Rooks grafigi - Rooks graph - Wikipedia

Ruk grafigi
	8x8 Ruk grafigi
Vertices	nm
Qirralar	nm(n + m)/2 − nm
Diametri	2
Atrof	3 (agar maksimal (n, m) ≥ 3)
Xromatik raqam	maksimal (n, m)
Xususiyatlari	muntazam,; vertex-tranzitiv,; mukammal; yaxshi qoplangan
	Grafiklar va parametrlar jadvali

Yilda grafik nazariyasi, a rook grafigi ning barcha qonuniy harakatlarini aks ettiruvchi grafik qal'a shaxmat parcha a shaxmat taxtasi. Rok grafigining har bir tepasi shaxmat taxtasidagi kvadratni, har bir qirrasi esa bir kvadratdan boshqasiga qonuniy harakatlanishni anglatadi. Xuddi shu grafikalar matematik jihatdan Kartezian mahsulotlari ikkitadan to'liq grafikalar yoki sifatida chiziqli grafikalar ning to'liq ikki tomonlama grafikalar.

Rukning grafikalari juda nosimmetrikdir. To'rtburchak shaxmat taxtalari uchun ular masofadan o'tuvchi grafikalar va masofadan muntazam grafikalar, nisbatan ustun o'lchamlari bo'lgan to'rtburchaklar shaxmat taxtalari uchun esa aylanma grafikalar.Ularni har bir qirraga tegishli bo'lgan uchburchaklar soni va a mavjudligi bilan tavsiflash mumkin $4$ - har bir qo'shni bo'lmagan tepalik juftligini bog'laydigan velosiped.

Rukning grafikalari mukammal grafikalar, ya'ni ularning induktsiya qilingan subgraflar (ikki tomonlama grafiklarning chiziqli grafikalari) barchasi mavjud xromatik raqam ularga teng klik raqami.Rok grafikalarining induktsiyalangan subgrafalari bu isbotlash uchun ishlatiladigan mukammal grafikalar dekompozitsiyasining asosiy tarkibiy qismlaridan birini tashkil etadi. kuchli mukammal grafik teoremasi barcha mukammal grafikalarni tavsiflovchi mustaqillik raqami va hukmronlik raqami Rok grafigining ikkala o'lchamining ikkitasi kichikroq bo'ladi va ular quyidagicha yaxshi yopilgan grafikalar bu har bir narsani anglatadi mustaqil to'plam ga kengaytirilishi mumkin maksimal mustaqil to'plam.

Ta'rif

An $n \times m$ rook grafigi roukning an-da harakatlarini aks ettiradi $n \times m$ shaxmat taxtasi.^[1]Uning tepalariga koordinatalar berilishi mumkin $(x, y)$ , qayerda $1 \leq x \leq n$ va $1 \leq y \leq m$ . Ikki tepalik $(x 1, y 1)$ va $(x 2, y 2)$ va faqat ikkalasi ham qo'shni $x 1 = x 2$ yoki $y 1 = y 2$ ; ya'ni agar ular bir xil darajaga yoki shaxmat taxtasining bir xil fayliga tegishli bo'lsa.^[1]

Uchun $n \times m$ rook grafigi vertikalarning umumiy soni oddiygina $nm$ . Uchun $n \times n$ rook grafigi vertikalarning umumiy soni oddiygina $n 2$ va qirralarning umumiy soni $n 3 - n 2$ ; bu holda grafik ikki o'lchovli deb ham nomlanadi Hamming grafigi^[2] yoki a Lotin maydoni grafik^[3]

An uchun grafika grafigi $n \times m$ shaxmat taxtasi sifatida ham belgilanishi mumkin Dekart mahsuloti ikkitadan to'liq grafikalar $K n$ va $K m$ , kabi bitta formulada ifodalangan $K n ◻ K m$ . The komplekt grafigi a $2 \times n$ rook grafigi toj grafigi.

Kuchli muntazamlik

Oy (1963) va Xofman (1964) kuzatib boring ${ displaystyle m marta n}$ rook grafigi quyidagi barcha xususiyatlarga ega:

Unda bor ${ displaystyle mn}$ har biri qo'shni bo'lgan tepaliklar ${ displaystyle m + n-2}$ qirralar.
Qachon ${ displaystyle m neq n}$ , aniq ${ displaystyle n { tbinom {m} {2}}}$ qirralar tegishli ${ displaystyle m-2}$ uchburchaklar va qolganlari ${ displaystyle m { tbinom {n} {2}}}$ qirralar tegishli ${ displaystyle n-2}$ uchburchaklar. Qachon ${ displaystyle m = n}$ , har bir chekka tegishli ${ displaystyle m-2 = n-2}$ uchburchaklar.
Bir-biriga qo'shni bo'lmagan har ikki tepalik noyobga tegishli ${ displaystyle 4}$ -vertex tsikl.

Ular ko'rsatganidek, bundan mustasno ${ displaystyle m = n = 4}$ , bu xususiyatlar rouk grafigini o'ziga xos tarzda tavsiflaydi. Ya'ni, roukning grafikalari bu xususiyatlarning barchasiga bo'ysunadigan yagona grafikalardir.^[4]^[5]

Qachon ${ displaystyle m = n}$ , bu shartlar an degani bilan qisqartirilishi mumkin ${ displaystyle n times n}$ rook grafigi qat'iy muntazam grafik parametrlari bilan ${ displaystyle operator nomi {srg} (n ^ {2}, 2n-2, n-2,2)}$ .^[1] Aksincha, ushbu parametrlarga ega bo'lgan har bir qat'iy muntazam grafik an bo'lishi kerak ${ displaystyle n times n}$ agar bo'lmasa, rook grafigi ${ displaystyle n = 4}$ .^[4]^[5]

The Shrikhand grafigi torusga o'rnatilgan. Bu roukning grafigi emas, lekin xuddi shunday parametrlarga ega

{ displaystyle 4 marta 4}

rook grafigi.

Qachon ${ displaystyle n = 4}$ , yana bir kuchli muntazam grafik mavjud Shrikhand grafigi, bilan bir xil parametrlarga ega ${ displaystyle 4 marta 4}$ rook grafigi.^[6]Shrikxand grafigi Oy va Mozer tomonidan sanab o'tilgan xususiyatlarga bo'ysunadi. Buni farqlash mumkin ${ displaystyle 4 marta 4}$ rook grafigi Turar joy dahasi Shrikxand grafigidagi har bir tepalikning a hosil bo'lishi uchun bog'langan ${ displaystyle 6}$ - velosiped. Aksincha, ${ displaystyle 4 marta 4}$ rook grafigi, har bir tepalikning mahallasi bir-biridan uzilgan ikkita uchburchakni tashkil qiladi.^[7] Shu bilan bir qatorda, ular o'zlari bilan ajralib turishi mumkin klik qopqoq raqamlar: the ${ displaystyle n = 4}$ rook grafigi to'rtta klik (to'rt qator yoki to'rtta ustun) bilan qoplanishi mumkin, Shrixand grafigini qoplash uchun oltita klik kerak.^[6]

Simmetriya

Rukning grafikalari vertex-tranzitiv va ${ displaystyle (m + n-2)}$ -muntazam; ular shu tarzda standart shaxmat donalarining harakatlaridan hosil bo'lgan yagona muntazam grafikalardir.^[8] Qachon ${ displaystyle m neq n}$ , graf grafigining simmetriyalari grafika qatorlari va ustunlarini mustaqil ravishda almashtirish orqali hosil bo'ladi, shuning uchun avtomorfizm guruhi grafigi bor ${ displaystyle m! n!}$ elementlar. Qachon ${ displaystyle m = n}$ , grafada qatorlar va ustunlarni almashtiradigan qo'shimcha simmetriya mavjud, shuning uchun avtomorfizmlar soni ${ displaystyle 2n! ^ {2}}$ .^[9]

Rok grafigidagi har qanday ikkita tepalik, ular mos ravishda qo'shni yoki qo'shni bo'lmaganligiga qarab, bir-biridan bir yoki ikki masofada joylashgan. Grafaning simmetriyasi bilan har qanday ikkita qo'shni bo'lmagan tepaliklar boshqa ikkita qo'shni bo'lmagan tepaliklarga aylantirilishi mumkin. Qal'aning grafigi to'rtburchak bo'lmaganda, qo'shni tepaliklarning juftlari ikkiga bo'linadi orbitalar simmetriya guruhining gorizontal yoki vertikal ravishda qo'shni bo'lishiga qarab, lekin grafigi kvadrat bo'lsa, har qanday ikkita qo'shni tepalik ham bir-biriga simmetriya bilan bog'lanishi mumkin va shuning uchun grafik masofadan o'tish.^[10]

Qachon ${ displaystyle m}$ va ${ displaystyle n}$ bor nisbatan asosiy, simmetriya guruhi ${ displaystyle S_ {m} marta S_ {n}}$ rook grafigida kichik guruh mavjud tsiklik guruh ${ displaystyle C_ {mn} = C_ {m} marta C_ {n}}$ bu harakat qiladi davriy ravishda almashtirish orqali ${ displaystyle mn}$ tepaliklar; shuning uchun, bu holda, roukning grafigi a aylanma grafigi.^[11]

Kvadrat roukning grafikalari bog'langan-bir hil, demak, ikkita induktsiya qilingan subgrafalar orasidagi har bir izomorfizm butun grafaning avtomorfizmiga qadar kengayishi mumkin.^[12]

Barkamollik

3 × 3 grafigi grafigi (ning grafigi 3-3 duoprizm ), uchta rang bilan bo'yalgan va uchta tepalik klikasini ko'rsatgan. Ushbu grafada va uning induktsiyalangan har bir subgrafasida kromatik raqam klik soniga teng keladi, shuning uchun u mukammal grafikadir.

Rok grafigini ham chiziqli grafik a to'liq ikki tomonlama grafik $K n, m$ - ya'ni har bir qirrasi uchun bitta tepalik bor $K n, m$ , va agar to'liq bipartitli grafaning tegishli qirralari umumiy so'nggi nuqtaga ega bo'lsagina, rook grafigining ikkita tepasi qo'shni.^[13] Ushbu ko'rinishda to'liq bipartit grafadagi chekka $men$ Ikki qismning bir tomonidagi th vertex ga to $j$ ikkinchi tomondan vertikal koordinatalari bo'lgan shaxmat taxtasi maydoniga to'g'ri keladi $(men, j)$ .^[1]

Har qanday ikki tomonlama grafik a subgraf to'liq ikki tomonlama grafikning va shunga mos ravishda ikki tomonlama grafikning har qanday chiziqli grafigi induktsiya qilingan subgraf rouk grafigi.^[14] Ikki tomonlama grafiklarning chiziqli grafikalari mukammal: ularda va ularning har qanday subgrafalarida, har birida kerakli ranglar soni vertexni bo'yash eng kattasi tepalar soni bilan bir xil to'liq subgraf. Ikki tomonlama grafiklarning chiziqli grafikalari muhim mukammal grafikalar oilasini tashkil etadi: ular tomonidan ishlatiladigan oz sonli oilalardan biri Chudnovskiy va boshq. (2006) mukammal grafikalarni tavsiflash va g'alati teshiksiz va g'alati teshikka ega bo'lmagan har bir grafik mukammalligini ko'rsatish.^[15] Xususan, roukning grafikalari o'zlari uchun mukammaldir.

Rokning grafigi mukammal bo'lganligi sababli, grafaning har qanday rang berishida zarur bo'lgan ranglar soni shunchaki eng katta klik o'lchamiga teng. Rok grafigining kliklari uning qatorlari va ustunlarining pastki to'plamlari bo'lib, ularning eng kattasi o'lchamga ega $maksimal (m, n)$ , shuning uchun bu grafikning xromatik soni. An $n$ - rangni bo'yash $n \times n$ rook grafigi a deb talqin qilinishi mumkin Lotin maydoni: an satrlari va ustunlarini to'ldirish usulini tasvirlaydi $n \times n$ bilan panjara $n$ har xil satr yoki ustunda bir xil qiymat ikki marta ko'rinmasligi uchun turli xil qiymatlarni.^[16] Rok grafigining optimal rangini topish to'g'ri bo'lsa-da, bu shunday To'liq emas qisman rang berish butun grafigi rang berishgacha cho'zilishi mumkinligini aniqlash uchun (bu muammo deyiladi oldingi rangni kengaytirish ). Bunga teng ravishda, qisman Lotin kvadratini to'liq Lotin kvadratiga to'ldirish mumkinmi yoki yo'qligini aniqlash uchun NP tugallangan.^[17]

Mustaqillik

	a	b	v	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	v	d	e	f	g	h

Shaxmat taxtasida sakkizta rokning hujumsiz joylashishi, tegishli rok grafikasida maksimal mustaqil to'plamni shakllantirish

An mustaqil to'plam roukning grafikasida vertikallar to'plami mavjud, ularning ikkitasi ham grafikaning bir qatoriga yoki ustuniga tegishli emas; shaxmat nuqtai nazaridan, bu ikkitasi bir-biriga hujum qiladigan rooklarning joylashishiga to'g'ri keladi. Barkamol grafikalar, shuningdek, har bir induktsiyalangan subgrafada eng katta mustaqil to'plamning kattaligi, grafika vertikallarining minimal klik soniga bo'linishidagi sonlar soniga teng bo'lgan grafikalar deb ham ta'riflanishi mumkin. Rok grafikasida satrlar to'plami yoki ustunlar to'plami (qaysi biri kamroq bo'lsa) shunday maqbul bo'limni tashkil qiladi. Shuning uchun grafadagi eng katta mustaqil to'plamning kattaligi $min (m, n)$ .^[1] Rok grafigining har bir optimal rangidagi har bir rang sinfi maksimal mustaqil to'plamdir.

Rukning grafikalari yaxshi yopilgan grafikalar: har bir mustaqil to'plam rook grafigida maksimal mustaqil to'plamga va har biriga kengaytirilishi mumkin maksimal mustaqil to'plam rookning grafikasida bir xil o'lchamga ega, $min (m, n)$ .^[18]

Hukmronlik

The hukmronlik raqami grafika - bu barcha ustun ustunlar orasidagi minimal kardinallik. Rok grafasida tepaliklar to'plami ustunlik qiladi, agar ularga mos keladigan kvadratlar egallasa yoki qaroqchidan uzoqroq bo'lsa, barcha kvadratchalar $m \times n$ taxta. Uchun $m \times n$ hukmronlik raqami $min (m, n)$ .^[19]

Rok grafasida a $k$ - dominantlar to'plami - bu mos keladigan kvadratlar hech bo'lmaganda boshqa kvadratlarga (rookning harakati orqali) hujum qiladigan tepalar to'plami $k$ marta. A $k$ - tepalik grafigidagi ustunlik to'plami - bu mos keladigan kvadratlar kamida boshqa kvadratlarga hujum qiladigan tepalar to'plami. $k$ marta va o'zlariga hech bo'lmaganda hujum qilishadi $k - 1$ marta. Hamma orasida minimal kardinallik $k$ - hukmronlik qiluvchi va $k$ -tupl dominant to'plamlari $k$ -dominatsiya raqami va $k$ - tegishlicha ustunlik raqami. Kvadrat taxtada va hatto uchun $k$ , $k$ -dominatsiya raqami $nk /2$ qachon $n \geq (k 2 - 2 k)/4$ va $k < 2 n$ . Shunga o'xshash tarzda, $k$ -tupl ustunlik soni $n (k + 1)/2$ qachon $k$ toq va undan kichik $2 n$ .^[20]

Shuningdek qarang

3-3 duoprizm

3-3 duoprizm, ega bo'lgan 4 o'lchovli politop ${ displaystyle 3 marta 3}$ rook grafigi uning tepalari va qirralarining grafigi sifatida
Kingning grafigi va Ritsar grafigi, shaxmat donalarining harakatlaridan aniqlangan yana ikkita grafik
Panjara grafigi, shaxmat taxtasidagi kvadratlarning gorizontal va vertikal qo'shni grafigi
Sudoku grafigi, teng bo'lmagan qiymatlarga ega bo'lishi kerak bo'lgan Sudoku jumboqining kvadratlarini birlashtirgan Rook grafigi supergrafasi

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v ^d ^e Laskar, Renu; Uollis, Charlz (1999), "Shaxmat taxtasi grafikalari, tegishli dizaynlar va ustunlik parametrlari", Statistik rejalashtirish va xulosalar jurnali, 76 (1–2): 285–294, doi:10.1016 / S0378-3758 (98) 00132-3, JANOB 1673351.
^ Azizoğlu, M. Jemil; Eğecioğlu, Ömer (2003), "Hamming grafikalarida o'lchov normallashtirilgan chegarasini minimallashtiradigan haddan tashqari to'plamlar", Diskret matematika bo'yicha SIAM jurnali, 17 (2): 219–236, doi:10.1137 / S0895480100375053, JANOB 2032290.
^ Goetals, J.-M .; Seidel, J. J. (1970), "Kombinatorial dizaynlardan olingan qat'iy muntazam grafikalar", Kanada matematika jurnali, 22 (3): 597–614, doi:10.4153 / CJM-1970-067-9, JANOB 0282872.
^ ^a ^b Moon, J. W. (1963), "To'liq bigrafning chiziqli grafasida", Matematik statistika yilnomalari, 34 (2): 664–667, doi:10.1214 / aoms / 1177704179.
^ ^a ^b Xofman, A. J. (1964), "To'liq ikki tomonlama grafikning chiziqli grafasida", Matematik statistika yilnomalari, 35 (2): 883–885, doi:10.1214 / aoms / 1177703593, JANOB 0161328.
^ ^a ^b Fiala, Nik S.; Haemers, Willem H. (2006), "5-xromatik kuchli muntazam grafikalar", Diskret matematika, 306 (23): 3083–3096, doi:10.1016 / j.disc.2004.03.023, JANOB 2273138.
^ Burichenko, V. P.; Maxnev, A. A. (2011), "Ob avtomorfizmax silno regulyarnyx lokalno tsiklicheskix grafikalar" [Kuchli muntazam lokal tsiklik grafiklarning avtomorfizmlari to'g'risida], Doklady Akademii Nauk (rus tilida), 441 (2): 151–155, JANOB 2953786. Tarjima qilingan Doklady matematikasi 84 (3): 778–782, 2011, doi:10.1134 / S1064562411070076. Tarjimaning birinchi sahifasidan: "Shrikhandegraf (16, 6, 2, 2) parametrlari bo'lgan yagona kuchli muntazam olti burchakli grafika".
^ Elkies, Noam, Grafik nazariyasi lug'ati.
^ Xarari, Frank (1958), "Ikki rangli grafikalar soni to'g'risida", Tinch okeanining matematika jurnali, 8 (4): 743–755, doi:10.2140 / pjm.1958.8.743, JANOB 0103834. Xususan (10) tenglamaga qarang, p. Ning avtomorfizm guruhi uchun 748 ${ displaystyle n times n}$ rook grafigi va ushbu guruh tartibi bo'yicha tenglama yuqoridagi munozara.
^ Biggs, Norman (1974), "Chiziqli grafikalar simmetriyasi", Utilitas Mathematica, 5: 113–121, JANOB 0347684.
^ Bu Rok grafigining Dekart bo'yicha mahsulot grafigi ta'rifidan kelib chiqib, 4 ning taklifi bilan birga Broer, Izak; Xettingh, Yoxannes H. (1990), "Sirkulyant grafikalar mahsulotlari", Quaestiones Mathematicae, 13 (2): 191–216, doi:10.1080/16073606.1990.9631612, JANOB 1068710.
^ Grey, R .; Macpherson, D. (2010), "Hisoblanadigan ulangan-bir hil grafikalar", Kombinatorial nazariya jurnali, B seriyasi, 100 (2): 97–118, doi:10.1016 / j.jctb.2009.04.002, JANOB 2595694. Ushbu grafikalarni to'liq bipartitli grafikalarning chiziqli grafikalari sifatida aniqlaydigan 1-teoremaga qarang.
^ To'liq grafikalar dekarti mahsulotlari va to'liq bipartitli grafikalar orasidagi tenglik uchun qarang de Verra, D .; Xertz, A. (1999), "Graflar yig'indisining mukammalligi to'g'risida" (PDF), Diskret matematika, 195 (1–3): 93–101, doi:10.1016 / S0012-365X (98) 00168-X, JANOB 1663807.
^ de Verra va Xertz (1999).
^ Chudnovskiy, Mariya; Robertson, Nil; Seymur, Pol; Tomas, Robin (2006), "Kuchli mukammal grafik teoremasi" (PDF), Matematika yilnomalari, 164 (1): 51–229, arXiv:matematik / 0212070, doi:10.4007 / annals.2006.164.51, JSTOR 20159988.
^ To'liq bipartitli grafikalar va lotin kvadratlari orasidagi tenglikni bilish uchun, masalan. LeSonnier, Timoti D.; Stoker, Kristofer; Venger, Pol S.; G'arbiy, Duglas B. (2010), "Yashil rangdagi grafika bilan kamalak mos keladi", Elektron kombinatorika jurnali, 17 (1): Izoh 26, 5, doi:10.37236/475, JANOB 2651735.
^ Colbourn, Charles J. (1984), "Lotin kvadratlarini qisman to'ldirishning murakkabligi", Diskret amaliy matematika, 8 (1): 25–30, doi:10.1016 / 0166-218X (84) 90075-1, JANOB 0739595.
^ To'liq bipartitli grafikalar bilan mos kelish nuqtai nazaridan, rook grafikalarining yaxshi yopilgan xususiyatiga teng keladigan ma'lumot uchun qarang. Sumner, Devid P. (1979), "Tasodifiy mos keladigan grafikalar", Grafika nazariyasi jurnali, 3 (2): 183–186, doi:10.1002 / jgt.3190030209, hdl:10338.dmlcz / 102236, JANOB 0530304.
^ Yaglom, A. M.; Yaglom, I. M. (1987), "34b muammoning echimi", Elementar echimlar bilan qiyin matematik masalalar, Dover, p. 77, ISBN 9780486318578.
^ Burchett, Pol; Leyn, Devid; Lachniet, Jeyson (2009), " $K$ - hukmronlik va $k$ - qasr grafigidagi ustunlik va boshqa natijalar ", Kongress Numerantium, 199: 187–204.

Tashqi havolalar

Vayshteyn, Erik V. "Panjara grafigi". MathWorld.

[lw-1] v ^d ^e Laskar, Renu; Uollis, Charlz (1999), "Shaxmat taxtasi grafikalari, tegishli dizaynlar va ustunlik parametrlari", Statistik rejalashtirish va xulosalar jurnali, 76 (1–2): 285–294, doi:10.1016 / S0378-3758 (98) 00132-3, JANOB 1673351.

[ae-2] Azizoğlu, M. Jemil; Eğecioğlu, Ömer (2003), "Hamming grafikalarida o'lchov normallashtirilgan chegarasini minimallashtiradigan haddan tashqari to'plamlar", Diskret matematika bo'yicha SIAM jurnali, 17 (2): 219–236, doi:10.1137 / S0895480100375053, JANOB 2032290.

[gs-3] Goetals, J.-M .; Seidel, J. J. (1970), "Kombinatorial dizaynlardan olingan qat'iy muntazam grafikalar", Kanada matematika jurnali, 22 (3): 597–614, doi:10.4153 / CJM-1970-067-9, JANOB 0282872.

[moon-4] Moon, J. W. (1963), "To'liq bigrafning chiziqli grafasida", Matematik statistika yilnomalari, 34 (2): 664–667, doi:10.1214 / aoms / 1177704179.

[hoffman-5] Xofman, A. J. (1964), "To'liq ikki tomonlama grafikning chiziqli grafasida", Matematik statistika yilnomalari, 35 (2): 883–885, doi:10.1214 / aoms / 1177703593, JANOB 0161328.

[fw-6] Fiala, Nik S.; Haemers, Willem H. (2006), "5-xromatik kuchli muntazam grafikalar", Diskret matematika, 306 (23): 3083–3096, doi:10.1016 / j.disc.2004.03.023, JANOB 2273138.

[bm-7] Burichenko, V. P.; Maxnev, A. A. (2011), "Ob avtomorfizmax silno regulyarnyx lokalno tsiklicheskix grafikalar" [Kuchli muntazam lokal tsiklik grafiklarning avtomorfizmlari to'g'risida], Doklady Akademii Nauk (rus tilida), 441 (2): 151–155, JANOB 2953786. Tarjima qilingan Doklady matematikasi 84 (3): 778–782, 2011, doi:10.1134 / S1064562411070076. Tarjimaning birinchi sahifasidan: "Shrikhandegraf (16, 6, 2, 2) parametrlari bo'lgan yagona kuchli muntazam olti burchakli grafika".

[elkies-8] Elkies, Noam, Grafik nazariyasi lug'ati.

[harary-9] Xarari, Frank (1958), "Ikki rangli grafikalar soni to'g'risida", Tinch okeanining matematika jurnali, 8 (4): 743–755, doi:10.2140 / pjm.1958.8.743, JANOB 0103834. Xususan (10) tenglamaga qarang, p. Ning avtomorfizm guruhi uchun 748 ${ displaystyle n times n}$ rook grafigi va ushbu guruh tartibi bo'yicha tenglama yuqoridagi munozara.

[biggs-10] Biggs, Norman (1974), "Chiziqli grafikalar simmetriyasi", Utilitas Mathematica, 5: 113–121, JANOB 0347684.

[bh-11] Bu Rok grafigining Dekart bo'yicha mahsulot grafigi ta'rifidan kelib chiqib, 4 ning taklifi bilan birga Broer, Izak; Xettingh, Yoxannes H. (1990), "Sirkulyant grafikalar mahsulotlari", Quaestiones Mathematicae, 13 (2): 191–216, doi:10.1080/16073606.1990.9631612, JANOB 1068710.

[gm-12] Grey, R .; Macpherson, D. (2010), "Hisoblanadigan ulangan-bir hil grafikalar", Kombinatorial nazariya jurnali, B seriyasi, 100 (2): 97–118, doi:10.1016 / j.jctb.2009.04.002, JANOB 2595694. Ushbu grafikalarni to'liq bipartitli grafikalarning chiziqli grafikalari sifatida aniqlaydigan 1-teoremaga qarang.

[dewerra-13] To'liq grafikalar dekarti mahsulotlari va to'liq bipartitli grafikalar orasidagi tenglik uchun qarang de Verra, D .; Xertz, A. (1999), "Graflar yig'indisining mukammalligi to'g'risida" (PDF), Diskret matematika, 195 (1–3): 93–101, doi:10.1016 / S0012-365X (98) 00168-X, JANOB 1663807.

[FOOTNOTEde_WerraHertz1999-14] Verra va Xertz (1999).

[crst-15] Chudnovskiy, Mariya; Robertson, Nil; Seymur, Pol; Tomas, Robin (2006), "Kuchli mukammal grafik teoremasi" (PDF), Matematika yilnomalari, 164 (1): 51–229, arXiv:matematik / 0212070, doi:10.4007 / annals.2006.164.51, JSTOR 20159988.

[lsww-16] To'liq bipartitli grafikalar va lotin kvadratlari orasidagi tenglikni bilish uchun, masalan. LeSonnier, Timoti D.; Stoker, Kristofer; Venger, Pol S.; G'arbiy, Duglas B. (2010), "Yashil rangdagi grafika bilan kamalak mos keladi", Elektron kombinatorika jurnali, 17 (1): Izoh 26, 5, doi:10.37236/475, JANOB 2651735.

[colbourn-17] Colbourn, Charles J. (1984), "Lotin kvadratlarini qisman to'ldirishning murakkabligi", Diskret amaliy matematika, 8 (1): 25–30, doi:10.1016 / 0166-218X (84) 90075-1, JANOB 0739595.

[sumner-18] To'liq bipartitli grafikalar bilan mos kelish nuqtai nazaridan, rook grafikalarining yaxshi yopilgan xususiyatiga teng keladigan ma'lumot uchun qarang. Sumner, Devid P. (1979), "Tasodifiy mos keladigan grafikalar", Grafika nazariyasi jurnali, 3 (2): 183–186, doi:10.1002 / jgt.3190030209, hdl:10338.dmlcz / 102236, JANOB 0530304.

[yy-19] Yaglom, A. M.; Yaglom, I. M. (1987), "34b muammoning echimi", Elementar echimlar bilan qiyin matematik masalalar, Dover, p. 77, ISBN 9780486318578.

[bll-20] Burchett, Pol; Leyn, Devid; Lachniet, Jeyson (2009), " $K$ - hukmronlik va $k$ - qasr grafigidagi ustunlik va boshqa natijalar ", Kongress Numerantium, 199: 187–204.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

Ruk grafigi
8x8 Ruk grafigi
Vertices	$nm$
Qirralar	$nm (n + m)/2 - nm$
Diametri	$2$
Atrof	$3$ (agar $maksimal (n, m) \geq 3$ )
Xromatik raqam	$maksimal (n, m)$
Xususiyatlari	muntazam, vertex-tranzitiv, mukammal yaxshi qoplangan
Grafiklar va parametrlar jadvali