Infeld-van der Waerden ramzlari - Infeld–van der Waerden symbols

The Infeld-van der Waerden ramzlari, ba'zan oddiy deb nomlanadi van der Waerden ramzlari, bilan bog'liq bo'lgan o'zgarmas belgidir Lorents guruhi ichida ishlatilgan kvant maydon nazariyasi. Ularning nomi berilgan Leopold Infeld va Bartel Leendert van der Vaerden.^[1]

Infeld-van der Waerden ramzlari indeks yozuvidir Kliffordni ko'paytirish chap qo'lda joylashgan kvektorlarning spinorlar o'ng qo'lli spinlarni berish yoki aksincha, ya'ni ular diagonali bloklardan tashqarida gamma matritsalari. Belgilar odatda ichida belgilanadi van der Waerden yozuvlari kabi

{ displaystyle sigma ^ {m} {} _ { alpha { dot { beta}}} quad { text {and}} quad { bar { sigma}} ^ {m , { nuqta { alfa}} beta}.}

shuning uchun bitta Lorents indeksi (m), bittasi chap qo'l (belgisiz yunoncha) va bittasi o'ng qo'li (nuqta yunoncha) Veylga ega. spinor indeks. Ular qondirishadi

{ displaystyle { begin {aligned} sigma ^ {m} {} _ { alpha { dot { beta}}} { bar { sigma}} ^ {n , { dot { beta} } gamma} + sigma ^ {n} {} _ { alfa { dot { beta}}} { bar { sigma}} ^ {m , { dot { beta}} gamma} & = 2 delta _ { alpha} ^ { gamma} g ^ {mn}, quad sigma ^ {m} {} _ { alpha { dot { beta}}} { bar { sigma}} ^ {n , { nuqta { gamma}} alfa} + sigma ^ {n} {} _ { alfa { dot { beta}}} { bar { sigma}} ^ {m , { dot { gamma}} alpha} & = 2 delta _ { dot { beta}} ^ { dot { gamma}} g ^ {mn}. end {aligned} }}

Biroq, ular doimiy bo'lishi shart emas va shuning uchun egri vaqt oralig'ida shakllantirish mumkin.

Fon

Ushbu o'zgarmas belgining mavjudligi natijadagi natijadan kelib chiqadi Lorents guruhining vakillik nazariyasi yoki undan to'g'ri uning algebrasi. Yorliqlash qisqartirilmaydigan vakolatxonalar tomonidan ${ displaystyle (j, { bar { jmath}})}$ , spinor va uning murakkab konjuge tasvirlari chap va o'ngdir asosiy vakolatxonalar

{ displaystyle ({ tfrac {1} {2}}, 0)}

va

{ displaystyle (0, { tfrac {1} {2}}),}

tangens vektorlar vektor ko'rinishida yashaydi

{ displaystyle ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} {2}}).}

Bitta chap va o'ng asosiy tasvirning tensor mahsuloti - bu vektor tasviri, ${ displaystyle ({ tfrac {1} {2}}, 0) otimes (0, { tfrac {1} {2}}) = ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac { 1} {2}})}$ . Ikki tomonlama bayonot - vektor, chap va o'ng asosiy tasvirlarning tenzor hosilasi quyidagilarni o'z ichiga oladi ahamiyatsiz vakillik aslida Klifford algebrasi orqali Lie algebra vakilliklarini qurish natijasida hosil bo'ladi (pastga qarang)^[2]

{ displaystyle ({ tfrac {1} {2}}, 0) otimes (0, { tfrac {1} {2}}) otimes ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} {2}}) = (0,0) oplus cdots.}

Infeld van der Vaerden ramzlari va Klifford algebrasi tasvirlari

Musbat Weyl spinorlari maydonini ko'rib chiqing ${ displaystyle S}$ Lorentsiya vektor makonining ${ displaystyle (T, g)}$ dual bilan ${ displaystyle (T ^ { vee}, g ^ { vee})}$ . Keyin salbiy Weyl spinorlarini vektor maydoni bilan aniqlash mumkin ${ displaystyle { bar {S}} ^ { vee}}$ murakkab konjuge dual spinors. Weyl spinorlari "Klifford algebra tasvirining ikki yarmini" amalga oshiradilar, ya'ni ular xaritalar sifatida bajarilgan kovektorlar bilan ko'paytiriladi.

{ displaystyle sigma: T ^ { vee} to mathrm {Hom} (S, { bar {S}} ^ { vee})}

va

{ displaystyle { bar { sigma}}: T ^ { vee} to mathrm {Hom} ({ bar {S}} ^ { vee}, S)}

biz Infeld van der Waerden xaritalari deb ataymiz. E'tibor bering, tabiiy ravishda biz xaritalarni vektorni chap va o'ng spinorga bog'laydigan sesquiline xarita deb tasavvur qilishimiz mumkin.

{ displaystyle sigma in T otimes { bar {S}} ^ { vee} otimes S ^ { vee} cong mathrm {Hom} ({ bar {S}} otimes S, T )}

navbati bilan ${ displaystyle { bar { sigma}} in T otimes S otimes { bar {S}} cong mathrm {Hom} (S ^ { vee} otimes { bar {S}} ^ { vee}, T)}$ .

Infeld van der Vaerden xaritalarida "Klefford algebra tasvirining ikki yarmi" amalga oshiriladi, bu kovektorlar uchun ${ displaystyle a, b in T ^ { vee}}$

{ displaystyle { bar { sigma}} (a) sigma (b) + { bar { sigma}} (b) sigma (a) = 2g ^ { vee} (a, b) 1_ { S}}

resp.

{ displaystyle sigma (a) { bar { sigma}} (b) + sigma (b) { bar { sigma}} (a) = 2g ^ { vee} (a, b) 1_ { { bar {S}} ^ { vee}}}

,

Shunday qilib, agar biz aniqlasak

{ displaystyle gamma = { begin {pmatrix} 0 & { bar { sigma}} sigma & 0 end {pmatrix}}: T ^ { vee} to mathrm {End} (S oplus { bar {S}} ^ { vee})}

keyin

{ displaystyle gamma (a) gamma (b) + gamma (b) gamma (a) = 2g ^ { vee} (a, b) 1_ {S oplus { bar {S}} ^ { vee}}.}

Shuning uchun ${ displaystyle gamma}$ to'g'ri algebra Klifford vakolatxonasiga etkaziladi ${ displaystyle mathrm {Cl} (T ^ { vee}, g ^ { vee}) to mathrm {End} (S oplus { bar {S}} ^ { vee})}$ .

Infeld van der Vaerden xaritalari haqiqiy konjuge dual xaritalar ma'nosida haqiqiy (yoki germitian) xaritalardir.

{ displaystyle sigma ^ { dagger} (a): S mathop { to} limitler ^ { bar {}} { bar {S}} mathop { longrightarrow} limitler ^ { sigma ^ { vee} (a)} S ^ { vee} mathop { to} limitler ^ { bar {}} { bar {S}} ^ { vee}}

mos keladi (haqiqiy kvektor uchun ${ displaystyle a}$ ) :

{ displaystyle sigma (a) = sigma ({ bar {a}}) ^ { xanjar}}

.

Xuddi shunday bizda ham bor ${ displaystyle { bar { sigma}} (a) = { bar { sigma}} ({ bar {a}}) ^ { xanjar}}$ .

Endi Infeld Infeld van der Waerden ramzlari xaritalarning tarkibiy qismidir ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ va ${ displaystyle sigma}$ asoslariga nisbatan ${ displaystyle T}$ va ${ displaystyle S}$ induksiya qilingan asoslar bilan ${ displaystyle T ^ { vee}}$ va ${ displaystyle { bar {S}} ^ { vee}}$ . Konkret ravishda, agar T mahalliy koordinatalarga ega bo'lgan O nuqtadagi teginish fazosi bo'lsa ${ displaystyle x ^ {m}}$ ( ${ displaystyle m = 0, ldots, 3}$ ) Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle kısalt _ {m}}$ uchun asosdir ${ displaystyle T}$ va ${ displaystyle dx ^ {m}}$ uchun asosdir ${ displaystyle T ^ { vee}}$ va ${ displaystyle s _ { alpha}}$ ( ${ displaystyle alfa = 0,1}$ ) uchun asosdir ${ displaystyle S}$ , ${ displaystyle s ^ { alpha}}$ uchun ikki tomonlama asosdir ${ displaystyle S ^ { vee}}$ murakkab konjuge dual asosga ega ${ displaystyle { bar {s}} ^ { dot { alpha}}}$ ning ${ displaystyle { bar {S}} ^ { vee}}$ , keyin

{ displaystyle sigma (dx ^ {m}) (s _ { alpha}) = sigma _ { alpha { dot { beta}}} ^ {m} { bar {s}} ^ { dot { beta}}}

{ displaystyle { bar { sigma}} (dx ^ {m}) ({ bar {s}} ^ { nuqta { alfa}}) = { bar { sigma}} ^ {m, { dot { alpha}} beta} s _ { beta}}

(Co) tangens to'plami va Weyl spinor to'plamining mahalliy ramkalari yordamida qurilish a ga o'tadi farqlanadigan manifold spinor to'plami bilan.

Ilovalar

The ${ displaystyle sigma}$ belgilar hisoblash uchun muhim ahamiyatga ega egri fazodagi kvant maydon nazariyasi va super simmetriya. Huzurida a tetrad ${ displaystyle e ^ { mu} {} _ {m}}$ mahalliy Lorents indekslarini tangens indekslariga "lehimlash" uchun, shartnoma asosida ${ displaystyle sigma ^ { mu} {} _ { alpha { dot { beta}}}}$ deb ham o'ylash mumkin lehim shakli chap va o'ng Veyl spinlaridan juft teginuvchi vektor yaratish uchun.^[3]

Konventsiyalar

Kvartirada Minkovskiy maydoni, Komponentning standart vakili quyidagicha Pauli matritsalari, shuning uchun ${ displaystyle sigma}$ yozuv. Standart spinli ramka bilan ortonormal asosda an'anaviy komponentlar mavjud

{ displaystyle { begin {aligned} sigma ^ {0} {} _ { alpha { dot { beta}}} & { dot {=}} delta _ { alpha { dot { beta}}} ,, sigma ^ {i} {} _ { alfa { dot { beta}}} & { dot {=}} ( sigma ^ {i}) _ { alfa { dot { beta}}} ,, { bar { sigma}} ^ {0 , { dot { alpha}} beta} & { dot {=}} delta ^ {{ dot { alpha}} beta} ,, { bar { sigma}} ^ {i , { dot { alpha}} beta} & { dot {=}} - ( sigma ^ {i}) ^ {{ dot { alpha}} beta} ,. end {aligned}}}

Ushbu bloklar ekanligini unutmang gamma matritsalari ichida Veyl Chiral asosi anjuman. Ammo ko'plab anjumanlar mavjud.^{[qaysi? ]}^[4]^[5]

Adabiyotlar

^ Infeld, Leopold; van der Vaerden, Bartel (1933). "Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitätstheorie" (PDF). Sitzungsberichte der preussischen Akademie der Wissenschaften, fizikalisch-matematik Klasse: 380–401.
^ "O'zgarmas nazariya, tensorlar va guruh belgilar". London Qirollik Jamiyatining falsafiy operatsiyalari. A seriyasi, matematik va fizika fanlari. 239 (807): 305–365. 1944-02-04. doi:10.1098 / rsta.1944.0001. ISSN 0080-4614. JSTOR 91389.
^ Ashtekar, Abxay (1991 yil iyul). Perturbativ bo'lmagan kanonik tortishish bo'yicha ma'ruzalar. Astrofizika va kosmologiya bo'yicha rivojlangan seriyalar. 6. JAHON ILMIY. doi:10.1142/1321. ISBN 978-981-02-0573-7.
^ Penrose, Rojer; Rindler, Volfgang (1984-10-18). Spinors va Space-Time (1 nashr). Kembrij universiteti matbuoti. doi:10.1017 / cbo9780511564048. ISBN 978-0-521-33707-6.
^ Superspace, yoki super simmetriya bo'yicha ming bir dars. Geyts, S. Jeyms, kichik Reading, Mass.: Benjamin / Cummings Pub. 1983 yil. arXiv:hep-th / 0108200. ISBN 0-8053-3160-3. OCLC 9371408.CS1 maint: boshqalar (havola)

[1] Infeld, Leopold; van der Vaerden, Bartel (1933). "Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitätstheorie" (PDF). Sitzungsberichte der preussischen Akademie der Wissenschaften, fizikalisch-matematik Klasse: 380–401.

[2] "O'zgarmas nazariya, tensorlar va guruh belgilar". London Qirollik Jamiyatining falsafiy operatsiyalari. A seriyasi, matematik va fizika fanlari. 239 (807): 305–365. 1944-02-04. doi:10.1098 / rsta.1944.0001. ISSN 0080-4614. JSTOR 91389.

[3] Ashtekar, Abxay (1991 yil iyul). Perturbativ bo'lmagan kanonik tortishish bo'yicha ma'ruzalar. Astrofizika va kosmologiya bo'yicha rivojlangan seriyalar. 6. JAHON ILMIY. doi:10.1142/1321. ISBN 978-981-02-0573-7.

[4] Penrose, Rojer; Rindler, Volfgang (1984-10-18). Spinors va Space-Time (1 nashr). Kembrij universiteti matbuoti. doi:10.1017 / cbo9780511564048. ISBN 978-0-521-33707-6.

[5] Superspace, yoki super simmetriya bo'yicha ming bir dars. Geyts, S. Jeyms, kichik Reading, Mass.: Benjamin / Cummings Pub. 1983 yil. arXiv:hep-th / 0108200. ISBN 0-8053-3160-3. OCLC 9371408.CS1 maint: boshqalar (havola)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]