Lemmerlarning taxminlari - Lehmers conjecture - Wikipedia

Lexmerning taxminlari, deb ham tanilgan Lehmerning Mahler o'lchov muammosi, muammo sonlar nazariyasi tomonidan ko'tarilgan Derrik Genri Lemmer.[1] Gumon mutlaq doimiy borligini tasdiqlaydi shunday har bir polinom butun son koeffitsientlari bilan quyidagi xususiyatlardan birini qondiradi:

  • The Mahler o'lchovi ning dan katta yoki tengdir .
  • siklotomik polinomlar yoki monomiallar ko'paytmasining ajralmas ko'pligi , bu holda . (Bunga teng ravishda, har bir murakkab ildiz birlikning ildizi yoki nol.)

Mahler o'lchovining bir qator ta'riflari mavjud, ulardan biri faktor ustida kabi

va keyin o'rnatiladi

Malerning eng kichik o'lchovi (1 dan katta) "Lemmer polinomiga" tegishli

buning uchun Mahler o'lchovi Salem raqami[2]

Ushbu misol haqiqiy minimal qiymatni anglatadi, degan fikr keng tarqalgan: ya'ni Lexmerning taxminida.[3][4]

Motivatsiya

Mahler o'lchovini bitta o'zgaruvchiga va Jensen formulasi shuni ko'rsatadiki, agar keyin

Ushbu xatboshini belgilang , bu ham deyiladi Mahler o'lchovi.

Agar tamsayı koeffitsientlariga ega, bu shuni ko'rsatadiki bu algebraik raqam shunday algebraik tamsayı logarifmidir. Bu ham buni ko'rsatadi va agar shunday bo'lsa keyin ning mahsulotidir siklotomik polinomlar ya'ni barcha ildizlari birlikning ildizlari bo'lgan monik polinomlar yoki ning monomial polinomlari ya'ni kuch kimdir uchun .

Lexmer buni payqadi[1][5] bu butun sonli ketma-ketlikni o'rganishda muhim ahamiyatga ega monik uchun . Agar u holda aylanada yo'qolib qolmaydi va agar bu gap to'g'ri bo'lsa ham aylanada yo'qoladi. Bu bilan u so'rashga majbur bo'ldi

doimiy mavjudmi yoki yo'qmi shu kabi taqdim etilgan siklotomik emasmi?

yoki

berilgan , bormi buning uchun tamsayı koeffitsientlari bilan ?

Ba'zi ijobiy javoblar quyidagicha berilgan, ammo Lexmerning taxminlari hali to'liq isbotlanmagan va hali ham katta qiziqish uyg'otmoqda.

Qisman natijalar

Ruxsat bering darajadagi kamaytirilmaydigan monik polinom bo'ling .

Smit [6] Lehmer gipotezasi mavjud bo'lmagan barcha polinomlar uchun to'g'ri ekanligini isbotladi o'zaro, ya'ni barcha polinomlar qoniqtiradi .

Blanksbi va Montgomeri[7] va Styuart[8] mutlaq doimiy borligini mustaqil ravishda isbotladi shunday ham yoki[9]

Dobrowolski [10] buni yaxshilagan

Dobrowolski bu qiymatni qo'lga kiritdi C 12 1/1200 va asimptotik ravishda C> 1-ε hamma uchun etarlicha katta D.. Voutier 1996 yilda olingan C ≥ 1/4 uchun D. ≥ 2.[11]

Elliptik analoglar

Ruxsat bering bo'lish elliptik egri chiziq raqam maydonida aniqlangan va ruxsat bering bo'lishi kanonik balandlik funktsiya. Kanonik balandlik funktsiyaning elliptik egri chiziqlari uchun analog hisoblanadi . Uning xususiyati bor agar va faqat agar a burilish nuqtasi yilda . The Leliper gipotezasi doimiy borligini ta'kidlaydi shu kabi

barcha burishmaydigan nuqtalar uchun ,

qayerda . Agar elliptik egri chiziq bo'lsa E bor murakkab ko'paytirish, keyin Dobrowolski natijasining analogi quyidagicha:

Laurent tufayli.[12] Ixtiyoriy elliptik egri chiziqlar uchun eng yaxshi ma'lum bo'lgan natija

sababli Masser.[13] Integral bo'lmagan elliptik egri chiziqlar uchun j-o'zgarmas, bu yaxshilandi

Hindri va Silverman.[14]

Cheklangan natijalar

Kuchli natijalar cheklangan polinomlar yoki algebraik sonlar uchun ma'lum.

Agar P(x) u holda o'zaro emas

va bu aniq eng yaxshi mumkin.[15] Agar bundan keyingi barcha koeffitsientlar P u holda g'alati[16]

Har qanday algebraik son uchun a, ruxsat bering minimal polinomning Mahler o'lchovi bo'ling ning a. Agar maydon bo'lsa Q(a) a Galois kengaytmasi ning Q, keyin Lexmerning gumoni ushlanadi .[16]

Adabiyotlar

  1. ^ a b Lexmer, D.X. (1933). "Muayyan siklotomik funktsiyalarni faktorizatsiya qilish". Ann. Matematika. 2. 34 (3): 461–479. doi:10.2307/1968172. hdl:10338.dmlcz / 128119. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968172. Zbl  0007.19904.
  2. ^ Borwein, Peter (2002). Tahlil va raqamlar nazariyasidagi ekskursiyalar. Matematikadan CMS kitoblari. Springer-Verlag. p.16. ISBN  0-387-95444-9. Zbl  1020.12001.
  3. ^ Smit (2008) s.324
  4. ^ Everest, Grem; van der Puorten, Alf; Shparlinski, Igor; Uord, Tomas (2003). Takrorlanish ketma-ketliklari. Matematik tadqiqotlar va monografiyalar. 104. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. p. 30. ISBN  0-8218-3387-1. Zbl  1033.11006.
  5. ^ Devid Boyd (1981). "Malerning o'lchov doirasiga oid spekulyatsiyalar" Canad. Matematika. Buqa. Vol. 24 (4)
  6. ^ Smit, C. J. (1971). "Algebraik butun sonning birlik doirasidan tashqaridagi konjugatlar ko'paytmasi to'g'risida". London Matematik Jamiyati Axborotnomasi. 3 (2): 169–175. doi:10.1112 / blms / 3.2.169. Zbl  1139.11002.
  7. ^ Blanksbi, P. E.; Montgomeri, H. L. (1971). "Birlik doirasi yaqinidagi algebraik tamsayılar". Acta Arith. 18: 355–369. doi:10.4064 / aa-18-1-355-369. Zbl  0221.12003.
  8. ^ Styuart, L. L. (1978). "Konjugatlari birlik doirasi yonida joylashgan algebraik tamsayılar". Buqa. Soc. Matematika. Frantsiya. 106: 169–176. doi:10.24033 / bsmf.1868.
  9. ^ Smit (2008) 325-bet
  10. ^ Dobrowolski, E. (1979). "Lemmer va polinomning kamaytirilmaydigan omillari soni to'g'risida". Acta Arith. 34 (4): 391–401. doi:10.4064 / aa-34-4-391-401.
  11. ^ P. Voutier, Algebraik sonlar balandligi uchun samarali pastki chegara, Acta Arith. 74 (1996), 81-95.
  12. ^ Smit (2008) 327-bet
  13. ^ Masser, D.V. (1989). "Elliptik egri chiziqlar bo'yicha kichik balandlikdagi nuqtalarni hisoblash". Buqa. Soc. Matematika. Fr. 117 (2): 247–265. doi:10.24033 / bsmf.2120. Zbl  0723.14026.
  14. ^ Xindri, Mark; Silverman, Jozef H. (1990). "Elliptik egri chiziqlar uchun Lexmer gipotezasi to'g'risida". Yilda Goldstein, Ketrin (tahrir). Semin. Téor. Nombres, Parij / Fr. 1988-89. Prog. Matematika. 91. 103–116 betlar. ISBN  0-8176-3493-2. Zbl  0741.14013.
  15. ^ Smit (2008) 328-bet
  16. ^ a b Smit (2008) 329-bet
  • Smit, Kris (2008). "Allerbraik sonlarning Mahler o'lchovi: so'rovnoma". McKee-da Jeyms; Smit, Kris (tahrir). Sonlar nazariyasi va polinomlar. London matematik jamiyati ma'ruzalar to'plami. 352. Kembrij universiteti matbuoti. 322-349 betlar. ISBN  978-0-521-71467-9.

Tashqi havolalar