Rank (differentsial topologiya) - Rank (differential topology)

Yilda matematika, daraja a farqlanadigan xarita ${ displaystyle f: M to N}$ o'rtasida farqlanadigan manifoldlar bir nuqtada ${ displaystyle p in M}$ bo'ladi daraja ning lotin ning ${ displaystyle f}$ da ${ displaystyle p}$. Eslatib o'tamiz ${ displaystyle f}$ da ${ displaystyle p}$ a chiziqli xarita

${ displaystyle d_ {p} f: T_ {p} M to T_ {f (p)} N ,}$

dan teginsli bo'shliq da p tangens kosmosga f(p). O'rtasida chiziqli xarita sifatida vektor bo'shliqlari u aniq belgilangan darajaga ega, bu shunchaki o'lchov ning rasm yilda T_f(p)N:

${ displaystyle operator nomi {rank} (f) _ {p} = dim ( operator nomi {im} (d_ {p} f)).}$

Doimiy darajadagi xaritalar

Differentsial xarita f : M → N bor deyiladi doimiy daraja agar unvon f hamma uchun bir xildir p yilda M. Doimiy darajadagi xaritalar bir qator yaxshi xususiyatlarga ega va bu muhim tushunchadir differentsial topologiya.

Doimiy darajadagi xaritalarning uchta maxsus holati yuzaga keladi. Doimiy tartib xaritasi f : M → N bu

• an suvga cho'mish agar daraja bo'lsa f = xira M (ya'ni lotin hamma joyda in'ektsion ),
• a suvga botish agar daraja bo'lsa f = xira N (ya'ni lotin hamma joyda shubhali ),
• a mahalliy diffeomorfizm agar daraja bo'lsa f = xira M = xira N (ya'ni lotin hamma joyda ikki tomonlama ).

Xarita f ushbu shartlarning bajarilishi uchun o'zi injektsion, surjective yoki bijective bo'lishi shart emas, faqat lotin xulq-atvori muhimdir. Masalan, immersion bo'lmagan va immersion bo'lmagan ukol xaritalari mavjud. Ammo, agar f : M → N bu doimiy darajadagi silliq xarita

• agar f in'ektsion - bu suvga cho'mish,
• agar f u sur'ektivdir, bu suvga cho'mish,
• agar f bu ikki tomonlama diffeomorfizm.

Doimiy darajadagi xaritalar jihatidan yaxshi tavsifga ega mahalliy koordinatalar. Aytaylik M va N o'lchamlarning silliq manifoldlari m va n navbati bilan va f : M → N doimiy martabali silliq xarita k. Keyin hamma uchun p yilda M mavjud koordinatalar (x¹, ..., x^m) markazida p va koordinatalar (y¹, ..., yⁿ) markazida f(p) shu kabi f tomonidan berilgan

${ displaystyle f (x ^ {1}, ldots, x ^ {m}) = (x ^ {1}, ldots, x ^ {k}, 0, ldots, 0) ,}$

ushbu koordinatalarda.

Misollar

Gimbal qulf sodir bo'lganligi sababli paydo bo'ladi T³ → RP³ barcha nuqtalarda 3 darajaga ega emas. Ushbu animatsiya ruxsat berish uchun birgalikda o'rnatilgan uchta gimbals to'plamini namoyish etadi uchta umumiy darajadagi erkinlik darajasi (odatdagi nuqtalarda 3-daraja). Uch gimbal ham bir qatorda (bir tekislikda) tuzilganida, tizim bu konfiguratsiyadan faqat ikkita o'lchamda harakat qilishi mumkin, uchtasi emas - bunday singular nuqtada u 2-darajaga ega - va gimbal qulf. Bunday holda u balandlashi yoki yawlashi mumkin, lekin aylanmaydi (o'qlarning hammasi joylashgan tekislikda aylantiring).

Darajasi odatda maksimal darajada bo'lgan, lekin ma'lum bir nuqtada pasayadigan xaritalar tez-tez uchraydi koordinatali tizimlar. Masalan, ichida sferik koordinatalar, xaritaning ikki burchakdan sharga nuqtaga qadar darajasi (rasmiy ravishda xarita T² → S² dan torus sharga) muntazam nuqtalarda 2 ga teng, ammo shimoliy va janubiy qutblarda atigi 1 ga teng (zenit va nodir ).

Nozik misolda paydo bo'ladi SO bo'yicha jadvallar (3), aylanish guruhi. Ushbu guruh 3 o'lchovli aylanishlar juda ko'p ishlatilganligi sababli muhandislikda keng tarqalgan navigatsiya, dengiz muhandisligi va aerokosmik muhandislik, boshqa ko'plab foydalanish qatorida. Topologik jihatdan SO (3) - bu haqiqiy proektsion makon RP³, va odatda aylanishlarni uchta raqamlar to'plami bilan ifodalash maqsadga muvofiqdir Eylerning burchaklari (ko'plab variantlarda), chunki bu kontseptual jihatdan sodda va uchta kombinatsiyani qurish mumkin gimbals uch o'lchamdagi aylanishlarni ishlab chiqarish uchun. Topologik jihatdan bu 3-torus xaritasiga to'g'ri keladi T³ haqiqiy proektsion maydonga uchta burchakning RP³ aylanmalar soni, ammo bu xarita hamma nuqtalarda 3-darajaga ega emas (rasmiy ravishda u a bo'lishi mumkin emas qoplama xaritasi, faqat bitta (ahamiyatsiz) qamrab oluvchi kosmik bu giperfera S³) va ma'lum bir nuqtada daraja 2 ga tushish hodisasi muhandislikda shunday deyiladi gimbal qulf.

Adabiyotlar

• Li, Jon (2003). Smooth manifoldlarga kirish. Matematikadan aspirantura matnlari 218. Nyu-York: Springer. ISBN  978-0-387-95495-0.