O'rtacha hisoblash usuli - Method of averaging - Wikipedia

Yilda matematika, aniqrog'i dinamik tizimlar, o'rtacha hisoblash usuli (shuningdek, o'rtacha nazariya deb ataladi) vaqt o'lchovlarini ajratishni o'z ichiga olgan tizimlardan foydalanadi: a tez tebranish ga qarshi a sekin siljish. Tez tebranishlarni dazmollash va natijada paydo bo'layotgan dinamikadan sifatli xulq-atvorni kuzatish uchun ma'lum vaqt davomida o'rtacha hisoblashni amalga oshirishni taklif qiladi. Yaqinlashtirilgan eritma sekin vaqt o'lchovini ko'rsatadigan parametrga teskari proportsional bo'lgan cheklangan vaqt ichida ushlab turiladi. Bu odatiy muammo bo'lib chiqadi, bu erda taxminiy echimning asl echimga yaqin bo'lishi uchun qancha vaqt sarflanishi bilan muvozanatlanganligi o'rtasidagi kelishuv mavjud.

Aniqrog'i, tizim quyidagi shaklga ega

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon f (x, t, varepsilon), quad 0 leq varepsilon ll 1}

fazali fazoviy o'zgaruvchining

{ displaystyle x.}

The tez tebranish tomonidan berilgan

{ displaystyle f}

ga qarshi a sekin siljish ning

{ displaystyle { dot {x}}}

. O'rtacha usul avtonom dinamik tizimni beradi

{ displaystyle quad { dot {y}} = varepsilon { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} f (y, s, 0) ~ ds =: varepsilon { bar {f}} (y)}

echim egri chiziqlariga yaqinlashadigan

{ displaystyle { dot {x}}}

faza makonining bog'langan va ixcham mintaqasi ichida va vaqt o'tishi bilan

{ displaystyle 1 / varepsilon}

.

Ushbu o'rtacha texnikaning haqiqiyligi ostida, asl tizimning asimptotik xatti-harakati dinamik tenglama bilan olingan ${ displaystyle y}$ . Shu tarzda, tahlil qilish uchun avtonom dinamik tizimlar uchun sifatli usullardan foydalanish mumkin muvozanat va shunga o'xshash yanada murakkab tuzilmalar sekin manifold va o'zgarmas manifoldlar, shuningdek, ularning barqarorlik o'rtacha tizimning faza maydonida.

Bunga qo'shimcha ravishda, fizikaviy dasturda matematik modelni almashtirish mantiqiy yoki tabiiy bo'lishi mumkin, bu uchun tenglama tenglamasi shaklida berilgan ${ displaystyle { dot {x}}}$ , mos keladigan o'rtacha tizim bilan ${ displaystyle { dot {y}}}$ , bashorat qilish uchun o'rtacha tizimdan foydalanish va keyin fizik eksperiment natijalariga ko'ra prognozni sinab ko'rish uchun.^[1]

O'rtacha hisoblash usuli chuqur ildiz otgan uzoq tarixga ega bezovtalanish paydo bo'lgan muammolar samoviy mexanika (qarang, masalan ^[2]).

Birinchi misol

Shakl 1: Bezovta qilingan logistik o'sish tenglamasini echish

{ displaystyle { nuqta {x}} = varepsilon (x (1-x) + sin {t}) ~ x in mathbb {R}, ~ varepsilon = 0.05}

(ko'k qattiq chiziq) va o'rtacha tenglama

{ displaystyle { nuqta {y}} = varepsilon y (1-y), ~ y in mathbb {R}}

(to'q sariq rangli qattiq chiziq).

Xafa bo'lganlarni ko'rib chiqing logistik o'sish

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon (x (1-x) + sin {t}) quad quad x in mathbb {R}, quad 0 leq varepsilon ll 1,}

va o'rtacha tenglama

{ displaystyle quad { nuqta {y}} = varepsilon y (1-y) qquad y in mathbb {R}.}

O'rtacha hisoblash usulining maqsadi - ma'lum vaqt oralig'ida o'rtacha vektor maydonining sifatli harakatini aytib berish. Bu hal qilinishini kafolatlaydi

{ displaystyle y (t)}

taxminiy

{ displaystyle x (t)}

marta

{ displaystyle t = { mathcal {O}} (1 / varepsilon).}

Istisno: bu misolda yaqinlashish yanada yaxshi, u hamma vaqt uchun amal qiladi. Biz uni quyidagi bo'limda taqdim etamiz.

Ta'riflar

Biz vektor maydonini qabul qilamiz ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} times mathbb {R} to mathbb {R} ^ {n}}$ bo'lish farqlash darajasi ${ displaystyle C ^ {r}}$ bilan ${ displaystyle r geq 2}$ (yoki hatto biz faqat silliq deymiz), biz buni belgilaymiz ${ displaystyle f in C ^ {r} ( mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} times mathbb {R} ^ {+}; mathbb {R} ^ {n}) }$ . Ushbu vaqtga bog'liq bo'lgan vektor maydonini Teylorda kengaytiramiz (buyurtmalar bo'yicha) ${ displaystyle varepsilon}$ ) qoldiq bilan. Biz quyidagi yozuvlarni kiritamiz:^[2]

{ displaystyle quad f (x, t, varepsilon) = f ^ {0} (x, t) + varepsilon f ^ {1} (x, t) + dots + varepsilon ^ {k} f ^ {k} (x, t) + varepsilon ^ {k + 1} f ^ {[k + 1]} (x, t, varepsilon),}

qayerda ${ displaystyle f ^ {j} = { frac {f ^ {(j)} (x, t, 0)} {j!}}}$ bo'ladi ${ displaystyle j}$ - bilan hosila ${ displaystyle 0 leq j leq k}$ . Umuman olganda o'rtacha muammolarni tashvishga solayotganimiz sababli ${ displaystyle f ^ {0} (x, t)}$ nolga teng, shuning uchun biz tomonidan berilgan vektor maydonlari bizni qiziqtiradi

{ displaystyle quad f (x, t, varepsilon) = varepsilon f ^ {[1]} (x, t, varepsilon) = varepsilon f ^ {1} (x, t) + varepsilon ^ { 2} f ^ {[2]} (x, t, varepsilon).}

Bundan tashqari, biz quyidagi boshlang'ich qiymat muammosini aniqlaymiz standart shakl:^[2]

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon f ^ {1} (x, t) + varepsilon ^ {2} f ^ {[2]} (x, t, varepsilon), qquad x (0, varepsilon) =: x_ {0} in D subseteq mathbb {R} ^ {n}, quad 0 leq varepsilon ll 1.}

Teorema: davriy holatda o'rtacha

Har bir narsani ko'rib chiqing ${ displaystyle D subset mathbb {R} ^ {n}}$ bog'liq va chegaralangan va har bir ${ displaystyle varepsilon _ {0}> 0}$ bor ${ displaystyle L> 0}$ va ${ displaystyle varepsilon leq varepsilon _ {0}}$ tomonidan berilgan asl tizim (avtonom bo'lmagan dinamik tizim)

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon f ^ {1} (x, t) + varepsilon ^ {2} f ^ {[2]} (x, t, varepsilon), qquad x_ {0} in D subseteq mathbb {R} ^ {n}, quad 0 leq varepsilon ll 1,}

echim bor

{ displaystyle x (t, varepsilon)}

, qayerda

{ displaystyle f ^ {1} in C ^ {r} (D times mathbb {R}; mathbb {R} ^ {n})}

bu davriy davr bilan

{ displaystyle T}

va

{ displaystyle f ^ {[2]} C ^ {r} da (D times mathbb {R} times mathbb {R} ^ {+}; mathbb {R} ^ {n})}

ikkalasi bilan

{ displaystyle r geq 2}

cheklangan to'plamlar bilan chegaralangan. Keyin doimiy mavjud

{ displaystyle c> 0}

shunday qilib hal qilish

{ displaystyle y (t, varepsilon)}

ning o'rtacha tizim (avtonom dinamik tizim) bu

{ displaystyle quad { dot {y}} = varepsilon { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} f ^ {1} (y, s) ~ ds =: varepsilon { bar {f}} ^ {1} (y), quad y (0, varepsilon) = x_ {0}}

bu

{ displaystyle quad | x (t, varepsilon) -y (t, varepsilon) |

uchun

{ displaystyle 0 leq varepsilon leq varepsilon _ {0}}

va

{ displaystyle 0 leq t leq L / varepsilon}

.

Izohlar

Bunda deyilgan ikkita taxminiy ko'rsatkich mavjud birinchi taxmin taxmin: vektor maydonining o'rtacha qiymatiga kamayishi va ning beparvoligi ${ displaystyle { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2})}$ shartlar.
Dastlabki shartga nisbatan bir xillik ${ displaystyle x_ {0}}$ : agar biz farq qilsak ${ displaystyle x_ {0}}$ bu taxmin qilishga ta'sir qiladi ${ displaystyle L}$ va ${ displaystyle c}$ . Buning isboti va muhokamasini J. Murdokning kitobida topish mumkin.^[3]
Muntazamlikni kamaytirish: bu teoremaning faqat umumiy talab qiladigan umumiy shakli mavjud ${ displaystyle f ^ {1}}$ bolmoq Lipschits va ${ displaystyle f ^ {[2]}}$ davomiy. Bu so'nggi dalil va uni Sandersda ko'rish mumkin va boshq..^[2] Bu erda keltirilgan teorema bayonoti tomonidan taklif qilingan dalil doirasi tufayli Krilov-Bogoliubov bu identifikatsiyaga yaqin transformatsiyani joriy etishga asoslangan. Ushbu usulning afzalligi cheksiz o'lchovli tizimlar - qisman differentsial tenglama yoki kechikish differentsial tenglamalari kabi umumiy sozlamalarni kengaytirishdir.
J. Xeyl deyarli davriy vektor maydonlariga umumlashtirishlarni taqdim etadi.^[4]

Isbotlash strategiyasi

Krilov-Bogoliubov tizimning sekin dinamikasi asimptotik eritmaning etakchi tartibini belgilashini tushundi.

Buni isbotlash uchun ular taklif qildilar shaxsni o'zgartirish, bu koordinatalarning o'zgarishi bo'lib, o'ziga xos vaqt koeffitsienti bilan dastlabki tizimni o'rtacha tizimga o'zgartiradi.

Dalilning eskizi

Identifikatsiyaga yaqin o'zgarishni aniqlash: silliq xaritalash ${ displaystyle y mapsto U (y, t, varepsilon) = y + varepsilon u ^ {[1]} (y, t, varepsilon)}$ qayerda ${ displaystyle u ^ {[1]}}$ etarlicha muntazam va deb taxmin qilinadi ${ displaystyle T}$ davriy. Taklif qilinayotgan koordinatalarning o'zgarishi quyidagicha berilgan ${ displaystyle x = U (y, t, varepsilon)}$ .
Tegishli narsani tanlang ${ displaystyle u ^ {[1]}}$ hal qilish homologik tenglama o'rtacha nazariya: ${ displaystyle { frac { kısmi u ^ {[1]}} { qismli t}} = f ^ {1} (y, t) - { bar {f}} ^ {1} (y)}$ .
Koordinatalarning o'zgarishi asl tizimni olib keladi ${ displaystyle { dot {y}} = varepsilon { bar {f}} ^ {1} (y) + varepsilon ^ {2} f _ {*} ^ {[2]} (y, t, varepsilon).}$
Qisqartirish va dastlabki o'zgaruvchiga taqqoslash sababli xatoni baholash.

Avtonom bo'lmagan tizimlar sinfi: ko'proq misollar

O'rtacha texnikaning rivojlanish tarixi davomida biz quyida muhokama qiladigan mazmunli misollarni keltiradigan keng qamrovli o'rganilgan tizim sinfi mavjud. Tizim sinfi quyidagicha berilgan:

{ displaystyle quad { ddot {z}} + z = varepsilon g (z, { dot {z}}, t), qquad z in mathbb {R}, quad z (0) = z_ {0} ~ mathrm {and} ~ { dot {z}} (0) = v_ {0},}

qayerda ${ displaystyle g}$ silliq. Ushbu tizim tomonidan berilgan kichik chiziqli bo'lmagan bezovtalik bilan chiziqli tizimga o'xshaydi ${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 varepsilon ~ g (z, { dot {z}}, t) end {bmatrix}}}$ :

{ displaystyle quad { begin {aligned} { dot {z_ {1}}} & = z_ {2}, & z_ {1} (0) & = z_ {0} { dot {z_ {2) }}} & = - z_ {1} + varepsilon g (z_ {1}, z_ {2}, t), & z_ {2} (0) & = v_ {0}, end {hizalangan}}}

standart shakldan farq qiladi. Shuning uchun transformatsiyani standart shaklda aniq bajarish uchun amalga oshirish zarurati tug'iladi.^[2] Biz yordamida koordinatalarni o'zgartirishimiz mumkin konstantalarning o'zgarishi usul. Biz bezovtalanmagan tizimga qaraymiz, ya'ni.

{ displaystyle varepsilon = 0}

, tomonidan berilgan

{ displaystyle { begin {bmatrix} { dot {z_ {1}}} { dot {z_ {2}}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} z_ {1} z_ {2} end {bmatrix}} = A { begin {bmatrix} z_ {1} z_ {2} end {bmatrix} }}

ega bo'lgan asosiy echim ${ displaystyle Phi (t) = e ^ {At}}$ burilishga mos keladi. Keyin koordinatalarning vaqtga bog'liq o'zgarishi ${ displaystyle z (t) = Phi (t) x}$ qayerda ${ displaystyle x}$ standart shaklga muvofiq koordinatalar.

Agar biz har ikkala tomonning vaqt hosilasini olsak va biz olgan asosiy matritsani teskari tomonga aylantirsak

${ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon e ^ {- At} { begin {bmatrix} 0 ~ { tilde {g}} (x, { dot {x}}, t ) end {bmatrix}} ~ { text {with}} ~ { tilde {g}} (x, { nuqta {x}}, t) = g ( cos (t) x (t) + sin (t) { nuqta {x}} (t), - sin (t) x (t) + cos (t) { nuqta {x}} (t), t).}$

Izohlar

Xuddi shu narsa vaqtga bog'liq chiziqli qismlarga nisbatan ham amalga oshirilishi mumkin. Garchi asosiy echim aniq yozish uchun ahamiyatsiz bo'lishi mumkin bo'lsa-da, protsedura o'xshash. Sanders-ga qarang va boshq. ^[2] batafsil ma'lumot uchun.
Agar o'z qiymatlari ${ displaystyle A}$ barchasi shunchaki xayoliy emas, deyiladi giperbolik holat. Shu sababli, bezovtalanish tenglamasi ba'zi bir jiddiy muammolarni keltirib chiqarishi mumkin ${ displaystyle g}$ cheklangan, chunki eritma tez sur'atlar bilan o'sib boradi.^[2] Biroq, sifat jihatidan biz, masalan, asimptotik echimni bilishimiz mumkin Xartman-Grobman natijalar va boshqalar.^[1]
Ba'zida ishlashni osonlashtiradigan standart shakllarni olish uchun biz koordinatalar to'plamini - qutb koordinatalarini belgilaydigan aylanadigan mos yozuvlar ramkasini tanlashimiz mumkin. ${ displaystyle z_ {1} = r sin (t- phi) ~ mathrm {and} ~ z_ {2} = r cos (t- phi)}$ bu dastlabki holatni belgilaydi ${ displaystyle (r (0), phi (0))}$ shuningdek tizimni belgilaydi:

{ displaystyle quad { begin {bmatrix} { dot {r}} { dot { phi}} end {bmatrix}} = varepsilon { begin {bmatrix} cos (t- phi) ) g (r sin (t- phi), r cos (t- phi), t) { frac {1} {r}} sin (t- phi) g (r sin) (t- phi), r cos (t- phi), t) end {bmatrix}}.}

Agar

{ displaystyle g C ^ {1}} da

biz kelib chiqadigan mahalla chiqarib tashlangan ekan, uni o'rtacha hisoblaymiz (qutb koordinatalari ishlamay qolganligi sababli) hosil bo'ladi:

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { bar {f}} _ {1} ^ {1} (r) = { frac {1} {2 pi}} int _ {0 } ^ {2 pi} cos (s- phi) g (r sin (s- phi), r cos (s- phi), s) ds { bar {f}} _ {2} ^ {1} (r) = { frac {1} {2 pi r}} int _ {0} ^ {2 pi} sin (s- phi) g (r sin () s- phi), r cos (s- phi), s) ds, end {massiv}}}

o'rtacha tizim qaerda

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { dot { bar {r}}} = varepsilon { bar {f}} _ {1} ^ {1} ({ bar {r}) }) { dot { bar { phi}}} = varepsilon { bar {f}} _ {2} ^ {1} ({ bar {r}}) end {array}}. }

Misol: o'rtacha natijalarni chalg'ituvchi

Shakl 2: tomonidan berilgan kichik davriy sönümleme muddati bilan oddiy harmonik osilatör

{ displaystyle { ddot {z}} + 4 varepsilon cos ^ {2} {(t)} { nuqta {z}} + z = 0, ~ z (0) = 0, ~ { nuqta { z}} (0) = 1; ~ varepsilon = 0.05}

.Asli tenglamaning raqamli simulyatsiyasi (ko'k qattiq chiziq) o'rtacha tizim (to'q sariq chiziqli chiziq) va xom o'rtacha tizim (yashil chiziqli nuqta) bilan taqqoslanadi. Chap uchastka vaqt ichida rivojlangan echimni aks ettiradi va o'ng uchastka faza makonida aks etadi. Shuni ta'kidlaymizki, o'rtacha xom ashyo kutilgan echim bilan rozi emas.

Usul ba'zi taxminlar va cheklovlarni o'z ichiga oladi. Ushbu cheklovlar standart formada bo'lmagan asl tenglamani o'rtachalashtirganda va uning misolini muhokama qilishda muhim rol o'ynaydi. Ushbu shoshilinch o'rtacha qiymatdan xalos bo'lish uchun quyidagi misol:^[2]

{ displaystyle quad { ddot {z}} + 4 varepsilon cos ^ {2} {(t)} { dot {z}} + z = 0, quad quad z (0) = 0, quad { nuqta {z}} (0) = 1,}

qaerga qo'ydik

{ displaystyle g (z, { nuqta {z}}, t) = - 4 cos ^ {2} (t) { nuqta {z}}}

oldingi yozuvdan keyin.

Ushbu tizimlar a ga to'g'ri keladi namlangan harmonik osilator bu erda amortizatsiya atamasi tebranadi ${ displaystyle 0}$ va ${ displaystyle 4 varepsilon}$ . Ning bir tsikli davomida ishqalanish davrini o'rtacha hisoblash ${ displaystyle 2 pi}$ tenglamani beradi:

{ displaystyle quad { ddot { bar {z}}} + 2 varepsilon { dot { bar {z}}} + { bar {z}} = 0, quad quad { bar { z}} (0) = 0, quad { dot { bar {z}}} (0) = 1.}

Yechim

{ displaystyle { bar {z}} (t) = { frac {1} {(1- varepsilon ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}} e ^ {- varepsilon t} sin {((1- varepsilon ^ {2}) ^ { frac {1} {2}} t)}.}

kelib chiqishiga yaqinlik darajasi

{ displaystyle varepsilon}

. Standart shakldan olingan o'rtacha tizim quyidagilarni beradi:

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { dot { bar {r}}} = - { frac {1} {2}} varepsilon { bar {r}} (2+ ) cos (2 { bar { phi}})), ~ { bar {r}} (0) = 1 { dot { bar { phi}}} = { frac {1} {2 }} varepsilon sin (2 { bar { phi}}), ~ { bar { phi}} (0) = 0, end {array}}}

bu to'rtburchaklar koordinatada, aslida kelib chiqishga yaqinlashish tezligi aniq ko'rsatilgan

{ displaystyle { frac {3} {2}} varepsilon}

oldingi o'rtacha o'rtacha tizimdan farq qiladi:

{ displaystyle quad y (t) = e ^ {- { frac {3} {2}} varepsilon t} sin {t}}

Misol: Van der Pol tenglamasi

3-rasm: Van der Pol osilatorining fazaviy maydoni

{ displaystyle varepsilon = 0.1}

. Tizimdagi barqaror chegara tsikli (to'q sariq rangli qattiq chiziq) o'rtacha tizimning sifatli tahlili bilan to'g'ri ushlanadi. Ikki xil boshlang'ich sharoitda (qora nuqta) biz traektoriyalarni kuzatamiz. (Chiziqli ko'k chiziq) davriy orbitaga yaqinlashadi.

Van der Pol ushbu turdagi tenglamalar uchun taxminiy echim topish bilan shug'ullangan

{ displaystyle quad { ddot {z}} + varepsilon (1-z ^ {2}) { nuqta {z}} + z = 0,}

qayerda

{ displaystyle g (z, { nuqta {z}}, t) = (1-z ^ {2}) { nuqta {z}}}

oldingi yozuvdan keyin. Ushbu tizim nomlangan Van der Pol osilatori. Agar biz ushbu nochiziqli osilatorga davriy o'rtacha qiymatni qo'llasak, bu bizga tizimni aniq echmasdan fazalar fazosi to'g'risida sifatli bilim beradi.

O'rtacha tizim

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { dot { bar {r}}} = { frac {1} {2}} varepsilon { bar {r}} (1 - { frac {1} {4}} { bar {r}} ^ {2}) { dot { bar { phi}}} = 0, end {array}}}

va biz belgilangan nuqtalarni va ularning barqarorligini tahlil qilishimiz mumkin. Boshida barqaror bo'lmagan sobit nuqta va tomonidan ko'rsatilgan barqaror chegara aylanishi mavjud

{ displaystyle { bar {r}} = 2}

.

Bunday barqaror limit-tsiklning mavjudligini teorema sifatida ko'rsatish mumkin.

Teorema (davriy orbitaning mavjudligi)^[5]: Agar ${ displaystyle p_ {0}}$ ning giperbolik sobit nuqtasidir

{ displaystyle quad { dot {y}} = varepsilon { bar {f}} ^ {1} (y)}

Keyin mavjud

{ displaystyle varepsilon _ {0}> 0}

hamma uchun shunday

{ displaystyle 0 < varepsilon < varepsilon _ {0}}

,

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon f ^ {1} (x, t) + varepsilon ^ {2} f ^ {[2]} (x, t, varepsilon)}

noyob giperbolik davriy orbitaga ega

{ displaystyle gamma _ { varepsilon} (t) = p_ {0} + { mathcal {O}} ( varepsilon)}

bilan bir xil barqarorlik turiga ega

{ displaystyle p_ {0}}

.

Dalilni Gukkenxaymer va Xolmsda topish mumkin,^[5] Sanders va boshq. ^[2] va Chikonedagi burchakli holat uchun.^[1]

Misol: vaqt oralig'ini cheklash

4-rasm: O'rtacha texnikaga asoslangan ikkita asosiy miqdor tasvirlangan: chegaralangan va bog'langan mintaqa

{ displaystyle D}

faza fazosi va qancha vaqt (doimiy bilan belgilanadi

{ displaystyle c}

) o'rtacha echim haqiqiydir. Bu holda,

{ textstyle { ddot {z}} + z = 8 varepsilon cos {(t)} { dot {z}} ^ {2}, ~ z (0) = 0, ~ { dot {z} } (0) = 1; ~ 8 varepsilon = { frac {2} {15}}}

. E'tibor bering, ikkala echim ham cheklangan vaqt ichida portlaydi. Shuning uchun,

{ displaystyle D}

eritmaning chegaralanishini saqlab qolish uchun mos ravishda tanlangan va yaqinlashuvning amal qilish vaqt oralig'i

{ displaystyle 0 leq varepsilon t

.

O'rtacha teorema bog'liq va chegaralangan mintaqaning mavjudligini nazarda tutadi ${ displaystyle D subset mathbb {R} ^ {n}}$ bu vaqt oralig'iga ta'sir qiladi ${ displaystyle L}$ natijaning haqiqiyligi. Quyidagi misol buni ta'kidlaydi. Ni ko'rib chiqing

{ displaystyle quad { ddot {z}} + z = 8 varepsilon cos {(t)} { dot {z}} ^ {2}, ~ z (0) = 0, ~ { dot { z}} (0) = 1,}

qayerda

{ displaystyle g (z, { dot {z}}, t) = 8 { nuqta {z}} ^ {2} cos (t)}

. O'rtacha tizim quyidagilardan iborat

{ displaystyle quad { begin {array} {lcr} { dot { bar {r}}} = 3 varepsilon { bar {r}} ^ {2} cos ({ bar { phi}) }), ~ { bar {r}} (0) = 1 { dot { bar { phi}}} = - varepsilon { bar {r}} sin ({ bar { phi) }}), ~ { bar { phi}} (0) = 0, end {array}}}

bu dastlabki sharoitda asl echim o'zini tutishini bildiradi

{ displaystyle quad z (t) = { frac { sin (t)} {1-3 varepsilon t}} + { mathcal {O}} ( varepsilon),}

u cheklangan mintaqada joylashgan

{ displaystyle 0 leq varepsilon t leq L <{ frac {1} {3}}}

.

Sönümlü sarkaç

A ni ko'rib chiqing sönümlü sarkaç uning to'xtatib turish nuqtasi vertikal ravishda kichik amplituda, yuqori chastotali signal bilan tebranadi (bu odatda shunday ma'lum) ditering ). Bunday mayatnik uchun harakat tenglamasi quyidagicha berilgan

${ displaystyle m (l { ddot { theta}} - ak omega ^ {2} sin omega t sin theta) = - mg sin theta -k (l { dot { theta}) } + a omega cos omega t sin theta)}$

qayerda ${ displaystyle a sin omega t}$ osma nuqtasining harakatini tavsiflaydi, ${ displaystyle k}$ sarkacın sönümlenmesini tasvirlaydi va ${ displaystyle theta}$ vertikal bilan sarkac tomonidan qilingan burchakdir.

The fazaviy bo'shliq ushbu tenglamaning shakli quyidagicha berilgan

${ displaystyle { begin {aligned} { dot {t}} & = 1 { dot { theta}} & = p { dot {p}} & = { frac {1} { ml}} (mak omega ^ {2} sin omega t sin theta -mg sin theta -k (lp + a omega cos omega t sin theta)) end {hizalangan} }}$

bu erda biz o'zgaruvchini kiritdik ${ displaystyle p}$ va tizimni avtonom, birinchi tartibli tizim ${ displaystyle (t, theta, p)}$ - bo'shliq.

Vertikal tebranishlarning burchak chastotasi, ${ displaystyle omega}$ , sarkacın tabiiy chastotasidan ancha katta, ${ displaystyle { sqrt {g / l}}}$ . Aytaylik, vertikal tebranishlarning amplitudasi, ${ displaystyle a}$ , uzunlikdan ancha kam ${ displaystyle l}$ mayatnik. Mayatnikning faza fazasidagi traektoriyasi a ni aniqlaydi spiral egri chiziq atrofida ${ displaystyle C}$ , bo'ylab harakatlanmoqda ${ displaystyle C}$ sekin sur'atlarda ${ displaystyle { sqrt {g / l}}}$ lekin uning atrofida tez sur'atlarda harakat qilish ${ displaystyle omega}$ . Atrofdagi spiral radiusi ${ displaystyle C}$ kichik va mutanosib bo'ladi ${ displaystyle a}$ . Vaqt shkalasi bo'yicha traektoriyaning o'rtacha harakati ${ displaystyle 2 pi / omega}$ , egri chiziqqa rioya qilish bo'ladi ${ displaystyle C}$ .

Kengaytishda xatolarni taxmin qilish

Dastlabki qiymat muammolari uchun o'rtacha texnikaga buyurtmaning xatolik baholari bilan ishlov berilgan ${ displaystyle 1 / varepsilon}$ . Shu bilan birga, baholar keyingi vaqtlarga, hatto har doimgidek uzaytirilishi mumkin bo'lgan holatlar mavjud.^[2] Quyida biz asimptotik barqaror sobit nuqtani o'z ichiga olgan tizim bilan shug'ullanamiz. Bunday holat 1-rasmda tasvirlangan narsalarni takrorlaydi.

Teorema (Ekxauz) ^[6]/ Sanches-Palensiya ^[7]) Dastlabki qiymat muammosini ko'rib chiqing

{ displaystyle quad { dot {x}} = varepsilon f ^ {1} (x, t), qquad x_ {0} in D subseteq mathbb {R} ^ {n}, quad 0 leq varepsilon ll 1.}

Aytaylik

{ displaystyle quad { dot {y}} = varepsilon lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} f ^ {1} (y, s) ~ ds =: varepsilon { bar {f}} ^ {1} (y), quad y (0, varepsilon) = x_ {0}}

mavjud va unda asimptotik barqaror sobit nuqta mavjud

{ displaystyle y = 0}

chiziqli yaqinlashishda. Bundan tashqari,

{ displaystyle { bar {f}} ^ {1}}

ga nisbatan doimiy ravishda farqlanadi

{ displaystyle y}

yilda

{ displaystyle D}

va diqqatga sazovor joylarga ega

{ displaystyle D ^ {0} subset D}

. Har qanday ixcham uchun

{ displaystyle K subset D ^ {0}}

mavjud a

{ displaystyle c> 0}

hamma uchun shunday

{ displaystyle a in K}

{ displaystyle quad | x (t) -y (t) | = { mathcal {O}} ( delta ( varepsilon)), quad 0 leq t < infty,}

bilan ${ displaystyle delta ( varepsilon) = o (1)}$ umumiy holatda va ${ displaystyle { mathcal {O}} ( varepsilon)}$ davriy holatda.

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v Charlz., Chikone, Karmen (2006). Ilovalar bilan oddiy differentsial tenglamalar (2-nashr). Nyu-York: Springer. ISBN 9780387307695. OCLC 288193020.
^ ^a ^b ^v ^d ^e ^f ^g ^h ^men ^j Sanders, Yan A .; Verxulst, Ferdinand; Murdock, Jeyms (2007). Lineer bo'lmagan dinamik tizimlarda o'rtacha usullar. Amaliy matematika fanlari. 59. doi:10.1007/978-0-387-48918-6. ISBN 978-0-387-48916-2.
^ A., Merdok, Jeyms (1999). Uyqusizlik: nazariya va usullar. Filadelfiya: Sanoat va amaliy matematika jamiyati. ISBN 978-0898714432. OCLC 41612407.
^ K., Xeyl, Jek (1980). Oddiy differensial tenglamalar (2-nashr). Xantington, NY: R.E. Krieger Pub. Co. ISBN 978-0898740110. OCLC 5170595.
^ ^a ^b Gukkenxaymer, Jon; Xolms, Filipp (1983). Vektorli maydonlarning chiziqli bo'lmagan tebranishlari, dinamik tizimlari va bifurkatsiyalari. Amaliy matematika fanlari. 42. doi:10.1007/978-1-4612-1140-2. ISBN 978-1-4612-7020-1. ISSN 0066-5452.
^ Ekxaus, Viktor (1975-03-01). "Lineer bo'lmagan tebranishlar va to'lqinlarning tarqalishining asimptotik nazariyasiga yangi yondashuv". Matematik tahlil va ilovalar jurnali. 49 (3): 575–611. doi:10.1016 / 0022-247X (75) 90200-0. ISSN 0022-247X.
^ Sanches-Palencia, Enrike (1976-01-01). "Methode de centrage-taxmin de l'erreur et comportement des trajectoires dans l'espace des phases". Lineer bo'lmagan mexanikaning xalqaro jurnali. 11 (4): 251–263. Bibcode:1976IJNLM..11..251S. doi:10.1016/0020-7462(76)90004-4. ISSN 0020-7462.

[:1-1] v Charlz., Chikone, Karmen (2006). Ilovalar bilan oddiy differentsial tenglamalar (2-nashr). Nyu-York: Springer. ISBN 9780387307695. OCLC 288193020.

[:0-2] v ^d ^e ^f ^g ^h ^men ^j Sanders, Yan A .; Verxulst, Ferdinand; Murdock, Jeyms (2007). Lineer bo'lmagan dinamik tizimlarda o'rtacha usullar. Amaliy matematika fanlari. 59. doi:10.1007/978-0-387-48918-6. ISBN 978-0-387-48916-2.

[3] A., Merdok, Jeyms (1999). Uyqusizlik: nazariya va usullar. Filadelfiya: Sanoat va amaliy matematika jamiyati. ISBN 978-0898714432. OCLC 41612407.

[4] K., Xeyl, Jek (1980). Oddiy differensial tenglamalar (2-nashr). Xantington, NY: R.E. Krieger Pub. Co. ISBN 978-0898740110. OCLC 5170595.

[:2-5] Gukkenxaymer, Jon; Xolms, Filipp (1983). Vektorli maydonlarning chiziqli bo'lmagan tebranishlari, dinamik tizimlari va bifurkatsiyalari. Amaliy matematika fanlari. 42. doi:10.1007/978-1-4612-1140-2. ISBN 978-1-4612-7020-1. ISSN 0066-5452.

[6] Ekxaus, Viktor (1975-03-01). "Lineer bo'lmagan tebranishlar va to'lqinlarning tarqalishining asimptotik nazariyasiga yangi yondashuv". Matematik tahlil va ilovalar jurnali. 49 (3): 575–611. doi:10.1016 / 0022-247X (75) 90200-0. ISSN 0022-247X.

[7] Sanches-Palencia, Enrike (1976-01-01). "Methode de centrage-taxmin de l'erreur et comportement des trajectoires dans l'espace des phases". Lineer bo'lmagan mexanikaning xalqaro jurnali. 11 (4): 251–263. Bibcode:1976IJNLM..11..251S. doi:10.1016/0020-7462(76)90004-4. ISSN 0020-7462.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]