Herschel grafigi - Herschel graph

Herschel grafigi
Herschel grafigi LS.svg
Herschel grafigi.
NomlanganAleksandr Styuart Xersel
Vertices11
Qirralar18
Radius3
Diametri4
Atrof4
Automorfizmlar12 (D.6)
Xromatik raqam2
Xromatik indeks4
XususiyatlariKo'p qirrali
Planar
Ikki tomonlama
Zo'r
Grafiklar va parametrlar jadvali

Yilda grafik nazariyasi, filiali matematika, Herschel grafigi a ikki tomonlama yo'naltirilmagan grafik 11 ta tepalik va 18 ta chekka bilan, eng kichigi Hamilton bo'lmagan ko'p qirrali grafik Unga ingliz astronomi nomi berilgan Aleksandr Styuart Xersel.

Xususiyatlari

Herschel grafigi a planar grafik: uni tekislik ichida hech bir qirrasi kesib o'tmasdan chizish mumkin. Bu ham 3-vertex bilan bog'langan: har qanday ikkita tepalikning olib tashlanishi bir-biriga bog'langan bo'lib qoladi subgraf. Bu ikki tomonlama grafik: uning tepalari mos ravishda beshta va oltita vertikallarning ikkita pastki qismiga bo'linishi mumkin, chunki har bir chekkada har bir kichik to'plamda so'nggi nuqta bo'ladi (rasmdagi qizil va ko'k pastki to'plamlar) .Har qanday ikki tomonlama grafika singari, Herschel grafigi mukammal grafik : the xromatik raqam har biridan induktsiya qilingan subgraf eng kattasining kattaligiga teng klik ushbu subgrafning. Unda ham bor kromatik indeks 4, atrofi 4, radiusi 3 va diametri 4.

Polyhedron

Herschel grafigi ko'pburchak sifatida.[1] Animatsion versiya uchun bu erni bosing.

Herschel grafigi tekis va 3 vertikal bilan bog'langan, shuning uchun u quyidagicha keladi Shtaynits teoremasi bu a ko'p qirrali grafik: qavariq ko'pburchak mavjud (an enneedr ) Herschel grafigiga o'xshash skelet.[2]Ushbu ko'p qirrali yuzlar uchun to'qqizta to'rtburchaklar mavjud bo'lib, ularni uchtasini shakllantirish uchun tanlash mumkin rombi va oltita kites.[1]

Uning ikki tomonlama ko'pburchak a tuzatilgan sifatida shakllangan uchburchak prizma qavariq korpus a qirralarining o'rta nuqtalarining uchburchak prizma.Ushbu poliedronning yuzlari shunday qo'shilish yuzlarida ketma-ket raqamlar paydo bo'ladigan tarzda, birinchi va oxirgi raqamlar qo'shni yuzlarda ham bo'lishi mumkin bo'lgan tarzda raqamlanishi mumkin bo'lmagan xususiyatga ega. Chunki bu turdagi ko'p qirrali yuz raqamlari "spindown" sifatida ishlatiladi. hayot hisoblagichlari "deb nomlanadi Sehr: yig'ilish, Konstantinidlar va Konstantinidlar (2018) nomi kanonik ko'pburchak ushbu ikki tomonlama ko'pburchakni "Lich dushmani" sifatida amalga oshirish.[3]

Hamiltoniklik

Gersel grafigidagi gamiltoncha yo'l (lekin tsikl emas)

Tog'lari toq songa ega bo'lgan ikki tomonlama grafika sifatida Herschel grafasida a mavjud emas Gamilton tsikli (har bir tepadan aniq bir marta o'tadigan qirralarning tsikli). Chunki har qanday ikki tomonlama grafikada har qanday tsikl ikkala qismning ikkala tomonidagi tepaliklar o'rtasida o'zgarib turishi kerak va shuning uchun ikkala vertexning teng sonlarini o'z ichiga olishi va teng uzunlikka ega bo'lishi kerak. Shunday qilib, o'n bitta vertikalning har biridan bir marta o'tadigan tsikl Gersel grafasida mavjud bo'lolmaydi. Bu grafilning kattaligi uning vertikallari, qirralari yoki yuzlari soniga qarab o'lchangan bo'lsin, hamilton bo'lmagan eng kichik grafik.[4] 11 ta tepalikka ega bo'lgan va Hamilton davrlari bo'lmagan boshqa ko'p qirrali grafikalar mavjud (xususan Goldner - Harari grafigi[5]) lekin hech kim kam qirralarga ega emas.[2]

Herschel grafigining uchta uchidan boshqasining barchasi uchinchi darajaga ega. Taitning taxminlari[6] unda ko'p qirrali grafik mavjudligini bildiradi har bir tepalik uchinchi darajaga ega Hamiltoniyalik bo'lishi kerak, ammo bu qachon rad etildi V. T. Tutte qarshi namunani taqdim etdi, bu juda katta Tutte grafigi.[7] Taitning taxminlarini takomillashtirish, Barnettning taxminlari har ikki tomonlama 3-muntazam ko'p qirrali grafil Hamiltonian ekanligi ochiq bo'lib qolmoqda.[8]

Har bir maksimal planar grafik Gemilton tsikliga ega bo'lmagan, a sifatida Herschel grafigiga ega voyaga etmagan. Gerschel grafigi uchta kichik-minimal minimal xamiltoniyalik bo'lmagan 3-vertexga bog'langan grafikalardan biri bo'lishi mumkin. Qolgan ikkitasi to'liq ikki tomonlama grafik va Herschel grafigini ikkiga ajratish natijasida hosil bo'lgan grafik va uchta vertexli ajratgichlar yordamida ikkita nosimmetrik yarmga, so'ngra har bir grafadan yarmini birlashtiradi.[9]

The medial grafik Herschel grafigining to'rttasi odatiy hisoblanadi planar grafik yo'q bilan Gemilton dekompozitsiyasi. Soyali mintaqalar Herschel grafigining tepalariga to'g'ri keladi.

Herschel grafigi shuningdek ko'p qirrali grafaga misol keltiradi medial grafik ajratib bo'lmaydigan Gemilton davrining ikkita tsikliga ajralish mumkin emas. Herschel grafasining medial grafigi 4-muntazam grafik 18 tepalik bilan, Herschel grafigining har bir qirrasi uchun bittadan; medial grafada Herschel grafigining mos qirralari uning yuzlaridan birida ketma-ket ketma-ket kelganida ikkita tepalik qo'shni.[10]Bu 4-vertex bilan bog'langan va asosan 6 qirraga ulangan, ya'ni vertikallarning har ikkala bo'linmasi uchun kamida ikkita vertikalning ikkita pastki qismiga bo'linishni kesib o'tadigan kamida oltita qirralar mavjud.[11]

Tarix

Herschel grafigi ingliz astronomi sharafiga nomlangan Aleksandr Styuart Xersel, haqida erta maqola yozgan Uilyam Rovan Xemilton "s ikosian o'yini: Herschel grafigi eng kichigini tasvirlaydi qavariq ko'pburchak buning uchun ushbu o'yinda echim yo'q. Biroq, Herschelning qog'ozida Icosian o'yinining echimlari faqat ning grafikalarida tasvirlangan muntazam tetraedr va muntazam ikosaedr; u Herschel grafigini tavsiflamagan.[12]"Gerschel grafigi" nomi graf nazariyasi darsligida erta ko'rinishga ega Jon Adrian Bondy va U. S. R. Murty, 1976 yilda nashr etilgan.[13] Biroq, grafikning o'zi ilgari tasvirlangan, masalan H. S. M. Kokseter.[2]

Adabiyotlar

  1. ^ a b Lawson-Perfect, nasroniy (2013 yil 13 oktyabr), "Herschel uchun anneedhedr", Aperiodical, olingan 7 dekabr 2016
  2. ^ a b v Kokseter, H. S. M. (1973), Muntazam Polytopes, Dover, p. 8.
  3. ^ Konstantinid, Entoni F.; Konstantinidlar, Jorj A. (oktyabr 2018), "Spindown Polyhedra", Matematik gazeta, 102 (555): 447–453, doi:10.1017 / mag.2018.111
  4. ^ Barnette, Devid; Jucovich, Ernest (1970), "3-politoplarda gamilton sxemalari", Kombinatorial nazariya jurnali, 9 (1): 54–59, doi:10.1016 / S0021-9800 (70) 80054-0.
  5. ^ Vayshteyn, Erik V., "Goldner-Harari Grafigi", MathWorld.
  6. ^ Tayt, P. G. (1884), "Listing Topologiya", Falsafiy jurnal, 5-seriya, 17: 30–46. Qayta nashr etilgan Ilmiy ishlar, Jild II, 85-98 betlar.
  7. ^ Tutte, V. T. (1946), "Gamilton sxemalarida" (PDF), London Matematik Jamiyati jurnali, 21 (2): 98–101, doi:10.1112 / jlms / s1-21.2.98.
  8. ^ Samal, Robert (2007 yil 11-iyun), Barnettning taxminlari, Ochiq muammolar bog'i, olingan 24 fevral 2011
  9. ^ Ding, Guoli; Marshall, Emili (2018), "Minimal - bog'liq bo'lmagan gamilton grafikalari ", Grafika va kombinatorika, 34 (2): 289–312, doi:10.1007 / s00373-018-1874-z, JANOB  3774453
  10. ^ Bondy, J. A .; Häggkvist, R. (1981), "4 muntazam planar grafikalardagi Gemilton tsikllari", Mathematicae tenglamalari, 22 (1): 42–45, doi:10.1007 / BF02190157.
  11. ^ Kirali, Tsaba; Péterfalvi, Ferenc (2012), "Uzoq yo'llarsiz muvozanatli umumiy sxemalar", Diskret matematika, 312 (15): 2262–2271, doi:10.1016 / j.disc.2012.03.031, JANOB  2926099
  12. ^ Xersel, A. S. (1862), "Ser Wm. Xemiltonning Icosian o'yini", Har chorakda "Sof va amaliy matematika" jurnali, 5: 305.
  13. ^ Bondy, J. A.; Murty, U. S. R. (1976), Ilovalar bilan grafik nazariyasi, Shimoliy Gollandiya, p. 53, JANOB  0411988

Tashqi havolalar