Pregeometriya (model nazariyasi) - Pregeometry (model theory)

Pregeometriyava to'liq kombinatorial pregeometriya, "uchun sinonimlarmatroid Ular tomonidan taqdim etilgan Jan-Karlo Rota kamroq "samarasiz kakofonik" muqobil atamani taqdim etish niyatida. Shuningdek, atama kombinatoriya geometriyasi, ba'zan qisqartiriladi geometriya, "oddiy matroid" ni almashtirishga mo'ljallangan edi. Ushbu atamalar hozirda matroidlarni o'rganishda kamdan kam qo'llaniladi.

Filialida matematik mantiq deb nomlangan model nazariyasi, mustaqillik hodisalarini muhokama qilishda "pregeometriya" (va agar ular oddiy matroidlar bo'lsa, "geometriyalar") deb nomlanadigan cheksiz yakuniy matroidlar qo'llaniladi.

Ma'lum bo'lishicha, ko'plab asosiy tushunchalar chiziqli algebra - yopilish, mustaqillik, pastki bo'shliq, asos, o'lchov - mavhum geometriya doirasida saqlanib qoladi.

Pregeometriya, geometriya va mavhumlikning o'rganilishi yopish operatorlari tuzilishiga ta'sir qilish birinchi tartib modellari deyiladi geometrik barqarorlik nazariyasi.

Ta'riflar

Pregeometriya va geometriya

A kombinatorial pregeometriya (a nomi bilan ham tanilgan yakuniy matroid), ikkinchi darajali tuzilishdir: ${ displaystyle (X, { text {cl}})}$, qayerda ${ displaystyle { text {cl}}: { mathcal {P}} (X) to { mathcal {P}} (X)}$ (deb nomlangan yopilish xaritasi) quyidagi aksiomalarni qondiradi. Barcha uchun ${ displaystyle a, b in X}$ va ${ displaystyle A, B, C subseteq X}$:

1. ${ displaystyle { text {cl}}: ({ mathcal {P}} (X), subseteq) to ({ mathcal {P}} (X), subseteq)}$ a homomorfizm toifasida qisman buyurtmalar (monoton ko'paymoqda) va hukmronlik qiladi ${ displaystyle { text {id}}}$ (Ya'ni. ${ displaystyle A subseteq B}$ nazarda tutadi ${ displaystyle A subseteq { text {cl}} (A) subseteq { text {cl}} (B)}$.) va idempotent.
2. Cheklangan belgi: Har biriga ${ displaystyle a in { text {cl}} (A)}$ ba'zi bir cheklanganlar bor ${ displaystyle F subseteq A}$ bilan ${ displaystyle a in { text {cl}} (F)}$.
3. Almashish printsipi: Agar ${ displaystyle b in { text {cl}} (C cup {a }) smallsetminus { text {cl}} (C)}$, keyin ${ displaystyle a in { text {cl}} (C cup {b })}$ (va aslida monotonlik va idempotensiya bilan ${ displaystyle a in { text {cl}} (C cup {b }) smallsetminus { text {cl}} (C)}$).

A geometriya singletonlarning yopilishi singletonlar va bo'sh to'plamning yopilishi bo'sh to'plam bo'lgan pregeometriya.

Mustaqillik, asoslar va o'lchov

Berilgan to'plamlar ${ displaystyle A, B subset S}$, ${ displaystyle A}$ bu mustaqil ${ displaystyle B}$ agar ${ displaystyle a notin { text {cl}} ((A setminus {a }) kubok B)}$ har qanday kishi uchun ${ displaystyle a in A}$.

To'plam ${ displaystyle A_ {0} subset A}$ a uchun asos ${ displaystyle A}$ ustida ${ displaystyle B}$ agar u mustaqil bo'lsa ${ displaystyle B}$ va ${ displaystyle A subset { text {cl}} (A_ {0} cup B)}$.

Pregeometriya qoniqtirgani uchun Steinitz birja mulk barcha asoslar bir xil kuchga ega, shuning uchun o'lchov ning ${ displaystyle A}$ ustida ${ displaystyle B}$ kabi ${ displaystyle { text {dim}} _ {B} A = | A_ {0} |}$ noaniqlik yo'q.

To'plamlar ${ displaystyle A, B}$ mustaqil ${ displaystyle C}$ agar ${ displaystyle { text {dim}} _ {B cup C} = dim _ {C} A '}$^{[nomuvofiq ]} har doim ${ displaystyle A '}$ ning cheklangan kichik to'plamidir ${ displaystyle A}$. Ushbu munosabat nosimmetrik ekanligini unutmang.

Mustaqil nazariyalarning minimal to'plamlarida mustaqillik aloqasi mustaqillikni shakllantirish tushunchasiga to'g'ri keladi.

Geometriya avtomorfizmi

A geometriya avtomorfizmi geometriya ${ displaystyle S}$ bijection hisoblanadi ${ displaystyle sigma: 2 ^ {S} dan 2 ^ {S}} gacha$ shu kabi ${ displaystyle sigma { text {cl}} (X) = { text {cl}} ( sigma X)}$ har qanday kishi uchun ${ displaystyle X subset S}$.

Pregeometriya ${ displaystyle S}$ deb aytilgan bir hil agar yopiq bo'lsa ${ displaystyle X subset S}$ va har qanday ikkita element ${ displaystyle a, b in S setminus X}$ ning avtomorfizmi mavjud ${ displaystyle S}$ qaysi xaritalar ${ displaystyle a}$ ga ${ displaystyle b}$ va tuzatishlar ${ displaystyle X}$ yo'naltirilgan.

Bilan bog'liq geometriya va lokalizatsiya

Pregeometriya berilgan ${ displaystyle (S, { text {cl}})}$ uning bog'liq geometriya (ba'zan adabiyotda kanonik geometriya) geometriya ${ displaystyle (S ', { text {cl}}')}$ qayerda

1. ${ displaystyle S '= {{ text {cl}} (a) mid a in S setminus { text {cl}} ( emptyset) }}$va
2. Har qanday kishi uchun ${ displaystyle X subset S}$, ${ displaystyle { text {cl}} '( {{ text {cl}} (a) mid a in X }) = {{ text {cl}} (b) mid b { text {cl}} (X) }} da$

Bir hil pregeometriyaning bog'langan geometriyasi bir hil ekanligini ko'rish oson.

Berilgan ${ displaystyle A subset S}$ The mahalliylashtirish ning ${ displaystyle S}$ geometriya ${ displaystyle (S, { text {cl}} _ {A})}$ qayerda ${ displaystyle { text {cl}} _ {A} (X) = { text {cl}} (X cup A)}$.

Pregeometriya turlari

Ruxsat bering ${ displaystyle (S, { text {cl}})}$ pregeometriya bo'ling, keyin aytiladi:

• ahamiyatsiz (yoki buzilib ketgan) agar ${ displaystyle { text {cl}} (X) = bigcup {{ text {cl}} (a) mid a in X }}$.
• modulli agar har qanday ikkita yopiq cheklangan o'lchovlar to'plami bo'lsa ${ displaystyle X, Y subset S}$ tenglamani qondirish ${ displaystyle { text {dim}} (X cup Y) = { text {dim}} (X) + { text {dim}} (Y) - { text {dim}} (X cap Y)}$ (yoki unga teng ravishda ${ displaystyle X}$ dan mustaqildir ${ displaystyle Y}$ ustida ${ displaystyle X cap Y}$).
• mahalliy modulli agar u modulli singletonda lokalizatsiyaga ega bo'lsa.
• (mahalliy) loyihaviy agar u ahamiyatsiz va (mahalliy) modulli bo'lsa.
• mahalliy cheklangan agar cheklangan to'plamlarning yopilishi chekli bo'lsa.

Arzimaslik, modullik va lokal modullik bog'liq geometriyaga o'tadi va lokalizatsiya ostida saqlanib qoladi.

Agar ${ displaystyle S}$ mahalliy modulli bir hil pregeometriya va ${ displaystyle a in S setminus { text {cl}} emptyset}$ keyin mahalliylashtirish ${ displaystyle S}$ yilda ${ displaystyle b}$ modulli.

Geometriya ${ displaystyle S}$ modulli bo'lib, agar va qachon bo'lsa ham ${ displaystyle a, b in S}$, ${ displaystyle A subset S}$, ${ displaystyle { text {dim}} {a, b } = 2}$ va ${ displaystyle { text {dim}} _ {A} {a, b } leq 1}$ keyin ${ displaystyle ({ text {cl}} {a, b } cap { text {cl}} (A)) setminus { text {cl}} emptyset neq emptyset}$.

Misollar

Arzimas misol

Agar ${ displaystyle S}$ biz belgilashimiz mumkin bo'lgan har qanday to'plam ${ displaystyle { text {cl}} (A) = A}$. Ushbu pregeometriya ahamiyatsiz, bir hil, mahalliy cheklangan geometriyadir.

Vektorli bo'shliqlar va proektsion bo'shliqlar

Ruxsat bering ${ displaystyle F}$ maydon bo'ling (bo'linish rishtasi aslida etarli) va bo'lsin ${ displaystyle V}$ bo'lishi a ${ displaystyle kappa}$- o'lchovli vektor maydoni ${ displaystyle F}$. Keyin ${ displaystyle V}$ to'plamlarning yopilishi ularning oralig'i sifatida aniqlangan pregeometriya.

Ushbu pregeometriya bir hil va modulli hisoblanadi. Vektorli bo'shliqlar modullikning prototipik namunasi hisoblanadi.

${ displaystyle V}$ mahalliy va faqat agar bo'lsa, cheklangan ${ displaystyle F}$ cheklangan.

${ displaystyle V}$ geometriya emas, chunki har qanday noan'anaviy vektorning yopilishi hech bo'lmaganda o'lchamdagi kichik bo'shliqdir ${ displaystyle 2}$.

A bilan bog'liq geometriya ${ displaystyle kappa}$- o'lchovli vektor maydoni ${ displaystyle F}$ bo'ladi ${ displaystyle ( kappa -1)}$- o'lchovli proektsion maydon ustida ${ displaystyle F}$. Ushbu pregeometriya proektsion geometriya ekanligini ko'rish oson.

Affin bo'shliqlari

Ruxsat bering ${ displaystyle V}$ bo'lishi a ${ displaystyle kappa}$- o'lchovli afin maydoni maydon ustida ${ displaystyle F}$. To'plamga binoan uning yopilishini aniqlang afin korpusi (ya'ni uni o'z ichiga olgan eng kichik affin subspace).

Bu bir hil bo'ladi ${ displaystyle ( kappa +1)}$o'lchovli geometriya.

Afinaviy bo'shliq modulli emas (masalan, agar ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle Y}$ parallel chiziqlar bo'ling, shunda modullik ta'rifidagi formula bajarilmaydi). Biroq, barcha lokalizatsiya modulli ekanligini tekshirish oson.

Algebraik yopiq maydonlar

Ruxsat bering ${ displaystyle k}$ bo'lish algebraik yopiq maydon bilan ${ displaystyle { text {tr.deg}} (k) geq omega}$va to'plamning yopilishini aniqlang algebraik yopilish.

Vektorli bo'shliqlar modulli va afinaviy bo'shliqlar "deyarli" modulli (ya'ni hamma joyda mahalliy modulli) bo'lsa, algebraik yopiq maydonlar boshqa ekstremallarga misol bo'lib, hatto mahalliy modulga ega emas (ya'ni lokalizatsiyalarning hech biri modulli emas).

Adabiyotlar

H.H.Crapo va G.-C. Rota (1970), Kombinatoriya nazariyasining asoslari to'g'risida: Kombinatorial geometriya. M.I.T. Press, Kembrij, Mass.

Pillay, Anand (1996), Geometrik barqarorlik nazariyasi. Oksford mantiqiy qo'llanmalari. Oksford universiteti matbuoti.