displaystyle Sigma r (Q_ {0} + Delta Q) ^ {n} = 0}$ .

Ning qiymati ${displaystyle Sigma r (Q_ {0} + Delta Q) ^ {n}}$ yordamida taxminiy hisoblash mumkin Teylorning kengayishi.

{displaystyle Sigma r (Q_ {0} + Delta Q) ^ {n} = Sigma r (Q_ {0} ^ {n} + nQ_ {0} ^ {n-1} Delta Q + ...) = 0}

Kichkina uchun ${displaystyle Delta Q}$ ga solishtirganda ${displaystyle Q_ {0}}$ qo'shimcha shartlar yo'qoladi va qoldiradi:

{displaystyle Sigma r (Q_ {0} ^ {n} + nQ_ {0} ^ {n-1} Delta Q) = 0}

Va hal qilish ${displaystyle Delta Q}$

{displaystyle Sigma rQ_ {0} ^ {n} = - Sigma nrQ_ {0} ^ {n-1} Delta Q}

{displaystyle Delta Q = - {frac {Sigma rQ_ {0} ^ {n}} {Sigma nrQ_ {0} ^ {n-1}}}}

Boshni tsikl bo'ylab muvozanatlashtiradigan oqimning o'zgarishi taxminan bilan taqqoslanadi ${displaystyle Delta Q = - {frac {Sigma rQ_ {0} ^ {n}} {Sigma nrQ_ {0} ^ {n-1}}}}$ . Biroq, bu atamalar tufayli e'tiborsiz qoldirilganligi sababli faqat taxminiy ko'rsatkichdir Teylorning kengayishi. Ko'chadan boshning o'zgarishi nolga teng bo'lmasligi mumkin, ammo u dastlabki taxminlardan kichikroq bo'ladi. Yangisini topish uchun bir nechta takrorlash ${displaystyle Delta Q}$ to'g'ri echimga yaqinlashadi.^[1]

Jarayon

Usul quyidagicha:

Har bir trubadagi oqimlarni taxmin qiling jami oqim ga teng jami oqim har bir o'tish joyida. (Taxmin yaxshi bo'lishi shart emas, ammo yaxshi taxmin echim topish uchun sarflanadigan vaqtni qisqartiradi.)
Tizimdagi har bir yopiq tsiklni aniqlang.
Har bir tsikl uchun soat yo'nalishi bo'yicha aniqlang bosh yo'qotishlar va soat sohasi farqli o'laroq boshning yo'qolishi. Har bir trubadagi boshni yo'qotish yordamida hisoblab chiqiladi ${displaystyle h_ {f} = rQ ^ {n}}$ . Soat yo'nalishi bo'yicha boshning yo'qolishi soat yo'nalishi bo'yicha oqimlardan va xuddi shu tarzda teskari yo'nalishda.
Ko'chadan boshning umumiy yo'qolishini aniqlang, ${displaystyle Sigma rQ ^ {n}}$ , soat yo'nalishi bo'yicha boshning yo'qolishidan soat yo'nalishi bo'yicha teskari ayirboshlashni olib tashlash orqali.
Har bir ko'chadan uchun toping ${displaystyle Sigma nrQ ^ {n-1}}$ yo'nalishga murojaat qilmasdan (barcha qiymatlar ijobiy bo'lishi kerak).
Oqimning o'zgarishi tengdir ${displaystyle {frac {Sigma rQ ^ {n}} {Sigma nrQ ^ {n-1}}}}$ .
Agar oqim o'zgarishi ijobiy bo'lsa, uni tsiklning barcha quvurlariga soat yo'nalishi bo'yicha teskari yo'nalishda qo'llang. Agar oqim o'zgarishi salbiy bo'lsa, uni soat yo'nalishi bo'yicha pastadirning barcha quvurlariga qo'llang.
3-bosqichdan oqim o'zgarishi qoniqarli darajada bo'lguncha davom eting.

Oqimlarni muvozanatlash usuli (bo'lim to'liq emas)

Oqimlarni muvozanatlash usuli har bir tsikldagi potentsialning uzluksizligini qondiradigan dastlabki taxminni qo'llaydi va keyin har bir o'tish joyida oqimning uzluksizligiga erishilguncha oqimlarni muvozanatlashtiradi.

Hardy Cross uslubining afzalliklari

Oddiy matematika

Hardy Cross uslubi foydalidir, chunki u tenglamalar tizimini echish zaruriyatini chetlab o'tib, oddiy matematikaga tayanadi. Hardy Cross usullarisiz muhandislar o'zgaruvchan ko'rsatkichlari bo'lgan murakkab tenglamalar tizimini echishlari kerak edi, ularni qo'l bilan osonlikcha echib bo'lmaydi.

O'z-o'zini tuzatish

Hardy Cross usuli muammoni hal qilish uchun foydalanilgan dastlabki taxmindagi xatolarni takroriy ravishda tuzatadi.^[1] Hisoblashdagi keyingi xatolar ham takroriy ravishda tuzatiladi. Agar usul to'g'ri bajarilgan bo'lsa, jarayonda kichik matematik xatolarga yo'l qo'yilsa, har bir trubadagi to'g'ri oqimni topish mumkin. So'nggi bir necha takrorlashlar tafsilotlarga e'tibor bilan bajarilgan ekan, echim hali ham to'g'ri bo'ladi. Darhaqiqat, hisob-kitoblarni tezroq olib borish uchun usulning dastlabki takrorlanishida o'nliklarni ataylab qoldirish mumkin.

Misol

Quvur oqimining misoli

Quvurlar tarmog'idagi oqim taqsimotini hisoblash uchun Hardy Cross usuli qo'llanilishi mumkin. O'ng tomonda ko'rsatilgan oddiy quvur oqimi tarmog'ining misolini ko'rib chiqing. Ushbu misol uchun kirish va chiqish oqimlari soniyada 10 litrni tashkil qiladi. Biz $ n $ ni $ 2 $ deb hisoblaymiz va birlik oqimi uchun bosh yo'qotish rva har bir quvur uchun dastlabki oqim tahmini quyidagicha:

Quvur	12-savol	13-savol	23-savol	24-savol	34-savol
r	1	5	1	5	1
Q taxmin (L / s)	5	5	0	5	5

Yuqoridagi usul jarayonida ko'rsatilgan bosqichlarni bajarib, biz tarmoqni muvozanatlash usuli bilan hal qilamiz.

1. Dastlabki taxminlar tarmoqning har bir o'tish joyida oqimning uzluksizligi saqlanib turishi uchun o'rnatildi.

2. Tizimning halqalari 1-2-3 tsikl va 2-3-4 tsikl sifatida aniqlanadi.

3. Har bir trubadagi boshning yo'qolishi aniqlanadi.

1-2-3 ko'chadan	12-savol	13-savol	23-savol
Boshning yo'qolishi = ${displaystyle rQ ^ {2}}$	25	125	0
Yo'nalish	Soat yo'nalishi bo'yicha	Soat qarshi	Soat yo'nalishi bo'yicha

1-2-3 tsikl uchun soat yo'nalishi bo'yicha bosh yo'qotishlarining yig'indisi 25 ga teng va soat sohasi farqli o'laroq bosh yo'qotishlarining yig'indisi 125 ga teng.

2-3-4 tsikl	23-savol	24-savol	34-savol
Boshning yo'qolishi = ${displaystyle rQ ^ {2}}$	0	125	25
Yo'nalish	Soat qarshi	Soat yo'nalishi bo'yicha	Soat qarshi

2-3-4 tsikl uchun soat yo'nalishi bo'yicha bosh yo'qotishlarining yig'indisi 125 ga, soat sohasi farqli o'laroq bosh zararlarining yig'indisi 25 ga teng.

4. 1-2-3 tsikldagi soat yo'nalishi bo'yicha umumiy yo'qotish ${displaystyle 25-125 = -100}$ . 2-3-4 tsikldagi soat yo'nalishi bo'yicha umumiy yo'qotish ${displaystyle 125-25 = 100}$ .

5. ning qiymati ${displaystyle Sigma nrQ ^ {n-1}}$ har bir ko'chadan uchun belgilanadi. Rasmda ko'rsatilgandek, ikkala tsiklda (simmetriya tufayli) 60 ga teng.

6. Oqimning o'zgarishi tenglama yordamida har bir tsikl uchun topiladi ${displaystyle {frac {Sigma rQ ^ {n}} {Sigma nrQ ^ {n-1}}}}$ . 1-2-3 tsikl uchun oqimning o'zgarishi tengdir ${displaystyle -100 / 60 = -1.66}$ va 2-3-4 tsikl uchun oqim o'zgarishi tengdir ${displaystyle 100/60 = 1.66}$ .

7. Oqimning o'zgarishi ko'chadan bo'ylab qo'llaniladi. 1-2-3 tsikl uchun oqim o'zgarishi manfiy, shuning uchun uning mutloq qiymati soat yo'nalishi bo'yicha qo'llaniladi. 2-3-4 tsikl uchun oqim o'zgarishi ijobiy bo'ladi, shuning uchun uning mutloq qiymati soat miliga teskari yo'nalishda qo'llaniladi. Ikkala halqada joylashgan 2-3-trubka uchun oqim o'zgarishi kümülatifdir.

Quvur	12-savol	13-savol	23-savol	24-savol	34-savol
Q (L / s)	6.66	3.33	3.33	3.33	6.66

Keyin jarayon 3-bosqichdan boshlab oqim o'zgarishi etarlicha kichrayguncha yoki nolga tushguncha takrorlanadi.

3. 1-2-3 tsikldagi umumiy bosh yo'qotish

1-2-3 ko'chadan	12-savol	13-savol	23-savol
Boshning yo'qolishi = ${displaystyle rQ ^ {2}}$	44.4	55.5	11.1
Yo'nalish	Soat yo'nalishi bo'yicha	Soat qarshi	Soat yo'nalishi bo'yicha

E'tibor bering, soat yo'nalishi bo'yicha boshning yo'qolishi soat sohasi farqli o'laroq, boshning yo'qolishiga teng. Bu shuni anglatadiki, ushbu tsikldagi oqim muvozanatli va oqim tezligi to'g'ri. 2-3-4 tsikldagi boshning umumiy yo'qolishi ham muvozanatli bo'ladi (yana simmetriya tufayli).

2-3-4 tsikl	23-savol	24-savol	34-savol
Boshning yo'qolishi = ${displaystyle rQ ^ {2}}$	11.1	55.5	44.4
Yo'nalish	Soat qarshi	Soat yo'nalishi bo'yicha	Soat qarshi

Bunday holda, usul bitta takrorlashda to'g'ri echimni topdi. Boshqa tarmoqlar uchun quvurlardagi oqimlar to'g'ri yoki taxminan to'g'ri bo'lguncha bir necha marta takrorlash mumkin.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v ^d ^e ^f ^g ^h ^men Xoch, H. (1936 yil noyabr). "O'tkazgichlar yoki o'tkazgichlar tarmoqlarida oqimni tahlil qilish". Muhandislik tajriba stantsiyasi. Axborotnomasi № 286.
^ "Hardy Cross; o'qituvchi, tahlilchi, muhandis, faylasuf". Arxivlandi asl nusxasi 2011 yil 9 avgustda. Olingan 3-may, 2011.
^ ^a ^b Leonard K Eaton. "Hardy Cross" va "Momentni tarqatish usuli""". Olingan 10 aprel, 2011.
^ ^a ^b "Suv va oqova suvlar muhandisligi". Arxivlandi asl nusxasi 2008 yil 12 martda. Olingan 11 aprel, 2011.
^ Robert J. Houghtalen (2009). Gidrotexnika tizimlarining asoslari. ISBN 9780136016380. Olingan 10 aprel, 2011.

[HC-1] v ^d ^e ^f ^g ^h ^men Xoch, H. (1936 yil noyabr). "O'tkazgichlar yoki o'tkazgichlar tarmoqlarida oqimni tahlil qilish". Muhandislik tajriba stantsiyasi. Axborotnomasi № 286.

[2] "Hardy Cross; o'qituvchi, tahlilchi, muhandis, faylasuf". Arxivlandi asl nusxasi 2011 yil 9 avgustda. Olingan 3-may, 2011.

[MDM-3] Leonard K Eaton. "Hardy Cross" va "Momentni tarqatish usuli""". Olingan 10 aprel, 2011.

[IN-4] "Suv va oqova suvlar muhandisligi". Arxivlandi asl nusxasi 2008 yil 12 martda. Olingan 11 aprel, 2011.

[FHES-5] Robert J. Houghtalen (2009). Gidrotexnika tizimlarining asoslari. ISBN 9780136016380. Olingan 10 aprel, 2011.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]