Cho'ntaklar to'plami nazariyasi - Pocket set theory

Cho'ntaklar to'plami nazariyasi (Tinch okean standart vaqti) an muqobil to'plam nazariyasi unda faqat ikkita cheksiz mavjud asosiy raqamlar, ℵ₀ (alef-yo'q, barcha natural sonlar to'plamining kardinalligi) va v (the doimiylikning kardinalligi ). Nazariya birinchi marta taklif qilingan Rudi Raker uning ichida Cheksizlik va aql.^[1] Ushbu yozuvda keltirilgan tafsilotlar amerikalik matematik Randall M. Xolmsga tegishli.

PSTni qo'llab-quvvatlovchi dalillar

Kabi kichik to'plam nazariyasi foydasiga kamida ikkita mustaqil dalil mavjud Tinch okean standart vaqti.

Matematik amaliyotdan tashqari, "nazarda tutilgan holda" tabiatda paydo bo'ladigan "ikkita cheksiz kardinal (tabiiy sonlarning asosiy va doimiylikning kardinalligi)" borligi haqida taassurot olish mumkin.^[2] shuning uchun "to'siq nazariyasi klassik matematikani qo'llab-quvvatlash uchun zarur bo'lganidan ancha ko'p uskuna ishlab chiqaradi"^[3] Garchi bu mubolag'a bo'lishi mumkin bo'lsa-da (ba'zi bir hiyla-nayranglar bilan haqiqiy sonlarning ixtiyoriy to'plamlari yoki haqiqiy funktsiyalar haqida gapirish kerak bo'lgan vaziyatga tushish mumkin).^[4] ichida matematikaning katta qismi tiklanishi mumkin Tinch okean standart vaqti; uning amaliy dasturlarining aksariyati uchun albatta etarli.
Ikkinchi dalil kelib chiqadi asosli mulohazalar. Matematikaning aksariyati bo'lishi mumkin amalga oshirildi yilda standart to'plam nazariyasi yoki uning katta alternativalaridan biri. Set nazariyalari, aksincha, mantiqiy tizim nuqtai nazaridan kiritiladi; aksariyat hollarda shunday bo'ladi birinchi darajali mantiq. Birinchi darajali mantiqning sintaksis va semantikasi, aksincha, belgilangan nazariy asoslar asosida qurilgan. Shunday qilib, bizni iloji boricha zaif nazariyani tanlashga majbur qiladigan asosli doiraviylik mavjud yuklash. Ushbu fikr chizig'i yana kichik nazariyalarga olib keladi.

Shunday qilib, Kantorning cheksiz ierarxiyasini ortiqcha deb o'ylash uchun asoslar mavjud. Cho'ntaklar to'plami nazariyasi - bu "minimalist" to'plam nazariyasi, bu faqat ikkita infinitga imkon beradi: the kardinallik ${displaystyle stsenariysi {aleph _ {0}}}$ (standart) tabiiy sonlarning va kardinallik ${displaystyle stsenariysi {2 ^ {aleph _ {0}}}}$ (standart) reallarning.

Nazariya

Tinch okean standart vaqti identifikatori va ikkilik munosabatlar belgisi bilan standart birinchi darajali tildan foydalanadi ${displaystyle stsenariysi {in}}$ . Oddiy o'zgaruvchilar katta harf X, YVa hokazo. Ko'zda tutilgan talqinda o'zgaruvchilar ko'rsatiladi sinflar va atom formulasi ${displaystyle stsenariysi {Xin Y}}$ "sinf" degan ma'noni anglatadi X sinf elementidir Y". A o'rnatilgan sinfning elementi bo'lgan sinfdir. Kichik kichik o'zgaruvchilar x, yva boshqalar to'plamlarni anglatadi. A tegishli sinf to'plam bo'lmagan sinf. Ikki sinf teng iff a bijection ular orasida mavjud. Sinf cheksiz agar u tegishli subklasslardan biri bilan teng bo'lsa. PST aksiomalari quyidagilardir

(A1) (kengayish) - Bir xil elementlarga ega bo'lgan sinflar bir xil.

{displaystyle forall z, (zin Xleftrightarrow zin Y) kamar X = Y}

(A2) (sinfni tushunish) - agar

{displaystyle stsenariysi {phi (x)}}

bu formuladir, unda elementlari aynan shu to'plamlar bo'lgan sinf mavjud x bu qondiradi

{displaystyle stsenariysi {phi (x)}}

.

{displaystyle mavjud Yforall x, (xin Yleftrightarrow phi (x))}

(A3) (cheksizlik aksiomasi) - cheksiz to'plam mavjud va barcha cheksiz to'plamlar teng sonli.

{displaystyle x, (mathrm {inf} (x) land for all y, (mathrm {inf} (y) timarrow xapprox y))} mavjud

(inf (x) ""x cheksizdir ”;

{displaystyle stsenariysi {xapprox y}}

buni qisqartiradi x bilan teng y.)

(A4) (o'lchamning cheklanishi) - Agar barcha tegishli sinflar bilan teng keladigan bo'lsa, sinf bu tegishli sinfdir.

{displaystyle forall Xforall Y, ((mathrm {pr} (X) land mathrm {pr} (Y)) leftrightarrow (mathrm {pr} (X) land Xapprox Y))}

(pr (X) ""X bu to'g'ri sinf ".)

Aksiomalarga oid izohlar

Sinflar va to'plamlar uchun har xil turdagi o'zgaruvchilardan foydalanishiga qaramay, til ko'p tartiblanmagan; to'plamlar bir xil kengaytmaga ega sinflar bilan aniqlanadi. Kichik harflar o'zgaruvchilari turli xil kontekstlar uchun oddiy qisqartirish sifatida ishlatiladi; masalan,

{displaystyle forall x, phi (x) Leftrightarrow _ {mathrm {def}} for all X, (mathrm {set} (X) timarrow phi (X))}

A2 dagi miqdorlar sinflar oralig'ida bo'lgani uchun, ya'ni. ${displaystyle stsenariysi {phi (x)}}$ belgilanmagan, A2 - ning tushunish sxemasi Mors-Kelli to'plami nazariyasi, bu emas Von Neyman-Bernays-Gödel to'plamlari nazariyasi. A2 ning bu qo'shimcha kuchi ordinallar ta'rifida qo'llaniladi (bu erda taqdim etilmagan).
Yo'q, chunki juftlashtirish aksiomasi, har qanday ikkita to'plam uchun isbotlanishi kerak x va y, Kuratovskiy juftligi {{x},{x,y}} mavjud va to'plamdir. Shunday qilib, mavjudligini isbotlash a birma-bir yozishmalar ikki sinf o'rtasida ularning tengligini isbotlamaydi.
Cho'ntaklar to'plamlari nazariyasi uchinchi darajali arifmetikaga o'xshashdir, to'plamlar va sinflar natural sonlar to'plamlariga va natural sonlar quvvat to'plamining pastki qismlariga mos keladi.
Cho'ntaklar to'plamlari nazariyasi uchun model cho'ntaklar to'plamlari nazariyasining to'plamlarini olinadigan elementlar sifatida qabul qilish orqali berilgan HC (irsiy hisoblanadigan to'plamlar to'plami) va sinflarning tuzilishi mumkin bo'lgan kichik to'plamlari HC.

Ba'zi PST teoremalari

1. Rassel sinfi ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R}}}$ tegishli sinf. ( ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} = _ {mathrm {def}} {x, |, xotin x}}}$ ): Isbot. ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R}}}$ tomonidan o'rnatilishi mumkin emas Rassellning paradoksi. ∎
2. Bo'sh sinf ${displaystyle scriptstyle {emptyset}}$ to'plamdir. ( ${displaystyle scriptstyle {emptyset = _ {mathrm {def}} {x, |, xeq x}}}$ ): Isbot. Aytaylik (ziddiyat tomon ) bu ${displaystyle scriptstyle {emptyset}}$ tegishli sinf. (A4) tomonidan, ${displaystyle scriptstyle {emptyset}}$ bilan teng keladigan bo'lishi kerak ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R}}}$ , bu holda ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R}}}$ bo'sh Ruxsat bering men cheksiz to'plam bo'lib, sinfni ko'rib chiqing ${displaystyle stsenariysi {{i}}}$ . Bu teng emas ${displaystyle scriptstyle {emptyset}}$ Shunday qilib, bu to'plam. U chekli, ammo uning yagona elementi cheksizdir, shuning uchun u o'zi element bo'la olmaydi. Shuning uchun, bu ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R}}}$ . Bu bunga ziddir ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R}}}$ bo'sh ∎
3. Singleton sinfi ${displaystyle skript uslubi {{emptyset}}}$ to'plamdir.: Isbot. Aytaylik ${displaystyle skript uslubi {{emptyset}}}$ tegishli sinf. Keyin (A4) tomonidan har bir to'g'ri sinf singleton hisoblanadi. Ruxsat bering men cheksiz to'plam bo'lib, sinfni ko'rib chiqing ${displaystyle skript uslubi {{emptyset, i}}}$ . Bu na tegishli sinf (chunki u singleton emas) va na o'zi element (chunki u bo'sh ham, cheksiz ham emas). Shunday qilib ${displaystyle scriptstyle {{emptyset, i} - R}}$ ta'rifi bo'yicha ushlaydi, shuning uchun ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R}}}$ kamida ikkita elementga ega, ${displaystyle scriptstyle {emptyset}}$ va ${displaystyle skript uslubi {{emptyset, i}}}$ . Bu tegishli sinflar singletonlar degan dastlabki taxminlarga zid keladi. ∎
4. ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R}}}$ cheksizdir.: Isbot. Ruxsat bering ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} ^ {-} = _ {mathrm {def}} mathrm {R} setminus {emptyset}}}$ . Aytaylik, bu sinf to'plamdir. Keyin ham ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} ^ {-} matematikada {R} ^ {-}}}$ yoki ${displaystyle stsenariysi {mathrm {R} ^ {-} otin mathrm {R} ^ {-}}}$ . Birinchi holda, ning ta'rifi ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} ^ {-}}}$ shuni anglatadiki ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} ^ {-} matematikada {R}}}$ , undan kelib chiqadigan narsa ${displaystyle stsenariysi {mathrm {R} ^ {-} otin mathrm {R} ^ {-}}}$ , ziddiyat. Ikkinchi holda, ning ta'rifi ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} ^ {-}}}$ shuni ham nazarda tutadi ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} ^ {-} otin mathrm {R}}}$ va shuning uchun ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} ^ {-} matematikada {R} ^ {-}}}$ , ziddiyat yoki ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} ^ {-} = emptyset}}$ . Ammo ${displaystyle scriptstyle {mathrm {R} ^ {-}}}$ bo'sh bo'lishi mumkin emas, chunki u kamida bitta elementga ega, ya'ni ${displaystyle skript uslubi {{emptyset}}}$ . ∎
5. Har bir sonli sinf bu to'plamdir.: Isbot. Ruxsat bering X tegishli sinf bo'ling. (A4) ga binoan, mavjud ${displaystyle stsenariysi {F: Xlongrightarrow mathrm {R}}}$ shu kabi F bijection hisoblanadi. Bu juftlikni o'z ichiga oladi ${displaystyle scriptstyle {langle x_ {0}, bo'sh burchak burchagi}}$ va har bir a'zo uchun r ning ${displaystyle stsenariysi {mathrm {R} ^ {-}}}$ , juftlik ${displaystyle stsenariysi {langle x, rangle}}$ . Ruxsat bering ${displaystyle scriptstyle {X ^ {-} = Xsetminus lbrace x_ {0} brace}}$ va ${displaystyle scriptstyle {F ^ {-} = Fsetminus lbrace langle x_ {0}, emptyset brace}}$ . (A4) ga binoan, bu ikkala sinf ham mavjud. Hozir, ${displaystyle stsenariysi {F ^ {-}: X ^ {-} longrightarrow mathrm {R} ^ {-}}}$ bijection hisoblanadi. Shunday qilib (A4) tomonidan, ${displaystyle stsenariysi {X ^ {-}}}$ ham tegishli sinf. Shubhasiz, ${displaystyle stsenariysi {X ^ {-} kichik to'plam X}}$ va ${displaystyle stsenariysi {X ^ {-} tenglama X}}$ . Endi (A4) ning yana bir qo'llanmasi bijection mavjudligini ko'rsatadi ${displaystyle stsenariysi {G: Xlongrightarrow X ^ {-}}}$ . Bu buni tasdiqlaydi X cheksizdir. ∎

Yuqoridagi faktlar aniqlangandan so'ng quyidagi natijalarni isbotlash mumkin:

6. V sinf to'plamlari ( ${displaystyle stsenariysi {mathrm {V} = _ {mathrm {def}} {x, | mathrm {set} (x)}}}$ ) barcha irsiy hisoblanadigan to'plamlardan iborat.
7. Har bir to'g'ri sinf asosiy xususiyatga ega ${displaystyle {mathfrak {c}}}$ .: Isbot. Ruxsat bering men cheksiz to'plam bo'ling, bu holda sinf ${displaystyle skript uslubi {{mathcal {P}} (i)}}$ kardinallikka ega ${displaystyle stsenariysi {2 ^ {aleph _ {0}}}}$ . (A4) ga binoan, barcha tegishli sinflar asosiy kuchga ega ${displaystyle stsenariysi {2 ^ {aleph _ {0}}}}$ . ∎
8. To'plamning birlashma sinfi bu to'plamdir.

Tinch okean standart vaqti shuningdek quyidagilarni tasdiqlaydi:

Davomiy gipoteza. Bu yuqoridagi (5) va (6) dan kelib chiqadi;
O'zgartirish aksiomasi. Bu (A4) ning natijasidir;
Tanlangan aksioma. Isbot. Sinf Ord barcha tartiblarning ta'rifi bo'yicha yaxshi tartiblangan. Ord va sinf V chunki barcha to'plamlarning ikkalasi ham to'g'ri sinflardir Burali-Forti paradoksi va Kantor paradoksi navbati bilan. Shuning uchun o'rtasida biektsiya mavjud V va Ord, bu yaxshi buyurtma V. ∎

The asosli barcha to'plamlarning na tasdiqlanishi mumkin, na inkor etilishi mumkin Tinch okean standart vaqti.

Mumkin bo'lgan kengaytmalar

Deb atalmish qo'shish bepul qurilish aksiomasi ga Tinch okean standart vaqti, nazariy aksiomalarning har qanday izchil tizimi hosil bo'ladigan tizimda ichki modelga ega bo'ladi.
Bu do'stona bo'lmagan xususiyatdir Tinch okean standart vaqti u haqiqiy sonlar to'plamlari yoki haqiqiy funktsiyalar to'plamlari sinflarini boshqarolmaydi. Biroq, bu zarur emas. (A3) doimiylik gipotezasini qo'llab-quvvatlaydigan yoki qo'llab-quvvatlamaydigan infinitlarning odatiy iyerarxiyasining turli qismlariga imkon berish uchun turli xil usullar bilan o'zgartirilishi mumkin. Bir misol