Lib-Robinson chegaralari - Lieb-Robinson bounds - Wikipedia

The Lib-Robinson bog'langan ning nazariy yuqori chegarasi hisoblanadi tezlik unda ma `lumot tarqalishi mumkinrelyativistik kvant tizimlar. Ma'lumotlar kvant nazariyasida bir zumda sayohat qila olmasligini, hatto nisbiylik chegaralari yorug'lik tezligi e'tiborga olinmaydi. Bunday cheklangan tezlikning mavjudligi matematik ravishda kashf etilgan Elliott Lib va Derek Uilyam Robinzon 1972 yilda.[1] Bu jismoniy tizimlarning joylashuv xususiyatlarini ushbu tezlikning mavjudligiga va yuqori chegarasiga aylantiradi. Bog'lanish endi Lieb-Robinson bog'langan, tezlik esa Lieb-Robinson tezligi deb nomlanadi. Ushbu tezlik ko'rib chiqilayotgan tizim tafsilotlariga qarab har doim cheklangan, lekin universal emas. Sonli diapazon uchun, masalan. eng yaqin qo'shni, o'zaro ta'sirlar, bu tezlik bosib o'tgan masofadan doimiy ravishda mustaqil. Uzoq masofali o'zaro ta'sir qiluvchi tizimlarda bu tezlik cheklangan bo'lib qoladi, lekin bosib o'tgan masofa bilan u ko'payishi mumkin.[2][3]

Kabi kvant tizimlarini o'rganishda kvant optikasi, kvant axborot nazariyasi, atom fizikasi va quyultirilgan moddalar fizikasi borligini bilish muhimdir a cheklangan ma'lumotni tarqatish tezligi. Nisbiylik nazariyasi shuni ko'rsatadiki, bu uchun hech qanday ma'lumot yoki boshqa narsalar yorug'lik tezligidan tezroq harakatlana olmaydi. Relyativistik bo'lmagan mexanika ko'rib chiqilganda, (Nyuton tenglamalari harakat yoki Shredinger tenglamasi (kvant mexanikasi)) ma'lumotlarning tarqalish tezligida hech qanday cheklov yo'q deb o'ylashgan edi. Bu ko'pincha kvant spin tizimlari deb ataladigan panjarada joylashgan atomlarning kvant tizimlarining ayrim turlari uchun bunday emas. Bu kontseptual va amaliy jihatdan muhimdir, chunki bu qisqa vaqt ichida tizimning uzoq qismlari mustaqil ravishda harakat qilishini anglatadi.

Lieb-Robinson chegaralarining amaliy qo'llanilishlaridan biri kvant hisoblash. Atomga o'xshash birliklardan tashkil topgan kvant kompyuterlarini qurish bo'yicha joriy takliflar, ma'lumotlarning juda tez tarqalishidan himoya qilish uchun, asosan, ushbu tarqalish tezligining mavjudligiga bog'liq.[4][3]

Taqriz maqolalarini quyidagi ma'lumotnomalarda topish mumkin, masalan,[5][6][7]

Qattiq va zamonaviy kirish bilan tanishish mumkin.[8]

Sozlash

Chegarani aniqlash uchun birinchi navbatda har biri cheklangan o'lchovli bir necha birlikdan tashkil topgan kvant mexanik tizimlari haqida asosiy ma'lumotlarni bayon qilish kerak. Hilbert maydoni.

Lieb-Robinson chegaralari a - o'lchovli panjara ( yoki ) , masalan, kvadrat panjara.

A Hilbert maydoni davlatlarning har bir nuqta bilan bog'liq . Ushbu bo'shliqning o'lchami cheklangan, ammo bu 2008 yilda cheksiz o'lchamlarni o'z ichiga olgan holda umumlashtirildi (pastga qarang). Bu deyiladi kvant spin tizimi.

Panjaraning har bir cheklangan pastki qismi uchun, , bog'langan Hilbert maydoni tenzor mahsuloti bilan berilgan

.

An kuzatiladigan cheklangan to'plamda qo'llab-quvvatlanadi (ya'ni, faqat bog'liq) a chiziqli operator Hilbert makonida .

Qachon cheklangan o'lchovli, cheklanganni tanlang asos chiziqli operatorlar to'plamini qamrab oluvchi operatorlar . Keyin har qanday kuzatiladigan ni asosli operatorlarning yig'indisi sifatida yozish mumkin .

The Hamiltoniyalik tizimning o'zaro ta'siri bilan tavsiflanadi . The o'zaro ta'sir cheklangan to'plamlardan funktsiya ga o'zini o'zi bog'laydigan kuzatiladigan narsalar ichida qo'llab-quvvatlanadi . O'zaro ta'sir cheklangan oraliq deb qabul qilinadi (bu shuni anglatadiki) agar hajmi belgilangan belgilangan hajmdan oshadi) va tarjima o'zgarmas. Keyinchalik bu talablar bekor qilindi.[2][9]

Odatda tarjima invariantligi taxmin qilinsa-da, buni qilish shart emas. O'zaro ta'sir o'z domenida yuqorida va pastda chegaralangan deb taxmin qilish kifoya. Shunday qilib, chegara hamiltoniyalikning o'zgarishiga toqatli ekanligi nuqtai nazaridan ancha mustahkamdir. Cheklangan diapazon bu ammo muhim. Agar sonli son bo'lsa, o'zaro ta'sir cheklangan diapazon deyiladi har qanday to'plam uchun dan katta diametri bilan o'zaro ta'sir nolga teng, ya'ni . Shunga qaramay, bu talab keyinchalik bekor qilindi.[2][9]

Tizimning o'zaro ta'sirga ega bo'lgan Gamiltonian rasmiy ravishda quyidagicha belgilanadi:

.

Kvant mexanikasi qonunlari shuni ta'kidlashicha, har bir fizik jihatdan kuzatiladigan miqdorga mos keladigan o'z-o'zidan bog'langan operator mavjud .Har bir kuzatiladigan narsa uchun cheklangan qo'llab-quvvatlash bilan Hamiltonian uzluksiz bitta parametrli guruhni belgilaydi kuzatiladigan narsalarning o'zgarishi tomonidan berilgan

Bu yerda, vaqtning fizik ma'nosiga ega. (Texnik jihatdan aytganda, bu vaqt evolyutsiyasi normaga yaqinlashuvchi qator sifatida ma'lum bo'lgan kuch ketma-ketligi kengayishi bilan belgilanadi , qarang,[10] Teorema 7.6.2, bu moslashtirilgan.[11] Batafsil tafsilotlarni topish mumkin.[1])

Savolning chegarasi isbotlangan[1] va quyidagilar: Har qanday kuzatiladigan narsalar uchun va cheklangan tayanchlar bilan va navbati bilan va istalgan vaqt uchun ba'zi ijobiy konstantalar uchun quyidagilar mavjud va :

 

 

 

 

(1)

qayerda to'plamlar orasidagi masofani bildiradi va . Operator operatorlarning kommutatori deyiladi va belgisi esa belgisini bildiradi norma yoki operatorning hajmi . Shuni ta'kidlash kerakki, bog'langan bilan hech qanday aloqasi yo'q davlat kvant tizimining, lekin faqat dinamikani boshqaradigan Hamiltoninanga bog'liq. Ushbu operator o'rnatilgandan so'ng, u tizimning har qanday holatiga o'tishi shart.

Ijobiy doimiy kuzatiladigan narsalarning me'yorlariga bog'liq va , tayanchlarning o'lchamlari va , o'zaro ta'sir, panjara tuzilishi va Xilbert fazosining o'lchamlari . Ijobiy doimiy o'zaro ta'sirga va faqat panjara tuzilishiga bog'liq. Raqam taqdim etilgan xohishiga ko'ra tanlanishi mumkin etarlicha katta tanlangan. Boshqacha qilib aytganda, uzoqroq yorug'lik konusiga o'tadi, , parchalanish darajasi ko'rsatkichi qanchalik keskin bo'lsa (keyingi ishlarda mualliflar buni e'tiborga olishgan sobit doimiy sifatida.) doimiy deyiladi guruh tezligi yoki Lieb-Robinson tezligi.

Bog'langan (1) asl qog'ozdagi tenglamadan bir oz boshqacha tarzda keltirilgan tezlikka bog'liq parchalanish tezligi kosmik vaqt davomida nurlar dan katta tezlik bilan .[1] Ushbu aniqroq shakl (1) bog'langanligini isbotidan ko'rish mumkin[1]

Lib-Robinzon buni bir necha bor ko'rsatib turibdi o'ng tarafdagi me'yor eksponent jihatdan kichikdir. Bu yuqorida aytib o'tilgan darajada kichik xato.

Lib - Robinzon chegaralarining chap tomonidagi kommutatorni ko'rib chiqishning sababi quyidagilar:

Kuzatiladigan narsalar orasidagi kommutator va Agar ularning qo'llab-quvvatlovchilari ajratilgan bo'lsa, nolga teng.

Buning teskarisi ham to'g'ri: agar kuzatiladigan bo'lsa shundayki, uning kommutatori har qanday kuzatiladigan narsaga ega ba'zi bir to'plam tashqarisida qo'llab-quvvatlanadi nolga teng, keyin to'plam ichida qo'llab-quvvatlovchi mavjud .

Ushbu bayonot quyidagi ma'noda ham to'g'ri keladi:[12] ba'zi birlari bor deb taxmin qiling shu kabi ba'zi birlari uchun kuzatilishi mumkin va har qanday kuzatiladigan to'plamdan tashqarida qo'llab-quvvatlanadi . Keyin kuzatiladigan narsa mavjud to'plam ichida qo'llab-quvvatlash bilan Bu kuzatiladigan narsaga yaqinlashadi , ya'ni .

Shunday qilib, Lib-Robinson chegaralari vaqt evolyutsiyasi kuzatilishi mumkin deb aytadi to'plamda qo'llab-quvvatlash bilan a-da qo'llab-quvvatlanadi (haddan tashqari kichik xatolarga qadar) - to'plamning mahallasi , qayerda bilan Lieb-Robinson tezligi bo'lish. Ushbu to'plam tashqarisida hech qanday ta'sir yo'q . Boshqacha qilib aytganda, bu chegara kvant spin tizimlarida bezovtalanish tarqalish tezligi chegaralanganligini tasdiqlaydi.

Lieb-Robinson chegaralarini takomillashtirish

Yilda[13] Robinson cheklanganlikni umumlashtirdi (1) eksponensial ravishda parchalanadigan o'zaro ta'sirlarni (tarjima o'zgarmas bo'lishi kerak emas), ya'ni o'zaro ta'sir kuchi to'plamning diametri bilan eksponent ravishda pasayib ketishini hisobga olgan holda, bu natija batafsil muhokama qilinadi,[14] 6-bob. Xastingsga qadar 2004 yilgacha Lib-Robinson chegaralariga katta qiziqish bildirilmagan[15] ularni Lieb-Shults-Mattis teorema, natijada Nachtergaele va Sims[16] natijalarini kengaytirdi[13] metrikali vertikallarga modellarni kiritish va hosil qilish korrelyatsiyalarning eksponensial yemirilishi. 2005-2006 yillarda Lieb-Robinson chegaralariga bo'lgan qiziqish korrelyatsiyalarning eksponentsial pasayishiga qo'shimcha dasturlar bilan kuchaytirildi (qarang.[2][9][17] va quyidagi bo'limlar). Chegaralarning yangi dalillari ishlab chiqildi va xususan, (1) Hilbert makonining o'lchamidan mustaqil ravishda takomillashtirildi.

Doimiy ravishda yana bir necha takomillashtirish ichida (1) qilingan.[18]2008 yilda Lieb-Robinson bog'langan holda har biriga tegishli bo'lgan holatga qadar kengaytirildi cheksiz o'lchovli.[19]Yilda[19] joyida cheksiz bezovtaliklar Lieb-Robinson chegarasini o'zgartirmasligi ko'rsatildi. Ya'ni, quyidagi shakldagi gamiltoniyaliklarni cheklangan kichik to'plamda ko'rib chiqish mumkin :

qayerda o'zini o'zi bog'laydigan operator , bu chegaralanmasligi kerak.

Garmonik va anharmonik gamiltoniyaliklar

Lib-Robinson chegaralari ma'lum uzluksiz kvant tizimlariga, ya'ni umumiy harmonik Hamiltonga,[19] bu cheklangan hajmda , qayerda musbat tamsayılar bo'lib, quyidagi shaklni oladi:

bu erda davriy chegara shartlari o'rnatiladi va , . Bu yerda ichida kanonik asosli vektorlar mavjud .

Joyida va ko'p joyida bezovtalik bo'lgan anharmonik gamiltoniyaliklar ko'rib chiqildi va ular uchun Lib-Robinson chegaralari chiqarildi,[19][20]Garmonik panjarani yanada umumlashtirish muhokama qilindi,[21][22]

Qaytarib bo'lmaydigan dinamikasi

Lib-Robinson chegaralarining yana bir umumlashtirilishi qaytarilmas dinamikada amalga oshirildi, bu holda dinamika Hamilton qismiga, shuningdek dissipativ qismga ega. Dissipativ qism Lindblad shaklidagi atamalar bilan tavsiflanadi, shuning uchun dinamikasi qondiradi Lindblad-Kossakovskiy asosiy tenglama.

Lib-Robinsonning qaytarilmas dinamikasi uchun chegaralari ko'rib chiqildi[17] klassik kontekstda va tomonidan[23] cheklangan diapazonli o'zaro ta'sirga ega kvant panjarali tizimlar klassi uchun. Lieb-Robinson, hamamiltonian tomonidan yaratilgan, ham kosmosda tezkor parchalanishga ega bo'lgan dissipativ o'zaro ta'sirlar dinamikasiga ega bo'lgan va vaqtga bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan panjara modellari uchun chegaralarni tasdiqladi,[24] Bu erda ular cheksiz dinamikaning mavjudligini to'liq ijobiy xaritalarni saqlaydigan birlikning kuchli uzluksiz sikli sifatida isbotladilar.

Kuch-qonunning o'zaro ta'siri

Lieb-Robinson chegaralari kuch-qudrat sifatida yemiriladigan o'zaro ta'sirlar uchun ham umumlashtirildi, ya'ni o'zaro ta'sir kuchi yuqori chegarada qayerda to'plamning diametri va ijobiy doimiy.[2][25][26][3] Mahalliylikning qonun bilan o'zaro ta'sirida davom etadimi yoki yo'qligini tushunish tuzoqqa tushgan ionlar, Rydberg atomlari, ultrakold atomlari va molekulalari kabi tizimlarga jiddiy ta'sir qiladi.

Axborot faqat doimiy tezlikda harakatlanishi mumkin bo'lgan cheklangan intervalli tizimlardan farqli o'laroq, kuch-qonunchilikning o'zaro ta'siri axborot masofaga qarab ortib boradigan tezlikda harakatlanishiga imkon beradi.[27] Shunday qilib, kuch-qonun ta'sirida bo'lgan Lieb-Robinson chegaralari odatda chegarada asimptotik ravishda chiziqli bo'lgan pastki chiziqli yorug'lik konusini hosil qiladi. Yaqinda o'tkazilgan tahlil[qachon? ] kvant simulyatsiya algoritmidan foydalangan holda yorug'lik konusini nazarda tutgan , qayerda tizimning o'lchamidir.[3] Quvvat va qonunlarning o'zaro ta'siri uchun yorug'lik konusini mahkamlash hali ham faol tadqiqot sohasidir.

Ba'zi ilovalar

Lib-Robinson chegaralari matematik fizikaning ko'plab sohalarida qo'llaniladi. Bog'lanishning asosiy dasturlari orasida kvant simulyatsiya algoritmlarida xatoliklar chegaralari, termodinamik chegaraning mavjudligi, korrelyatsiyalarning eksponensial parchalanishi va Lib-Shuls-Mettis teoremasi mavjud.

Raqamli kvant simulyatsiya algoritmlari

Raqamli kvant simulyatsiyasining maqsadi eng kam elementar kvant eshiklaridan foydalangan holda kvant tizimining dinamikasini simulyatsiya qilishdir. Bilan eng yaqin qo'shni o'zaro aloqa tizimi uchun uning dinamikasini vaqtga taqlid qilib, zarralar yordamida Yolg'on mahsulot formulasi talab qiladi kvant eshiklari. 2018 yilda Haah va boshq.[4] faqat ishlatadigan optimal optimal kvant algoritmini taklif qildi kvant eshiklari. G'oya tizimning dinamikasini uning kichik tizimlari dinamikasi bilan taqqoslashdir, ularning ba'zilari fazoviy ravishda ajratilgan. Yaqinlashuv xatosi asl Lib-Robinson chegarasi bilan chegaralangan. Keyinchalik algoritm kuch-qonun ta'sirida umumlashtiriladi va keyinchalik yanada kuchli Lib-Robinson bog'lanishini olish uchun ishlatiladi.[3]

Dinamikaning termodinamik chegarasi

Katta miqdordagi moddaning xususiyatlarini tavsiflash uchun mo'ljallangan har qanday modelning muhim xususiyatlaridan biri bu termodinamik chegaraning mavjudligi. Bu shuni aytadiki, tizimning ichki xususiyatlari har qanday eksperimental o'rnatishda cheklangan bo'lgan tizimning o'lchamidan qat'iy nazar mustaqil bo'lishi kerak.

Muvozanat nuqtai nazaridan statik termodinamik limit Lib-Robinzon bog'lanishi isbotlanmasdan ancha oldin aniqlandi, qarang.[10] masalan. Ayrim hollarda, ning termodinamik chegarasi mavjudligini aniqlash uchun Lib-Robinson bilan bog'lanish mumkin dinamikasi, , cheksiz panjara uchun cheklangan panjara dinamikasining chegarasi sifatida. Cheklov odatda cheklangan pastki to'plamlarning ko'payib borayotgan ketma-ketligi bo'yicha ko'rib chiqiladi , ya'ni buning uchun , qo'shilish mavjud . Cheksiz dinamikaning mavjudligini isbotlash uchun kuchli uzluksiz, bitta parametrli avtomorfizmlar guruhi sifatida isbotlangan Koshi ketma-ketligi va natijada konvergent. Elementar mulohazalarga ko'ra, termodinamik chegaraning mavjudligi keyin keladi. Termodinamik limit haqida batafsilroq ma'lumotni topish mumkin[28] 6.2-bo'lim.

Robinson birinchi bo'lib eksponensial ravishda parchalanadigan o'zaro ta'sirlar uchun termodinamik chegaraning mavjudligini ko'rsatdi.[13] Keyinchalik, Nachtergaele va boshq.[9][20][24] Yuqoridagi "Lib-Robinson chegaralarini takomillashtirish" bo'limida tasvirlangan deyarli har qanday o'zaro ta'sir turi uchun cheksiz hajm dinamikasi mavjudligini ko'rsatdi.

Korrelyatsiyalarning eksponensial yemirilishi

Ruxsat bering ni belgilang kutish qiymati kuzatiladigan narsalardan davlatda . Ikki kuzatiladigan narsa o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik funktsiyasi va sifatida belgilanadi

Lib-Robinzon chegaralari o'zaro bog'liqlik tizim bilan masofa bo'yicha eksponentsial ravishda yemirilishini ko'rsatish uchun ishlatiladi. degeneratsiyalanmagan asosiy holatdan yuqori energiya oralig'i , qarang.[2][16] Boshqacha qilib aytganda, tengsizlik

kuzatiladigan narsalar uchun ushlab turiladi va to'plamlarda qo'llab-quvvatlash bilan va navbati bilan. Bu yerda va ba'zi bir doimiy

Shu bilan bir qatorda davlat mahsulot holati sifatida qabul qilinishi mumkin, bu holda korrelyatsiyalar asosiy holatdan yuqori energiya oralig'ini hisobga olmagan holda eksponentsial ravishda pasayadi.[9]

Bunday yemirilish relyativistik dinamika uchun uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lgan, ammo faqat Nyuton dinamikasi haqida taxmin qilgan. Lib-Robinson chegaralari relyativistik simmetriyani Hamiltonian bo'yicha mahalliy taxminlar bilan almashtirishga muvaffaq bo'ldi.

Lib-Shults-Mettis teoremasi

Lib-Shults-Mettis teorema shuni anglatadiki, Heisenberg antiferromagnitining izomorfik tagliklari bilan ikki tomonlama panjarada asosiy holati degeneratlanmagan, ya'ni noyob, ammo bo'shliq juda kichik bo'lishi mumkin.[29]

Yagona uzunlikdagi va yarim integral Spin Affleck va Lib bilan bir o'lchovli va kvazi bir o'lchovli tizimlar uchun[30] Lib, Shultz va Mettisning dastlabki natijalarini umumlashtirish,[31] bo'shliq ekanligini isbotladi spektrda asosiy holat yuqorida chegaralangan

qayerda panjaraning kattaligi va doimiy. Ushbu natijani kengaytirishga ko'p urinishlar qilingan yuqori o'lchamlar, ,

Liv-Robinzon bog'langanidan Xastings foydalandi[15] va Nachtergaele-Sims tomonidan[32] yuqori o'lchovli holatlar uchun Lib-Shultz-Mettis teoremasining isboti sifatida bo'shliqning quyidagi chegarasi olingan:

.

Gauss-Quadrature qoidalari orqali doimiylikni diskretlashtirish

2015-yilda, Lieb-Robinson bog'langanligi, shuningdek, hozirgi Hamiltoniyaliklar kontekstidan tashqarida dasturlarga ega bo'lishi mumkinligini ko'rsatdi. The Spin-Boson modeli osilatorlarning doimiyligi bilan birlashtirilgan spinning dinamikasini tavsiflaydi. U juda batafsil o'rganilgan va kvant tizimlarining keng doirasidagi kvant dissipativ ta'sirini tushuntiradi. Ruxsat bering Spin-Boson modelidagi Hamiltoniyani doimiy ravishda bosonik hammom bilan belgilang va hammomni qo'shish uchun ajratilgan Spin-Boson modelini belgilang mos ravishda tanlangan chastotali garmonik osilatorlar Gauss kvadrati qoidalari. Barcha kuzatiladigan narsalar uchun Spin Hamiltonian bo'yicha kutish qiymatidagi xato Spin-Boson modelini diskretlashtirish yo'li bilan yuqoridagi diskretlashtirish sxemasi bo'yicha chegaralangan[33]

 

 

 

 

()

qayerda ijobiy konstantalar va bu holda to'g'ridan-to'g'ri mutanosib bo'lgan Lieb-Robinson tezligi , Spin-Boson modelidagi cho'milishning maksimal chastotasi. Bu erda diskret rejimlarning soni masofa rolini o'ynaydi Quyida keltirilgan tenglama (1). Bundan tashqari, harmonik osilatorlarning mahalliy Fok kosmik kesilishi natijasida kelib chiqadigan xatoni cheklash mumkin[34]

Tajribalar

Lieb-Robinzon tezligini birinchi eksperimental kuzatish Cheno va boshq.[35]

Adabiyotlar

  1. ^ a b v d e Lieb, Elliott H.; Robinson, Derek V. (1972). "Kvant spin tizimlarining cheklangan guruh tezligi". Matematik fizikadagi aloqalar. Springer Science and Business Media MChJ. 28 (3): 251–257. Bibcode:1972CMaPh..28..251L. doi:10.1007 / bf01645779. ISSN  0010-3616. JANOB  0312860. S2CID  122298337.
  2. ^ a b v d e f Xastings, Metyu B.; Koma, Tuxu (2006-04-22). "Spektral bo'shliq va o'zaro bog'liqlikning eksponent o'zgarishi". Matematik fizikadagi aloqalar. 265 (3): 781–804. arXiv:matematik-ph / 0507008. Bibcode:2006CMaPh.265..781H. CiteSeerX  10.1.1.339.9339. doi:10.1007 / s00220-006-0030-4. ISSN  0010-3616. S2CID  7941730.
  3. ^ a b v d e Tran, Min S.; Guo, Endryu Y.; Su, Yuan; Garrison, Jeyms R.; Eldredj, Zakari; Foss-Feyg, Maykl; Childs, Endryu M.; Gorshkov, Aleksey V. (2019). "Joylashuv va qonun bilan o'zaro ta'sirlarning raqamli kvant simulyatsiyasi". Jismoniy sharh X. 9 (3): 031006. arXiv:1808.05225. Bibcode:2019PhRvX ... 9c1006T. doi:10.1103 / PhysRevX.9.031006. PMC  7047884. PMID  32117576.
  4. ^ a b Xax, Jeongvan; Xastings, Metyu B.; Kotari, Robin; Low, Guang Hao (2018-01-11). "Hamiltoniyalik panjaralarning real vaqt evolyutsiyasini simulyatsiya qilishning kvant algoritmi". arXiv:1801.03922 [kv-ph ].
  5. ^ B. Nachtergaele, R. Sims, Nimadir haqida juda ko'p Ado: Lib va ​​Robinson chegaralari nima uchun foydalidir, IAMP News byulleteni, 2010 yil oktyabr, 22-29, (2010)
  6. ^ Klisch, Martin; Gogolin, nasroniy; Eisert, Jens (2014). "Lieb-Robinson chegaralari va panjara tizimlarida mahalliy kuzatuvchilarning vaqt evolyutsiyasini simulyatsiya qilish". Fizika, kimyo va matematikadagi ko'p elektronli yondashuvlar. Matematik fizikani o'rganish MPST. Xam: Springer International Publishing. 301-318 betlar. arXiv:1306.0716. doi:10.1007/978-3-319-06379-9_17. ISBN  978-3-319-06378-2. ISSN  0921-3767. S2CID  119322310.
  7. ^ M. B. Xastings, kvant tizimlaridagi joylashuv, arXiv: 1008.5137
  8. ^ Naaijkens, Pieter (2017), "Cheksiz tizimlar", Cheksiz panjaralarda kvant spin tizimlari, Fizika bo'yicha ma'ruzalar, Cham: Springer International Publishing, 933, 57-108 betlar, doi:10.1007/978-3-319-51458-1_3, ISBN  978-3-319-51456-7
  9. ^ a b v d e Nachtergaele, B .; Ogata, Y .; Sims, R. (2006). "Kvant panjarali tizimlarda korrelyatsiyalarni ko'paytirish". J. Stat. Fizika. 124 (1): 1–13. arXiv:math-ph / 0603064. Bibcode:2006JSP ... 124 .... 1N. doi:10.1007 / s10955-006-9143-6. S2CID  16078056.
  10. ^ a b D. Ruelle, Statistik mexanika. Qattiq natijalar, Benjamin, Nyu-York, 1969 yil
  11. ^ Robinson, Derek V. (1968). "Kvantli spinli tizimlarning statistik mexanikasi. II". Matematik fizikadagi aloqalar. Springer Science and Business Media MChJ. 7 (4): 337–348. Bibcode:1968CMaPh ... 7..337R. doi:10.1007 / bf01646665. ISSN  0010-3616. S2CID  189832252.
  12. ^ Baxman, Sven; Mixalakis, Spiridon; Nachtergaele, Bruno; Sims, Robert (2012). "Kvant panjarali tizimlarning bo'sh fazalari ichidagi avomorfik ekvivalentligi". Matematik fizikadagi aloqalar. 309 (3): 835–871. arXiv:1102.0842. Bibcode:2012CMaPh.309..835B. doi:10.1007 / s00220-011-1380-0. ISSN  0010-3616. S2CID  119608766.
  13. ^ a b v Robinson, Derek V. (1976). "Spin kvant tizimlarining tarqalish xususiyatlari". Avstraliya matematik jamiyati jurnali. B. seriyali Amaliy matematika. Kembrij universiteti matbuoti (CUP). 19 (4): 387–399. doi:10.1017 / s0334270000001260. ISSN  0334-2700.
  14. ^ O. Bratteli, D. V. Robinson, Operator algebralari va kvant statistik mexanikasi, 1ed., Vol. 2, Springer-Verlag, 1981 va 2-nashr, jild. 2, Springer-Verlag, 1997 yil
  15. ^ a b Xastings, M. (2004). "Lieb-Shults-Mattis yuqori o'lchamlarda". Fizika. Vahiy B.. 69 (10): 104431–10444. arXiv:cond-mat / 0305505. Bibcode:2004PhRvB..69j4431H. doi:10.1103 / physrevb.69.104431. S2CID  119610203.
  16. ^ a b Nachtergaele, B .; Sims, R. (2006). "Lib-Robinson chegaralari va eksponentli klasterlash teoremasi". Kommunal. Matematika. Fizika. 265 (1): 119–130. arXiv:matematik-ph / 0506030. Bibcode:2006CMaPh.265..119N. doi:10.1007 / s00220-006-1556-1. S2CID  815023.
  17. ^ a b Xastings, M. B. (2004-09-28). "Panjaralar va tarmoqlarda kvant va markov dinamikasidagi joylashuv". Jismoniy tekshiruv xatlari. 93 (14): 140402. arXiv:cond-mat / 0405587. Bibcode:2004PhRvL..93n0402H. doi:10.1103 / physrevlett.93.140402. ISSN  0031-9007. PMID  15524771. S2CID  13059030.
  18. ^ B. Nachtergaele, R. Sims. Kvant spin tizimlari, Sidoravicius, Vladas (tahr.), Matematik fizikaning yangi tendentsiyalari uchun joylarni taxmin qilish. Matematik fizika bo'yicha XV Xalqaro Kongressning tanlangan hissalari, Springer Verlag, 591-614, (2009)
  19. ^ a b v d Nachtergaele, Bruno; Raz, Xill; Shleyn, Benjamin; Sims, Robert (2008-09-23). "Garmonik va anharmonik panjara tizimlari uchun Lieb-Robinson chegaralari". Matematik fizikadagi aloqalar. Springer Science and Business Media MChJ. 286 (3): 1073–1098. CiteSeerX  10.1.1.249.5761. doi:10.1007 / s00220-008-0630-2. ISSN  0010-3616. S2CID  16722938.
  20. ^ a b Nachtergaele, Bruno; Shleyn, Benjamin; Sims, Robert; Starr, Shennon; Zagrebnov, Valentin (2010). "Anarmonik kvant osilator tizimlarining dinamikasi mavjudligi to'g'risida". Matematik fizikadagi sharhlar. 22 (2): 207–231. arXiv:0909.2249. Bibcode:2010RvMaP..22..207N. doi:10.1142 / s0129055x1000393x. ISSN  0129-055X. S2CID  16305920.
  21. ^ M. Kramer, A. Serafini, J. Eisert, umumiy harmonik kvant tizimlarida dinamikaning joylashishi, arXiv: 0803.0890, (2008)
  22. ^ Jyemann, J .; Kadarso, A .; Peres-Garsiya, D. Bermudez, A .; Garsiya-Ripoll, J. J. (2013-12-06). "Spin-Boson panjara modellari va tuzoqqa tushgan ionlar uchun Lieb-Robinson chegaralari". Jismoniy tekshiruv xatlari. 111 (23): 230404. arXiv:1307.1992. Bibcode:2013PhRvL.111w0404J. doi:10.1103 / physrevlett.111.230404. ISSN  0031-9007. PMID  24476237. S2CID  40468184.
  23. ^ Poulin, Devid (2010-05-11). "General Markovian kvant dinamikasi uchun Lib-Robinson chegarasi va joylashuvi". Jismoniy tekshiruv xatlari. Amerika jismoniy jamiyati (APS). 104 (19): 190401. arXiv:1003.3675. Bibcode:2010PhRvL.104s0401P. doi:10.1103 / physrevlett.104.190401. ISSN  0031-9007. PMID  20866947. S2CID  18911144.
  24. ^ a b B. Nachtergaele, A. Vershynina, V. Zagrebnov, Lieb-Robinson chegaralari va qaytarilmas kvant dinamikasi sinfi uchun termodinamik chegaraning mavjudligi, AMS Contemporary Mathematics, 552, 161-175, (2011)
  25. ^ Gong, Chje-Xuan; Foss-Feyg, Maykl; Mixalakis, Spiridon; Gorshkov, Aleksey V. (2014-07-16). "Quvvat bilan o'zaro ta'sirga ega tizimlarda joylashuvning barqarorligi". Jismoniy tekshiruv xatlari. 113 (3): 030602. arXiv:1401.6174. Bibcode:2014PhRvL.113c0602G. doi:10.1103 / PhysRevLett.113.030602. PMID  25083624. S2CID  14280616.
  26. ^ Foss-Feyg, Maykl; Gong, Chje-Xuan; Klark, Charlz V.; Gorshkov, Aleksey V. (2015-04-13). "Uzoq masofaga ta'sir o'tkazadigan kvant tizimlarida deyarli chiziqli yorug'lik konuslari". Jismoniy tekshiruv xatlari. 114 (15): 157201. arXiv:1410.3466. Bibcode:2015PhRvL.114o7201F. doi:10.1103 / PhysRevLett.114.157201. PMID  25933335. S2CID  13441269.
  27. ^ Eldredj, Zakari; Gong, Chje-Xuan; Yosh, Jeremi T.; Moosavian, Ali Hamed; Foss-Feyg, Maykl; Gorshkov, Aleksey V. (2017-10-25). "Uzoq masofali o'zaro ta'sirlardan foydalangan holda tezkor kvant holatini o'tkazish va chigallashtirishni normalizatsiya qilish". Jismoniy tekshiruv xatlari. 119 (17): 170503. arXiv:1612.02442. Bibcode:2017PhRvL.119q0503E. doi:10.1103 / PhysRevLett.119.170503. PMC  6467282. PMID  29219445.
  28. ^ O. Bratteli, D. V. Robinson, Operator algebralari va kvant statistik mexanikasi, 2 nashr, jild. 2, Springer Verlag, 1997 yil
  29. ^ E. Lieb, D. Mettis, O'zaro aloqada bo'lgan spin zanjirlarida energiya darajalariga buyurtma berish, Journ. Matematika. Fizika. 3.749-751, (1962)
  30. ^ Afflek, Yan; Lieb, Elliott H. (1986). "Haldane gipotezasining aylanma zanjirlarga oid qismining isboti". Matematik fizikadagi harflar. Springer Science and Business Media MChJ. 12 (1): 57–69. Bibcode:1986LMaPh..12 ... 57A. doi:10.1007 / bf00400304. ISSN  0377-9017. S2CID  120567523.
  31. ^ Lib, Elliott; Shultz, Teodor; Mattis, Daniel (1961). "Antiferromagnit zanjirning ikkita eruvchan modeli". Fizika yilnomalari. Elsevier BV. 16 (3): 407–466. Bibcode:1961 yil AnPhy..16..407L. doi:10.1016/0003-4916(61)90115-4. ISSN  0003-4916.
  32. ^ Nachtergaele, Bruno; Sims, Robert (2007-09-09). "Ko'p o'lchovli Lieb-Shults-Mettis teoremasi". Matematik fizikadagi aloqalar. 276 (2): 437–472. arXiv:matematik-ph / 0608046. Bibcode:2007CMaPh.276..437N. doi:10.1007 / s00220-007-0342-z. ISSN  0010-3616. S2CID  16184852.
  33. ^ Vuds, M. P .; Plenio, M. B. (2016). "Gauss kvadrati qoidalari bo'yicha doimiy diskretizatsiya uchun dinamik xatolar chegaralari - Lieb-Robinson bilan bog'langan yondashuv". Matematik fizika jurnali. AIP nashriyoti. 57 (2): 022105. arXiv:1508.07354. Bibcode:2016 yil JMP .... 57b2105W. doi:10.1063/1.4940436. ISSN  0022-2488. S2CID  119256211.
  34. ^ Vuds, M. P .; Kramer, M .; Plenio, M. B. (2015-09-22). "Boson hammomlarini xato panjaralari bilan simulyatsiya qilish". Jismoniy tekshiruv xatlari. 115 (13): 130401. arXiv:1504.01531. Bibcode:2015PhRvL.115m0401W. doi:10.1103 / physrevlett.115.130401. ISSN  0031-9007. PMID  26451538. S2CID  3054665.
  35. ^ Cheno, Mark; Barmettler, Piter; Poletti, Dario; Endres, Manuel; Schauss, Piter; va boshq. (2012). "Ko'p tanali kvantlar tizimidagi korrelyatsiyalarning nurli konusga o'xshash tarqalishi". Tabiat. 481 (7382): 484–487. arXiv:1111.0776. Bibcode:2012 yil natur.481..484C. doi:10.1038 / tabiat 1077. ISSN  0028-0836. PMID  22281597. S2CID  4300657.