Kontur integrali yordamida chiqarilishi mumkin bo'lgan nuqta tashqarisidagi holomorf funktsiyani Laurent kengayishida −1 tartib davri koeffitsienti
Yilda matematika, aniqrog'i kompleks tahlil, qoldiq a murakkab raqam ga mutanosib kontur integral a meromorfik funktsiya uning birini qamrab olgan yo'l bo'ylab o'ziga xoslik. (Umuman olganda, qoldiqlarni har qanday funktsiya uchun hisoblash mumkin
anavi holomorfik alohida nuqtalardan tashqari {ak}k, hatto ularning ba'zilari bo'lsa ham muhim o'ziga xoslik.) Qoldiqlarni juda oson hisoblash mumkin va ma'lum bo'lganidan so'ng, umumiy kontur integrallarini aniqlash orqali qoldiq teoremasi.
Ta'rif
A ning qoldig'i meromorfik funktsiya
an izolyatsiya qilingan o'ziga xoslik
, ko'pincha belgilanadi
yoki
, noyob qiymatdir
shu kabi
bor analitik antivivativ a teshilgan disk
.
Shu bilan bir qatorda, qoldiqlarni topish orqali hisoblash mumkin Loran seriyasi kengayish va qoldiqni koeffitsient sifatida aniqlash mumkin a−1 Laurent seriyasidan.
Qoldiqning ta'rifi o'zboshimchalik bilan umumlashtirilishi mumkin Riemann sirtlari. Aytaylik
a 1-shakl Riemann yuzasida. Ruxsat bering
bir nuqtada meromorfik bo'ling
, yozishimiz uchun
sifatida mahalliy koordinatalarda
. Keyin qoldiq
da
ning qoldig'i ekanligi aniqlanadi
ga mos keladigan nuqtada
.
Misollar
Monomial qoldiq
A ning qoldiqlarini hisoblash monomial
![{ displaystyle oint _ {C} z ^ {k} , dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07f2bb2366cc946ca30be753e8eb0d926d36744)
qoldiq hisob-kitoblarning ko'pini bajarishni osonlashtiradi. Yo'lni integral hisoblashlari sababli homotopiya o'zgarmas, biz ruxsat beramiz
radiusi bo'lgan aylana bo'ling
. Keyin, koordinatalarning o'zgarishini ishlatib
biz buni topamiz
![{ displaystyle dz dan d (e ^ {i theta}) = ya'ni ^ {i theta} , d theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27fe948c200cd414cb666d7b6f39ad04ba2c54)
shuning uchun bizning integralimiz endi o'qiydi
![{ displaystyle oint _ {C} z ^ {k} dz = int _ {0} ^ {2 pi} ie ^ {i (k + 1) theta} , d theta = { begin { case} 2 pi i & { text {if}} k = -1, 0 & { text {aks holda}}. end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad1f852b1dba24f247f8b1b28ea06767bfd7c71)
Monomial qoldiqni qo'llash
Misol tariqasida kontur integral
![oint _ {C} {e ^ {z} over z ^ {5}} , dz](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a77dad0024b956391a788fe86b39e0676d169f)
qayerda C ba'zi oddiy yopiq egri chiziq taxminan 0.
Keling, ushbu integralni ketma-ket integratsiya haqidagi standart konvergentsiya natijasi yordamida baholaylik. Biz o'rnini bosishimiz mumkin Teylor seriyasi uchun
integralga. Keyinchalik integral bo'ladi
![oint _ {C} {1 over z ^ {5}} left (1 + z + {z ^ {2} over 2!} + {z ^ {3} over 3!} + {z ^ { 4} 4 dan yuqori!} + {Z ^ {5} 5 dan yuqori!} + {Z ^ {6} 6 yoshdan yuqori!} + Cdots o'ng) , dz.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0000b5b221ac208372b7af248080a6ac0f28e9d2)
Keling, 1 /z5 ketma-ketlikdagi omil. Keyin ketma-ket kontur integrali yozadi
![{ displaystyle { begin {aligned} & oint _ {C} left ({1 over z ^ {5}} + {z over z ^ {5}} + {z ^ {2} over over ! ; z ^ {5}} + {z ^ {3} 3 yoshdan yuqori! ; z ^ {5}} + {z ^ {4} 4 yoshdan yuqori! ; z ^ {5}} + {z ^ {5} 5 dan yuqori! ; Z ^ {5}} + {z ^ {6} 6 dan ortiq! ; Z ^ {5}} + cdots right) , dz [4pt] = {} & oint _ {C} left ({1 over ; z ^ {5}} + {1 over ; z ^ {4}} + {1 over 2! ; z ^ {3 }} + {1 3 dan yuqori! ; Z ^ {2}} + {1 4 dan yuqori! ; Z} + {1 over ; 5!} + {Z 6 dan yuqori!} + Cdots o'ng) , dz. end {hizalangan}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b09463f46e4136ed8344f2e394e8a558f240a55)
Seriya integratsiyalashuv yo'lining qo'llab-quvvatlashi bo'yicha bir xil darajada yaqinlashganligi sababli, biz integratsiya va yig'indilarni almashtirishga ruxsat beramiz. So'ngra yo'l integrallari ketma-ketligi avvalgi hisoblash tufayli ancha sodda shaklga tushadi. Shunday qilib, endi integral C shaklda bo'lmagan har qanday boshqa atamalardan cz−1 nolga teng, integral esa ga kamaytiriladi
![{ displaystyle oint _ {C} {1 4 dan yuqori! ; z} , dz = {1 4 dan yuqori!} oint _ {C} {1 over z} , dz = {1 over 4!} (2 pi i) = { pi i 12} dan yuqori.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c1bebaae80a9bc3ac0d03794abb6fba18a11c6)
Qiymat 1/4! bo'ladi qoldiq ning ez/z5 da z = 0, va belgilanadi
![{ displaystyle operator nomi {Res} _ {0} {e ^ {z} over z ^ {5}}, { text {or}} operator nomi {Res} _ {z = 0} {e ^ {z } over z ^ {5}}, { text {or}} operatorname {Res} (f, 0) { text {for}} f = {e ^ {z} over z ^ {5}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c943b1608c23ecec78fd6117245346d466e6a5bf)
Qoldiqlarni hisoblash
Aytaylik teshilgan disk D. = {z : 0 < |z − v| < R} kompleks tekislikda va berilgan f a holomorfik funktsiya belgilangan (hech bo'lmaganda) kuni D.. Qoldiq qoldig'i (f, v) ning f da v bu koeffitsient a−1 ning (z − v)−1 ichida Loran seriyasi kengayishi f atrofida v. Ushbu qiymatni hisoblash uchun turli xil usullar mavjud va qaysi usuldan foydalanishni tanlash ko'rib chiqilayotgan funktsiyaga va o'ziga xoslik xususiyatiga bog'liq.
Ga ko'ra qoldiq teoremasi, bizda ... bor:
![{ displaystyle operatorname {Res} (f, c) = {1 over 2 pi i} oint _ { gamma} f (z) , dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2bb730a3baa8a31d174c87c7b1981b958bff2d5)
qayerda γ atrofida aylanani kuzatib boradi v soat sohasi farqli ravishda. Biz yo'lni tanlashimiz mumkin γ radius doirasi bo'lish ε atrofida v, qayerda ε biz xohlagan darajada kichik. Bu integralni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash mumkin bo'lgan holatlarda hisoblash uchun ishlatilishi mumkin, ammo odatda qoldiqlar integrallarni hisoblashni soddalashtirish uchun ishlatiladi, aksincha emas.
Olib tashlanadigan o'ziga xosliklar
Agar funktsiya bo'lsa f bolishi mumkin davom etdi a holomorfik funktsiya butun diskda
, keyin Res (f, v) = 0. Aksincha, aksincha, to'g'ri emas.
Oddiy ustunlar
A oddiy qutb v, qoldiq f tomonidan berilgan:
![operatorname {Res} (f, c) = lim _ {z to c} (z-c) f (z).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c77989d4967c0c228f0823d85fc6911773e4ab)
Bu funktsiya bo'lishi mumkin f ikkita funktsiya miqdori sifatida ifodalanishi mumkin,
, qayerda g va h bor holomorfik funktsiyalar a Turar joy dahasi ning v, bilan h(v) = 0 vah '(v) ≠ 0. Bunday holatda, L'Hopitalning qoidasi yuqoridagi formulani soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin:
![{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Res} (f, c) & = lim _ {z to c} (zc) f (z) = lim _ {z to c} { frac {zg (z) -cg (z)} {h (z)}} [4pt] & = lim _ {z to c} { frac {g (z) + zg '(z) -cg '(z)} {h' (z)}} = { frac {g (c)} {h '(c)}}. end {hizalangan}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cb4655fbceb73b05badb56c402e796553ac2d1)
Yuqori darajadagi ustunlar uchun cheklangan formulalar
Umuman olganda, agar v a qutb tartib n, keyin qoldiq f atrofida z = v quyidagi formula bilan topish mumkin:
![{ Displaystyle operator nomi {Res} (f, c) = { frac {1} {(n-1)!}} lim _ {z to c} { frac {d ^ {n-1}} {dz ^ {n-1}}} chap ((zc) ^ {n} f (z) o'ng).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f44e0a17959301a72cd92e589aeaf2e5098767e)
Ushbu formula past tartibli qutblar qoldiqlarini aniqlashda juda foydali bo'lishi mumkin. Yuqori darajadagi ustunlar uchun hisob-kitoblar boshqarib bo'lmaydigan bo'lib qolishi mumkin va ketma-ket kengayish odatda osonroq bo'ladi. Uchun muhim o'ziga xoslik, bunday oddiy formula mavjud emas va qoldiqlar odatda to'g'ridan-to'g'ri ketma-ket kengayishdan olinishi kerak.
Cheksizlikdagi qoldiq
Umuman olganda abadiy qoldiq tomonidan berilgan:
![{ displaystyle operator nomi {Res} (f (z), infty) = - operator nomi {Res} chap ({ frac {1} {z ^ {2}}} f chap ({ frac {1) } {z}} o'ng), 0 o'ng).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8d30a6f02f1aed3ecaeb0862ea07721f712b4f)
Agar quyidagi shart bajarilsa:
![{ displaystyle lim _ {| z | to infty} f (z) = 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a4e84489a680fffcd78708d74784da24bd81ba)
keyin abadiy qoldiq quyidagi formuladan foydalanib hisoblash mumkin:
![{ displaystyle operatorname {Res} (f, infty) = - lim _ {| z | to infty} z cdot f (z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6296a87e4a9f756aa65552e6c796db6d347dde5)
Buning o'rniga
![{ displaystyle lim _ {| z | to infty} f (z) = c neq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344070915da9eabeae68c835246cf4ca4ab8f723)
keyin abadiy qoldiq bu
![{ displaystyle operatorname {Res} (f, infty) = lim _ {| z | to infty} z ^ {2} cdot f '(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97b2defa6ef84edb84e67b9de7ca9cdb694957c)
Ketma-ket usullar
Agar funktsiyalarning bir qismi yoki barchasi a ga kengaytirilishi mumkin bo'lsa Teylor seriyasi yoki Loran seriyasi, agar bu qismlar yoki butun funktsiya standart ketma-ket kengayishga ega bo'lsa, mumkin bo'lishi mumkin, keyin qoldiqni hisoblash boshqa usullarga qaraganda ancha sodda.
- Birinchi misol sifatida qoldiqlarni funktsiyalarning birliklari bo'yicha hisoblashni ko'rib chiqing
![{ displaystyle f (z) = { sin z over z ^ {2} -z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6837fee278a6c2fa963e97e9dd079569aea7216)
bu ma'lum kontur integrallarini hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Ushbu funktsiya at singularityga o'xshaydi z = 0, lekin agar bitim ajratuvchini faktorizatsiya qilsa va shu bilan funktsiyani quyidagicha yozsa
![{ displaystyle f (z) = { sin z over z (z-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea706753a80cd0b8552d744bd4d545a92832abd5)
ning o'ziga xosligi aniq z = 0 - bu a olinadigan o'ziga xoslik va keyin qoldiq z = 0 shuning uchun 0 bo'ladi.
Boshqa yagona o'ziga xoslik - bu z = 1. Funksiya uchun Teylor seriyasining ifodasini eslang g(z) haqida z = a:
![g (z) = g (a) + g '(a) (za) + {g' '(a) (za) ^ {2} over 2!} + {g' '' (a) (za) ^ {3} 3 dan ortiq!} + Cdots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b965178a995efefbdb1ca3210ddf3b68005b09)
Shunday qilib, uchun g(z) = gunohz va a = Bizda 1
![{ displaystyle sin z = sin 1 + ( cos 1) (z-1) + {- ( sin 1) (z-1) ^ {2} over 2!} + {- ( cos 1 ) (z-1) ^ {3} 3 dan ortiq!} + cdots.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbefd7f01c95451baa8778794c54aa8827a0098)
va uchun g(z) = 1/z va a = Bizda 1
![{ displaystyle { frac {1} {z}} = { frac {1} {(z-1) +1}} = 1- (z-1) + (z-1) ^ {2} - ( z-1) ^ {3} + cdots.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639e34e4714cd22e3c73d5997745d4d4f1cf2cff)
Ushbu ikkita seriyani ko'paytirib, 1 / (z - 1) bizga beradi
![{ displaystyle { frac { sin z} {z (z-1)}} = { sin 1 over z-1} + ( cos 1- sin 1) + (z-1) left ( - { frac { sin 1} {2!}} - cos 1+ sin 1 right) + cdots.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afe6ef474d2a1fa03d82aba4a8ae8a85a8564c4)
Shunday qilib, qoldiq f(z) da z = 1 gunoh 1. - Keyingi misol shuni ko'rsatadiki, qoldiqni ketma-ket kengayish bilan hisoblashda katta rol o'ynaydi Lagranj inversiya teoremasi. Ruxsat bering
![{ displaystyle u (z): = sum _ {k geq 1} u_ {k} z ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206af1c62288050577641b65c8f760f3393fc884)
bo'lish butun funktsiya va ruxsat bering![{ displaystyle v (z): = sum _ {k geq 1} v_ {k} z ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e801400e098baa576b4ff9b96f11982ff4e86a)
yaqinlashuvning ijobiy radiusi bilan va
. Shunday qilib
mahalliy teskari tomonga ega
0 da va
bu meromorfik 0 da. Keyin bizda:![{ displaystyle operatorname {Res} _ {0} { big (} u (1 / V (z)) { big)} = sum _ {k = 0} ^ { infty} ku_ {k} v_ {k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc0fc98edd7c65e002a6af6d76dfe2c56ebfcc5)
Haqiqatdan ham,![{ displaystyle operatorname {Res} _ {0} { big (} u (1 / V (z)) { big)} = = operatorname {Res} _ {0} left ( sum _ {k ) geq 1} u_ {k} V (z) ^ {- k} right) = sum _ {k geq 1} u_ {k} operatorname {Res} _ {0} { big (} V (z) ) {{- k} { big)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1f63ed2342c517b112552e7b0716795b7867b7)
chunki birinchi qator 0 atrofidagi har qanday kichik aylanaga teng ravishda birlashadi. Lagranj inversiya teoremasidan foydalangan holda![{ displaystyle operatorname {Res} _ {0} { big (} V (z) ^ {- k} { big)} = kv_ {k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e910d379fdf7cce12b9fc07317472049a7a4dbb2)
va biz yuqoridagi ifodani olamiz. Masalan, agar
va shuningdek
, keyin![{ displaystyle V (z) = { frac {2z} {1 + { sqrt {1 + 4z}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618b5ad9a5bcceb281ad27ca5c64056ff8c48e07)
va![{ displaystyle u (1 / V (z)) = { frac {1 + { sqrt {1 + 4z}}} {2z}} + { frac {1 + 2z + { sqrt {1 + 4z}} } {2z ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d1afaf83d02a58a88135987ed1de12e827c8f4)
Birinchi muddat qoldiqqa 1 hissa qo'shadi, ikkinchi muddat esa asimptotik bo'lgani uchun 2 hissa qo'shadi
Shunga e'tibor bering, shunga mos keladigan nosimmetrik taxminlar bilan
va
, u ham quyidagicha![{ displaystyle operator nomi {Res} _ {0} chap (u (1 / V) o'ng) = operator nomi {Res} _ {0} chap (v (1 / U) o'ng),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746a8d0dc5ead7e6bcce3e4efb841affaab97cb6)
qayerda
ning mahalliy teskari tomoni
0 da.
Shuningdek qarang
Adabiyotlar
Tashqi havolalar