Pseudoreflection - Pseudoreflection - Wikipedia

Yilda matematika, a qalbaki aks ettirish qaytarib bo'lmaydigan narsa chiziqli transformatsiya cheklangan o'lchovli vektor maydoni shunday emas shaxsni o'zgartirish, cheklangan (multiplikativ) mavjud buyurtma va tuzatishlar a giperplane. Pseudoreflection tushunchasi aks ettirish va murakkab aks ettirish, va shunchaki chaqiriladi aks ettirish ba'zi matematiklar tomonidan. Bu muhim rol o'ynaydi Sonli guruhlarning o'zgarmas nazariyasi shu jumladan Chevalley-Shephard-Todd teoremasi.^[1]

Rasmiy ta'rif

Aytaylik V bu vektor maydoni maydon ustida K, kimning o'lchov sonli son n. A qalbaki aks ettirish qaytarib bo'lmaydigan narsadir chiziqli transformatsiya ${ displaystyle g: V to V}$ shunday tartibda g sonli va sobit pastki bo'shliq ${ displaystyle V ^ {g} = {v in V: gv = v }}$ barcha vektorlarning V tomonidan belgilangan g o'lchovga ega n-1.

O'ziga xos qiymatlar

Soxta aks g ko'plikning o'ziga xos qiymati 1 ga ega n-1 va yana bir o'ziga xos qiymat r ko'plik 1. beri g cheklangan tartibga ega, o'ziga xos qiymat r a bo'lishi kerak birlikning ildizi dalada K. Bu mumkin r = 1 (qarang Transveksiyalar ).

Diagonalizatsiya qilinadigan pseudoreflections

Ruxsat bering p bo'lishi xarakterli maydonning K. Agar tartib g bu koprime ga p keyin g bu diagonalizatsiya qilinadigan va a bilan ifodalanadi diagonal matritsa

diag (1, ..., 1, r ) = ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 & 0 0 & 0 & 0 & cdots & r end {bmatrix }}}$

qayerda r 1 ga teng bo'lmagan birlikning ildizi. Bunga qachon holati kiradi K haqiqiy sonlar maydoni va kompleks sonlar maydoni kabi xarakterli nol maydonidir.

Diagonalizatsiya qilinadigan pseudoreflection ba'zan a deb nomlanadi yarim oddiy aks ettirish.

Haqiqiy aks ettirishlar

Qachon K haqiqiy sonlar maydoni, pseudoreflection diag (1, ..., 1, -1) matritsali shaklga ega. Bunday matritsa shakli bo'lgan pseudoreflection a deb nomlanadi haqiqiy aks ettirish. Agar ushbu konvertatsiya amalga oshiriladigan bo'shliq tan olsa a nosimmetrik bilinear shakl Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ortogonallik vektorlarini aniqlash mumkin, keyin konvertatsiya haqiqiy bo'ladi aks ettirish.

Murakkab aks ettirishlar

Qachon K murakkab sonlar maydoni, soxta akslantirish a deb ataladi murakkab aks ettirish bilan ifodalanishi mumkin diagonal matritsa diag (1, ..., 1, r), bu erda r 1 ga teng bo'lmagan birlikning murakkab ildizi.

Transveksiyalar

Agar pseudoreflection bo'lsa g u holda diagonalizatsiya qilinmaydi r = 1 va g bor Iordaniya normal shakli

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 & 1 0 & 0 & 0 & cdots & 1 oxiri {bmatrix}}}$

Bunday holatda g deyiladi a transvektsiya. Soxta aks g faqat xarakteristikasi bo'lsa, transvektsiya hisoblanadi p maydonning K ijobiy va tartibi g bu p. Transvektsiyalar cheklangan geometriyani o'rganishda va ularning harakat guruhlarini tasniflashda foydalidir.^[2]

Adabiyotlar

^ Neusel, Mara D. va Smit, Larri (2002). Cheklangan guruhlarning o'zgarmas nazariyasi. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. ISBN 0-8218-2916-5.
^ Artin, Emil (1988). Geometrik algebra. Wiley Classics kutubxonasi. Nyu-York: John Wiley & Sons Inc. x + 214-bet. ISBN 0-471-60839-4. JANOB 1009557. (1957 yil asl nusxasini qayta nashr etish; Wiley-Intercience nashri)

[1] Neusel, Mara D. va Smit, Larri (2002). Cheklangan guruhlarning o'zgarmas nazariyasi. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. ISBN 0-8218-2916-5.

[2] Artin, Emil (1988). Geometrik algebra. Wiley Classics kutubxonasi. Nyu-York: John Wiley & Sons Inc. x + 214-bet. ISBN 0-471-60839-4. JANOB 1009557. (1957 yil asl nusxasini qayta nashr etish; Wiley-Intercience nashri)

[1]

[2]