Ta'riflab bo'lmaydigan kardinal - Indescribable cardinal
Yilda matematika, a Q-ta'riflab bo'lmaydigan kardinal ning ma'lum bir turi katta kardinal ba'zi tillarda ta'riflash qiyin bo'lgan raqam Q. Tillarning turli xil tanlovlariga mos keladigan turli xil ta'riflab bo'lmaydigan kardinallarning turlari mavjud Q. Ular tomonidan tanishtirildi Hanf va Skott (1961).
Asosiy raqam κ chaqiriladi Πn
m- ta'riflab berish mumkin agar har bir Π uchun bo'lsam taklifini tanlang va A ⊆ V ni o'rnatingκ bilan (Vκ + n, ∈, A) ⊧ φ u erda (V bilan) a <κ mavjuda + n, ∈, A ∩ Va⊧ φ.Bu erda formulalarni m-1 o'zgaruvchanligi bilan belgilab olamiz, u eng kattaroq miqdordagi universaldir. Σn
m- ta'riflab berish mumkin kardinallar shunga o'xshash tarzda aniqlanadi. G'oya shundan iboratki, kichikroq kardinallardan n + 1-darajali mantiqning har qanday formulasi bilan m-1 kvalifikatorlarining o'zgarishi bilan, hatto qo'shimcha unary predikat belgisi (A uchun) ustunligi bilan ajralib turolmaydi (pastdan qarab). Bu shuni anglatadiki, u shunga o'xshash xususiyatlarga ega bo'lgan juda kichik kardinallar bo'lishi kerak.
Asosiy raqam κ chaqiriladi umuman ta'riflab bo'lmaydi agar u Π bo'lsan
m- barcha musbat sonlar uchun ta'riflanadi m va n.
Agar a tartibli bo'lsa, kardinal son κ chaqiriladi a-ta'riflab bo'lmaydi agar har bir formula formula va har bir kichik to'plam uchun U ning Vκ shunday qilib φ (U) ushlab turadi Vb + a ba'zi bir λ
ω- ta'riflab bo'lmaydigan tartib qoidalari. a-ta'riflash mumkin emasligi a <κ degan ma'noni anglatadi, ammo alternativ tushunchasi mavjud aqlli kardinallar $ alpha $ bo'lsa, bu mantiqiy: $ phi $ va $ pi $ mavjud, shuning uchun ph (U ∩ Vλ) ushlab turadi Vλ + β.
Π1
1- ta'riflab bo'lmaydigan kardinallar xuddi shunday zaif ixcham kardinallar.
Kardinalga agar u Π bo'lsa, kirish mumkin emas0
n- barcha musbat sonlar uchun ta'riflanadi n, agar unga teng bo'lsa,0
2- ta'riflash mumkin, agar u Σ bo'lsa, unga teng1
1- ta'riflab berish mumkin. Kardinal Σ dir1
n + 1- agar u ind bo'lsa, ta'riflab bo'lmaydi1
n- ta'riflab berish mumkin. $ Delta $ bo'lish xususiyati1
n- ta'riflash mumkin bo'lgan $ pi $1
n + 1. M> 1 uchun bo'lish xususiyati Πm
n- ta'riflash mumkin bo'lgan $ pi $m
n va bo'lish xususiyati Σm
n- ta'riflash mumkin bo'lgan $ pi $m
n. Shunday qilib, m> 1 uchun har bir kardinal yoki $ phi $ bo'ladim
n + 1- ta'riflash mumkin yoki Σm
n + 1- ta'riflab bo'lmaydigan ikkala narsa hamm
n- ta'riflab bo'lmaydigan va Σm
n- ta'riflab bo'lmaydigan va uning ostidagi bunday kardinallar to'plami harakatsiz. Qat'iylik kuchi Σm
n- ta'riflab bo'lmaydigan kardinallar Π dan pastdam
n- ta'riflab bo'lmaydi, lekin m> 1 uchun u eng kam that bo'lgan ZFC bilan mos keladim
n- ta'riflab bo'lmaydigan narsa mavjud va u eng kichik darajadan yuqorim
n- ta'riflab bo'lmaydigan kardinal (bu ZFC ning Π ga muvofiqligi bilan isbotlanganm
n- ta'riflab bo'lmaydigan kardinal va Σm
n- yuqorida ta'riflanadigan kardinal).
O'lchanadigan kardinallar Π2
1- ta'riflab bo'lmaydigan, ammo eng kichik o'lchanadigan kardinal Σ emas2
1- ta'riflab berish mumkin. Biroq, har qanday o'lchanadigan kardinal ostida juda ko'p ta'riflab bo'lmaydigan kardinallar mavjud.
Umuman ta'riflab bo'lmaydigan kardinallar quriladigan koinot va boshqa kanonik ichki modellarda va shunga o'xshash $ pi $ uchunm
n va Σm
n ta'riflab bo'lmaydiganlik.
Adabiyotlar
- Drake, F. R. (1974). Nazariyani o'rnating: Katta kardinallarga kirish (mantiq va matematikaning asoslari bo'yicha tadqiqotlar; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
- Hanf, V. P.; Skott, D. S. (1961), "Kirish mumkin bo'lmagan kardinallarni tasniflash", Amerika Matematik Jamiyati to'g'risida bildirishnomalar, 8: 445, ISSN 0002-9920
- Kanamori, Akixiro (2003). Yuqori cheksiz: boshidanoq nazariy jihatdan katta kardinallar (2-nashr). Springer. doi:10.1007/978-3-540-88867-3_2. ISBN 3-540-00384-3.