Inoue yuzasi - Inoue surface

Yilda murakkab geometriya, an Inoue yuzasi bir nechtasi murakkab yuzalar ning Kodaira VII sinf. Ularning nomi berilgan Masahisa Inoue, 1974 yilda Kodaira VII sinf sirtlarining birinchi ahamiyatsiz misollarini keltirgan.^[1]

Inoue sirtlari emas Kähler manifoldlari.

Inoue sirtlari bilan b₂ = 0

Inoue uchta oilani tanitdi, S⁰, S⁺ va S⁻, bu ixcham kvotentsiyalar ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H}}$ (murakkab tekislikning yarim tekislik bilan hosilasi). Ushbu Inoue sirtlari solvmanifolds. Ular kvotents sifatida olinadi ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H}}$ holomorfik ta'sir ko'rsatadigan hal qilinadigan diskret guruh tomonidan ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H}.}$

Inoue tomonidan qurilgan solvmanifold sirtlari hammasiga ega Betti raqami ${displaystyle b_ {2} = 0}$. Ushbu yuzalar Kodaira VII sinf, demak, ular bor ${displaystyle b_ {1} = 1}$ va Kodaira o'lchovi ${displaystyle -infty}$. Bu tomonidan isbotlangan Bogomolov,^[2] Li–Yau ^[3] va Teleman^[4] bu har qanday VII sinf yuzasi bilan ${extstyle b_ {2} = 0}$ a Hopf yuzasi yoki Inoue tipidagi solvmanifold.

Ushbu sirtlarda meromorfik funktsiyalar va egri chiziqlar mavjud emas.

K. Xasegava ^[5] barcha murakkab 2 o'lchovli solvmanifoldlarning ro'yxatini beradi; bular murakkab torus, giperelliptik sirt, Kodaira yuzasi va Inoue sirtlari S⁰, S⁺ va S⁻.

Inoue sirtlari quyidagicha aniq qurilgan.^[5]

Turi S⁰

Ruxsat bering φ ikkita murakkab qiymatga ega bo'lgan 3 × 3 matritsa bo'ling ${displaystyle alfa, {overline {alfa}}}$ va haqiqiy o'ziga xos qiymat v > 1, bilan ${displaystyle | alfa | ^ {2} c = 1}$. Keyin φ tamsayılar ustiga teskari bo'lib, butun sonlar guruhining harakatini belgilaydi, ${displaystyle mathbb {Z},}$ kuni ${displaystyle mathbb {Z} ^ {3}}$. Ruxsat bering ${displaystyle Gamma: = mathbb {Z} ^ {3} marta mathbb {Z}.}$ Ushbu guruh panjara hal etiladigan Yolg'on guruh

${displaystyle mathbb {R} ^ {3} marta mathbb {R} = (mathbb {C} imes mathbb {R}) marta mathbb {R},}$

harakat qilish ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {R},}$ bilan ${displaystyle (mathbb {C} imes mathbb {R})}$- tarjimalar asosida ijro etiladigan qism va ${displaystyle times mathbb {R}}$- qism ${displaystyle (z, r) mapsto (alfa ^ {t} z, c ^ {t} r).}$

Biz ushbu amalni kengaytiramiz ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} = mathbb {C} imes mathbb {R} imes mathbb {R} ^ {> 0}}$ sozlash orqali ${displaystyle vmapsto e ^ {log ct} v}$, qayerda t ning parametridir ${displaystyle times mathbb {R}}$- qismi ${displaystyle mathbb {R} ^ {3} marta mathbb {R},}$ va bilan ahamiyatsiz harakat qilish ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ omil bo'yicha ${displaystyle mathbb {R} ^ {> 0}}$. Ushbu harakat aniq holomorfik va qismidir ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} / Gamma}$ deyiladi Inoue turi ${displaystyle S ^ {0}.}$

Inoue tipidagi sirt S⁰ butun sonli matritsani tanlash bilan belgilanadi φ, yuqoridagi kabi cheklangan. Bunday sirtlarning hisoblanadigan soni mavjud.

Turi S⁺

Ruxsat bering n musbat tamsayı bo'ling va ${displaystyle Lambda _ {n}}$ yuqori uchburchak matritsalar guruhi bo'ling

${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & x & z / n 0 & 1 & y 0 & 0 & 1end {bmatrix}}, qquad x, y, zin mathbb {Z}.}$

Miqdor ${displaystyle Lambda _ {n}}$ uning markazi tomonidan C bu ${displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$. Ruxsat bering φ ning avtomorfizmi bo'lishi ${displaystyle Lambda _ {n}}$, biz buni taxmin qilamiz φ harakat qiladi ${displaystyle Lambda _ {n} / C = mathbb {Z} ^ {2}}$ ikkita ijobiy haqiqiy qiymatga ega bo'lgan matritsa sifatida a, bva ab = 1. Eritiladigan guruhni ko'rib chiqing ${displaystyle Gamma _ {n}: = Lambda _ {n} marta mathbb {Z},}$ bilan ${displaystyle mathbb {Z}}$ harakat qilish ${displaystyle Lambda _ {n}}$ kabi φ. Bilan yuqori uchburchak matritsalar guruhini aniqlash ${displaystyle mathbb {R} ^ {3},}$ ning harakatini olamiz ${displaystyle Gamma _ {n}}$ kuni ${displaystyle mathbb {R} ^ {3} = mathbb {C} imes mathbb {R}.}$ Ning harakatini aniqlang ${displaystyle Gamma _ {n}}$ kuni ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} = mathbb {C} imes mathbb {R} imes mathbb {R} ^ {> 0}}$ bilan ${displaystyle Lambda _ {n}}$ bo'yicha ahamiyatsiz harakat qilish ${displaystyle mathbb {R} ^ {> 0}}$- qism va ${displaystyle mathbb {Z}}$ sifatida harakat qilish ${displaystyle vmapsto e ^ {tlog b} v.}$ Inoue tipidagi sirtlarga o'xshash dalil ${displaystyle S ^ {0}}$ bu harakatning holomorfik ekanligini ko'rsatadi. Miqdor ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {H} / Gamma _ {n}}$ deyiladi Inoue turi ${displaystyle S ^ {+}.}$

Turi S⁻

Inoue sirtlari ${displaystyle S ^ {-}}$ bilan bir xil tarzda aniqlanadi S⁺, lekin ikkita o'ziga xos qiymat a, b ning φ harakat qilish ${displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ qarama-qarshi belgiga ega va qondirish ab = -1. Bunday endomorfizmning kvadrati Inoue tipdagi sirtini aniqlaganligi sababli S⁺, turdagi Inoue yuzasi S⁻ raqamlanmagan ikki turdagi qopqoqqa ega S⁺.

Parabolik va giperbolik Inoue sirtlari

Parabolik va giperbolik Inoue sirtlari Kodaira VII sinf yuzalaridir Iku Nakamura 1984 yilda.^[6] Ular solvmanifoldlar emas. Ushbu yuzalar ijobiy ikkinchi Betti raqamiga ega. Ularda mavjud sferik qobiqlar, va u portlab ketishi mumkin Hopf yuzasi.

Parabolik Inoue sirtlari 0 o'zaro kesishgan va elliptik egri chiziqli ratsional egri chiziqlar siklini o'z ichiga oladi. Ular nol o'zaro kesishgan, ammo elliptik egri chiziqsiz ratsional egri chiziqlar tsikliga ega bo'lgan Enoki sirtlarining ma'lum bir holatidir. Yarim Inoue sirtlari tsiklni o'z ichiga oladi C ratsional egri chiziqlar va giperbolik Inoue sirtining ratsional egri chiziqlarining ikki tsikliga teng qismidir.

Giperbolik Inoue sirtlari VII sinfdir₀ ratsional egri chiziqlarning ikki tsikli bo'lgan yuzalar.^[7] Parabolik va giperbolik yuzalar - bu Kato sirtlari deb ham ataladigan global sharsimon qobiqlar (GSS) bo'lgan minimal sirtlarning alohida holatlari. Ushbu sirtlarning barchasi qaytarib bo'lmaydigan qisqarishlar bilan qurilishi mumkin.^[8]

Izohlar