Lagranj tizimi - Lagrangian system

Matematikada a Lagranj tizimi juftlik $(Y, L)$ , silliqdan iborat tola to'plami $Y \to X$ va Lagranj zichligi $L$ , bu Eyler-Lagranjni beradi differentsial operator bo'limlari bo'yicha harakat qilish $Y \to X$ .

Yilda klassik mexanika, ko'p dinamik tizimlar Lagranj tizimlari. Bunday Lagrangiya tizimining konfiguratsiya maydoni tolalar to'plamidir $Q \to ℝ$ vaqt o'qi bo'yicha $ℝ$ . Jumladan, $Q = Ph \times M$ agar mos yozuvlar ramkasi o'rnatilsa. Yilda klassik maydon nazariyasi, barcha dala tizimlari Lagranj sistemalari.

Lagranjianlar va Eyler-Lagranj operatorlari

A Lagranj zichligi $L$ (yoki oddiygina, a Lagrangian ) buyurtma $r$ sifatida belgilanadi $n$ -form, $n = xira X$ , ustida $r$ - tartib reaktiv manifold $J r Y$ ning $Y$ .

Lagrangiyalik $L$ ning elementi sifatida kiritilishi mumkin variatsion bikompleks ning differentsial darajali algebra $O * \infty (Y)$ ning tashqi shakllari kuni reaktiv manifoldlar ning $Y \to X$ . The chegara operatori Ushbu bikompleks tarkibida variatsion operator mavjud $δ$ harakat qiladigan $L$ , bog'liq bo'lgan Eyler-Lagranj operatorini aniqlaydi $.L$ .

Koordinatalarda

To'plam koordinatalari berilgan $x λ, y men$ tolalar to'plamida $Y$ va moslashtirilgan koordinatalar $x λ, y men, y men Λ$ , $(Λ = (λ 1, ..., λ k)$ , $| Λ | = k \leq r$ ) reaktiv manifoldlarda $J r Y$ , lagrangiyalik $L$ va uning Eyler-Lagranj operatori o'qildi

{ displaystyle L = { mathcal {L}} (x ^ { lambda}, y ^ {i}, y _ { Lambda} ^ {i}) , d ^ {n} x,}

{ displaystyle delta L = delta _ {i} { mathcal {L}} , dy ^ {i} wedge d ^ {n} x, qquad delta _ {i} { mathcal {L} } = qisman _ {i} { mathcal {L}} + sum _ {| Lambda |} (- 1) ^ {| Lambda |} , d _ { Lambda} , qismli _ {i } ^ { Lambda} { mathcal {L}},}

qayerda

{ displaystyle d _ { Lambda} = d _ { lambda _ {1}} cdots d _ { lambda _ {k}}, qquad d _ { lambda} = kısalt _ { lambda} + y _ { lambda } ^ {i} qisman _ {i} + cdots,}

jami hosilalarni bildiring.

Masalan, birinchi tartibli Lagranjian va uning ikkinchi darajali Eyler-Lagranj operatori shaklni oladi

{ displaystyle L = { mathcal {L}} (x ^ { lambda}, y ^ {i}, y _ { lambda} ^ {i}) , d ^ {n} x, qquad delta _ {i} L = kısalt _ {i} { mathcal {L}} - d _ { lambda} qisman _ {i} ^ { lambda} { mathcal {L}}.}

Eyler-Lagranj tenglamalari

Euler-Lagrange operatorining yadrosi quyidagilarni ta'minlaydi Eyler-Lagranj tenglamalari $.L = 0$ .

Kogomologiya va Noeter teoremalari

Kogomologiya variatsion bikompleksning o'zgaruvchan formulaga olib kelishi

{ displaystyle dL = delta L + d_ {H} Theta _ {L},}

qayerda

{ displaystyle d_ {H} Theta _ {L} = dx ^ { lambda} wedge d _ { lambda} phi, qquad phi in O _ { infty} ^ {*} (Y)}

umumiy differentsial va $θ L$ ning Lepage ekvivalenti $L$ . Noeterning birinchi teoremasi va Noeterning ikkinchi teoremasi bu variatsion formulaning natijalari.

Baholangan kollektorlar

Kengaytirilgan gradusli manifoldlar, variatsion bikompleks juft va toq o'zgaruvchilarning darajalangan Lagranj tizimlari tavsifini beradi.^[1]

Muqobil formulalar

Boshqacha qilib aytganda, Lagranjianlar, Eyler-Lagranj operatorlari va Eyler-Lagranj tenglamalari o'zgarishlarni hisoblash.

Klassik mexanika

Klassik mexanikada harakat tenglamalari ko'p qirrali birinchi va ikkinchi darajali differentsial tenglamalardir $M$ yoki har xil tola to'plamlari $Q$ ustida $ℝ$ . Harakat tenglamalarining yechimi a deyiladi harakat.^[2]^[3]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Sardanashvily 2013 yil
^ Arnold 1989 yil, p. 83
^ Giachetta, Mangiarotti va Sardanashvily 2011 yil, p. 7

Arnold, V. I. (1989), Klassik mexanikaning matematik usullari, Matematikadan aspirantura matnlari, 60 (ikkinchi tahr.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96890-3
Giachetta, G.; Mangiarotti, L .; Sardanashvili, G. (1997). Dala nazariyasida yangi lagrangian va gamiltonian usullari. Jahon ilmiy. ISBN 981-02-1587-8.CS1 maint: ref = harv (havola)
Giachetta, G.; Mangiarotti, L .; Sardanashvily, G. (2011). Klassik va kvant mexanikasining geometrik formulasi. Jahon ilmiy. doi:10.1142/7816. ISBN 978-981-4313-72-8.CS1 maint: ref = harv (havola)
Olver, P. (1993). Yolg'on guruhlarining differentsial tenglamalarga qo'llanishi (2 nashr). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3.
Sardanashvily, G. (2013). "Lagrangiyalik formalizm". Int. J. Geom. Usullari mod. Fizika. Jahon ilmiy. 10 (5): 1350016. arXiv:1206.2508. doi:10.1142 / S0219887813500163. ISSN 0219-8878.CS1 maint: ref = harv (havola)

Tashqi havolalar

Sardanashvily, G. (2009). "Elyaf to'plamlari, Jet manifoldlari va Lagranjiya nazariyasi. Nazariyotchilar uchun ma'ruzalar". arXiv:0908.1886. Bibcode:2009arXiv0908.1886S. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)CS1 maint: ref = harv (havola)

[1] Sardanashvily 2013 yil

[2] Arnold 1989 yil, p. 83

[3] Giachetta, Mangiarotti va Sardanashvily 2011 yil, p. 7

[1]

[2]

[3]