Matematikada a Minkovskiy samolyoti (nomi bilan Hermann Minkovskiy ) biri Benz samolyotlari (boshqalari mavjud Möbius samolyoti va Laguer samolyoti ).
Minkovski klassik samolyoti
klassik Minkovskiy tekisligi: 2d / 3d-model
Qo'llash psevdoevklid masofa
ikki nuqta bo'yicha
(evklid masofasi o'rniga) ning geometriyasini olamiz giperbolalar, chunki psevdoevklid doirasi
a giperbola o'rta nuqta bilan
.
Koordinatalarni o'zgartirish orqali
,
, psevdoevklid masofasini quyidagicha yozish mumkin
. Keyin giperbolalar mavjud asimptotlar astarlanmagan koordinata o'qlariga parallel.
Keyingi tugatish (qarang Mobius va Laguer samolyotlari) bir hil holga keltiradi giperbolalarning geometriyasi:
, to'plami ochkolar,![{mathcal Z}: = {{(x, y) in mathbb {R} ^ {2} | y = ax + b} chashka {(yaroqsiz, yaroqsiz)} | a, bin mathbb {R}, aeq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a904355a5222b4c1d04f2904e6f6403b948206fb)
to'plami tsikllar.
The insidensiya tuzilishi
deyiladi klassik haqiqiy Minkovskiy samolyoti.
Ballar to'plami quyidagilardan iborat
, ikki nusxada
va nuqta
.
Har qanday chiziq
nuqta bo'yicha to'ldiriladi
, har qanday giperbola
ikki nuqta bo'yicha
(rasmga qarang).
Ikki nuqta
tsikl bilan bog'lab bo'lmaydi, agar shunday bo'lsa
yoki
.
Biz aniqlaymiz: Ikki nuqta
bor (+) - parallel (
) agar
va (-) - parallel (
) agar
.
Ikkala munosabatlar ham ekvivalentlik munosabatlari ballar to'plami bo'yicha.
Ikki nuqta
deyiladi parallel (
) agar
yoki
.
Yuqoridagi ta'rifdan quyidagilarni topamiz:
Lemma:
- Parallel bo'lmagan har qanday juftlik uchun
aniq bir nuqta bor
bilan
. - Har qanday nuqta uchun
va har qanday tsikl
aniq ikkita nuqta bor
bilan
. - Har qanday uchta ball uchun
,
,
, parallel ravishda parallel emas, aynan bitta tsikl mavjud
o'z ichiga oladi
. - Har qanday tsikl uchun
, har qanday nuqta
va har qanday nuqta
va
to'liq bitta tsikl mavjud
shu kabi
, ya'ni
tegadi
P nuqtasida
Klassik Mobius va Laguer samolyotlari singari Minkovski samolyotlarini ham mos to'rtburchak tekisliklarining geometriyasi deb ta'riflash mumkin. Ammo bu holda kvadrik yashaydi loyihaviy 3-bo'shliq: klassik haqiqiy Minkovskiy tekisligi a tekislik kesmalarining geometriyasiga izomorfdir bitta varaqning giperboloidi (2-indeksning degeneratsiyalangan kvadrikasi emas).
Minkovskiy tekisligining aksiomalari
Ruxsat bering
to'plam bilan insidensiya tuzilishi bo'ling
ballar to'plami
tsikllar va ikkita ekvivalentlik munosabatlari
((+) - parallel) va
((-) - parallel) to'plamda
. Uchun
biz quyidagilarni aniqlaymiz:
va
.Ekvivalentlik sinfi
yoki
deyiladi (+) - generatorva (-) - generatornavbati bilan. (Minkovskiy klassik samolyotining kosmik modeli uchun generator - bu giperboloiddagi chiziq).
Ikki nuqta
deyiladi parallel (
) agar
yoki
.
Hodisa tuzilishi
deyiladi Minkovskiy samolyoti agar quyidagi aksiomalar mavjud bo'lsa:
Minkovskiy-aksiomalar-c1-c2
Minkovskiy-aksiomalar-c3-c4
- C1: Parallel bo'lmagan har qanday juftlik uchun
aniq bir nuqta bor
bilan
. - C2: Har qanday nuqta uchun
va har qanday tsikl
aniq ikkita nuqta bor
bilan
. - C3: Har qanday uch ball uchun
, parallel ravishda parallel emas, aynan bitta tsikl mavjud
o'z ichiga oladi
. - C4: Har qanday tsikl uchun
, har qanday nuqta
va har qanday nuqta
va
to'liq bitta tsikl mavjud
shu kabi
, ya'ni
tegadi
nuqtada
. - C5: Har qanday tsikl kamida 3 ballni o'z ichiga oladi. Kamida bitta tsikl mavjud
va nuqta
emas
.
Tekshiruvlar uchun parallel sinflar bo'yicha quyidagi so'zlar foydalidir (mos ravishda C1, C2 ga teng).
- C1: Har qanday ikki ball uchun
bizda ... bor
. - C2 ′: Har qanday nuqta uchun
va har qanday tsikl
bizda ... bor:
.
Aksiomalarning birinchi natijalari
Lemma: Minkovskiy samolyoti uchun
quyidagilar to'g'ri
- a) har qanday nuqta kamida bitta tsiklda mavjud.
- b) har qanday generator kamida 3 ballni o'z ichiga oladi.
- c) Ikki nuqta, agar ular parallel bo'lmagan taqdirda, tsikl bilan bog'lanishi mumkin.
Mobius va Laguer samolyotlariga o'xshash ravishda biz qoldiqlar orqali lineargeometriyaga ulanamiz.
Minkovskiy samolyoti uchun
va
biz mahalliy tuzilmani aniqlaymiz
![{mathfrak A} _ {P}: = ({mathcal P} setminus overline {P}, {zsetminus {overline {P}} | Pin zin {mathcal Z}} kubogi {Esetminus overline {P} | Ein {{mathcal E }} setminus {overline {P} _ {+}, overline {P} _ {-}}}, in)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab08791ccd5d32836f9f84b71f7c00c0aea52e00)
va uni qoldiq P nuqtasida.
Minkovskiy klassik samolyoti uchun
haqiqiy afine tekisligi
.
C1 va C1 ′, C2 ′ aksiomalarining bevosita natijasi quyidagi ikkita teoremadir.
Teorema: Minkovskiy samolyoti uchun
har qanday qoldiq affin tekisligi.
Teorema: Bo'lsin
ikkita ekvivalentlik munosabatlariga ega bo'lgan insidensiya tuzilishi
va
to'plamda
ball (yuqoriga qarang).
Minkovskiy samolyotidir, agar biron bir nuqta bo'lsa
qoldiq
affin tekisligi.
Minimal model
Minkovski samolyoti: minimal model
The minimal model To'plam ustida Minkovskiy samolyotini o'rnatish mumkin
uchta element:
![{mathcal {P}}: = {overline {K}} ^ {2} qquad](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66249dd17513fb1b33c317263e4efdaa583d99fd)
![{mathcal Z}: = {{(a_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, b_ {2}), (a_ {3}, b_ {3})} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b0ce9aac9e7531aa2a69943da0025cea21e29d)
![| {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}} = {b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}} = yuqori chiziq {K}} =](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385902a8a9ff47093543ed7445de9e898d003da1)
![{(0, infty), (1,0), (infty, 1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11495d6734f1314cf16cc046e02bfda1210afba8)
Parallel fikrlar:
agar va faqat agar ![x_ {1} = x_ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e7b902fd6d8f38f50e78211fd453a4e2651d66)
agar va faqat agar
.
Shuning uchun:
va
.
Minkovskiyning so'nggi samolyotlari
Sonli Minkovskiy samolyotlari uchun biz C1 ′, C2 ′ dan olamiz:
Lemma: Bo'lsin
cheklangan Minkovskiy samolyoti, ya'ni.
. Har qanday davr uchun
va har qanday generatorlar juftligi
bizda ... bor:
.
Bu esa ta'rifi:
Minkovskiyning cheklangan samolyoti uchun
va tsikl
ning
biz butun sonni chaqiramiz
The buyurtma ning
.
Oddiy kombinatorial mulohazalar hosil bo'ladi
Lemma: Minkovskiyning cheklangan tekisligi uchun
quyidagilar to'g'ri:
- a) Har qanday qoldiq (afin tekisligi) tartibga ega
. - b)
, - v)
.
Mikel Minkovski samolyotlari
Minkovski samolyotlarining eng muhim namunalarini klassik real modelni umumlashtirish orqali olamiz: Faqat o'rnini bos
o'zboshimchalik bilan maydon
keyin olamiz har qanday holatda ham Minkovskiy samolyoti
.
Mobius va Laguer samolyotlariga o'xshash ravishda Mikel teoremasi Minkovskiy tekisligining o'ziga xos xususiyati hisoblanadi.
.
Mikel teoremasi
Teorema (Mikel): Minkovskiy samolyoti uchun
quyidagilar to'g'ri:
- Agar biron bir 8 uchun parallel bo'lmagan nuqtalar bo'lsa
kubning tepalariga shunday belgilanishi mumkinki, 5 yuzidagi nuqtalar kontsikl to'rtliklariga mos keladigan, oltinchi to'rtburchak nuqtalari ham kontsiknikdir.
(Rasmda yaxshiroq ko'rish uchun giperbolalar o'rniga chizilgan doiralar mavjud.)
Teorema (Chen): Faqat Minkovskiy samolyoti
Mikel teoremasini qondiradi.
Oxirgi teorema tufayli
deyiladi a Muevelli Minkovskiy samolyoti.
Izoh: The minimal model Minkovski samolyotining miqdori miquelyan.
- Minkovskiy tekisligi uchun izomorfdir
bilan
(maydon)
).
Ajablanadigan natija
Teorema (Heise): Minkovskiyning istalgan samolyoti hatto buyurtma miquelian.
Izoh: Muvofiq stereografik proektsiya ko'rsatadi:
bir varaqning giperboloididagi tekislik kesmalarining geometriyasi izomorfiktir (to'rtburchak indeks 2) maydon bo'ylab proektsion 3 bo'shliqda
.
Izoh: Minkovski samolyotlari juda ko'p miquelian emas (quyida joylashgan veb-havola). Ammo "ovoidal Minkovski" samolyotlari mavjud emas, ular Mobius va Laguer samolyotlaridan farq qiladi. Chunki har qanday kvadratik to‘plam proektsion 3-bo'shliqdagi indeks 2 ning kvadrikasi (qarang kvadratik to‘plam ).
Shuningdek qarang
Adabiyotlar
Tashqi havolalar