Quasifield - Quasifield

Yilda matematika, a kvadval bu algebraik tuzilish ${displaystyle (Q, +, cdot)}$ qaerda + va ${displaystyle cdot}$ bor ikkilik operatsiyalar Q da, a kabi bo'linish halqasi, lekin ba'zi bir zaif sharoitlar bilan. Barcha bo'linish uzuklari va shu bilan hammasi dalalar, to'rtburchaklar.

Ta'rif

Kvazif maydon ${displaystyle (Q, +, cdot)}$ bu struktura bo'lib, bu erda + va ${displaystyle cdot,}$ quyidagi aksiomalarni qondiradigan Q bo'yicha ikkilik operatsiyalar:

${displaystyle (Q, +),}$ a guruh
${displaystyle (Q_ {0}, cdot)}$ a pastadir, qayerda ${displaystyle Q_ {0} = Qsetminus {0},}$
${displaystyle acdot (b + c) = acdot b + acdot cquad for a, b, cin Q}$ (chapda tarqatish )
${displaystyle acdot x = bcdot x + c}$ to'liq bitta echimga ega ${displaystyle forall a, b, cin Q, aeq b}$

To'liq aytganda, bu a ta'rifi chap kvadval. A to'g'ri quasifield shunga o'xshash tarzda aniqlangan, ammo buning o'rniga to'g'ri distributivlikni qondiradi. Ikkala taqsimot qonunlarini qondiradigan kvazifel a deb ataladi yarim maydon, atama ishlatilgan ma'noda proektsion geometriya.

Garchi taxmin qilinmasa ham, aksiomalar qo'shimchalar guruhini nazarda tutishini isbotlash mumkin ${displaystyle (Q, +)}$ bu abeliya. Shunday qilib, an abeliya kvazifili, biri shuni anglatadiki ${displaystyle (Q_ {0}, cdot)}$ abeliya.

Kernel

Q kvazifildagi K yadrosi barcha elementlarning to'plamidir, shunday qilib:

${displaystyle acdot (bcdot c) = (acdot b) cdot cquad for a, bin Q}$
${displaystyle (a + b) cdot c = (acdot c) + (bcdot c) to'rtburchagi a, bin Q}$

Ikkilik operatsiyalarni cheklash + va ${displaystyle cdot}$ buni K ga ko'rsatish mumkin ${displaystyle (K, +, cdot)}$ a bo'linish halqasi.

Endi quyidagi skalar ko'paytmasi bilan Q dan K vektorli bo'shliqni yasash mumkin: ${displaystyle votimes l = vcdot lquad for all vin Q, lin K}$

Sonli bo'linish halqasi sifatida cheklangan maydon Vedberbern teoremasi, cheklangan kvazifild yadrosining tartibi a asosiy kuch. Vektorli kosmik konstruktsiya shuni anglatadiki, har qanday cheklangan kvadrat maydonining tartibi ham asosiy kuch bo'lishi kerak.

Misollar

Barcha bo'linish halqalari va shu tariqa barcha maydonlar to'rtburchak maydonlardir.

Eng kichik kvazifellar abeliya va noyobdir. Ular cheklangan maydonlar sakkiztagacha bo'lgan buyurtmalar. Bo'linish halqalari bo'lmagan eng kichik kvazifildlar to'rtinchi abeliya bo'lmagan to'rtinchi kvazifildlar; ular taqdim etilgan Hall, kichik (1959) va Vaybel (2007).

Proektiv samolyotlar

Kvazif maydon berilgan ${displaystyle Q}$ , biz uchlik xaritani aniqlaymiz ${displaystyle stsenariysi Tcolon Q imes Q imes Q o Q,}$ tomonidan

${displaystyle T (a, b, c) = acdot b + cquad for a, b, cin Q}$

Keyin buni tasdiqlash mumkin ${displaystyle (Q, T)}$ a aksiomalarini qondiradi planar uchlik halqasi. Bilan bog'liq ${displaystyle (Q, T)}$ unga mos keladi proektsion tekislik. Shu tarzda qurilgan proektsion samolyotlar quyidagicha tavsiflanadi; ushbu munosabatlarning tafsilotlari berilgan Hall, kichik (1959). Proektiv tekislik - bu tarjima tekisligi chegara chizig'iga nisbatan, agar u (yoki barchasi) bilan bog'liq bo'lgan planar uchburchak halqalari to'g'ri kvadrat maydonlari bo'lsa. Bunga deyiladi qaychi tekisligi agar uning uchlik halqalarining birortasi (yoki barchasi) kvazifildagilar bo'lsa.

Samolyot uzukni noyob tarzda aniqlamaydi; 9-tartibdagi barcha 4 nonabelian kvasifildlari - bu 9-darajali noyob desarguesian bo'lmagan tarjima tekisligi uchun uchlik halqalari. asosiy to'rtburchak samolyotni qurish uchun ishlatiladi (qarang: Weibel 2007).

Tarix

Kvazifildlar 1975 yildan oldin adabiyotda "Veblen-Vedberbern tizimlari" deb nomlangan, chunki ular 1907 yilda (Veblen-Vedderbern 1907) birinchi marta o'rganilgan. O. Veblen va J. Vedderbern. Kvazif maydonlarni o'rganish va ularning qo'llanilishi proektsion samolyotlar topilishi mumkin Hall, kichik (1959) va Vaybel (2007).

Adabiyotlar

Hall, kichik, Marshall (1959), Guruhlar nazariyasi, Makmillan, LCCN 59005035, JANOB 0103215.
Veblen, O .; Vedberbern, J.X.M. (1907), "Desarguesian bo'lmagan va Paskaliyadagi geometriyalar" (PDF), Amerika Matematik Jamiyatining operatsiyalari, 8 (3): 379–388, doi:10.2307/1988781, JSTOR 1988781
Vaybel, Charlz (2007), "Desarguesian bo'lmagan samolyotlar tadqiqotlari", AMS haqida ogohlantirishlar, 54 (10): 1294–1303

Shuningdek qarang

Tashqi havolalar

Quasifields Hauke Klein tomonidan.