Yumshoq proektsion tekislik - Smooth projective plane - Wikipedia

Yilda geometriya, silliq proektsion samolyotlar maxsusdir proektsion samolyotlar. Silliq proektsion tekislikning eng ko'zga ko'ringan misoli bu haqiqiy proektsion tekislik ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ . Uning ikkita aniq nuqtani chiziq bilan birlashtirish va ikkita chiziqni bir nuqtada kesish bo'yicha geometrik operatsiyalari nafaqat uzluksiz, balki teng silliq (cheksiz farqlanadigan ${ displaystyle = C ^ { infty}}$ ). Xuddi shunday, ustidan klassik samolyotlar murakkab sonlar, kvaternionlar, va oktonionlar silliq tekisliklardir. Biroq, bu faqatgina bunday samolyotlar emas.

Ta'rifi va asosiy xususiyatlari

Silliq proektsion tekislik ${ displaystyle { mathcal {P}} = (P, { mathfrak {L}})}$ nuqta fazosidan iborat ${ displaystyle P}$ va chiziqli bo'shliq ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ silliq manifoldlar va birlashma va kesishishning ikkala geometrik amallari ham silliq.

Silliq tekisliklarning geometrik amallari uzluksiz; shuning uchun har bir tekis tekislik a ixcham topologik tekislik.^[1] Silliq tekisliklar faqat 2 o'lchamdagi nuqta bo'shliqlari bilan mavjud^m qayerda ${ displaystyle 1 leq m leq 4}$ , chunki bu ixcham bog'langan proektiv topologik tekisliklar uchun to'g'ri keladi.^[2]^[3] Ushbu to'rt holat quyida alohida ko'rib chiqiladi.

Teorema. Silliq proektsion tekislikning nuqta kollektori klassik hamkasbiga nisbatan gomomorfik va chiziqli manifold ham shunday.^[4]

Automorfizmlar

Automorfizmlar silliq tekisliklarni o'rganishda hal qiluvchi rol o'ynaydi. Proyektiv tekislikning nuqta to'plamining biektsiyasiga a deyiladi kollinatsiya, agar u chiziqlarni chiziqlar ustiga tushirsa. Yilni proektiv tekislikning uzluksiz kollinatsiyalari ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ guruhni tashkil etish ${ displaystyle operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ . Ushbu guruh topologiyasi bilan olingan bir xil konvergentsiya. Bizda ... bor:^[5]

Teorema. Agar ${ displaystyle { mathcal {P}} = (P, { mathfrak {L}})}$ silliq tekislik, keyin har bir doimiy kollinatsiya ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ silliq; boshqacha qilib aytganda, silliq tekislikning avtomorfizmlari guruhi ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ bilan mos keladi ${ displaystyle operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ . Bundan tashqari, ${ displaystyle operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ ning yolg'on konvertatsiya qilish guruhi ${ displaystyle P}$ va of ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ .

To'rtta klassik samolyotlarning avtomorfizm guruhlari oddiy Lie guruhlari navbati bilan 8, 16, 35 yoki 78 o'lchamlari. Boshqa barcha tekis samolyotlar ancha kichik guruhlarga ega. Pastga qarang.

Tarjima samolyotlari

Proektiv tekislik a deb ataladi tarjima tekisligi agar uning avtomorfizm guruhi har bir nuqtani biron bir chiziqqa o'rnatadigan kichik guruhga ega bo'lsa ${ displaystyle W}$ va harakat qiladi keskin o'tish davri ballar to'plamida yoqilmagan ${ displaystyle W}$ .

Teorema. Har bir tekis proektsion tarjima tekisligi ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ to'rtta klassik tekislikdan biriga izomorfdir.^[6]

Bu shuni ko'rsatadiki, silliq bo'lmagan ko'plab ixcham bog'langan topologik proektsion tekisliklar mavjud. Boshqa tomondan, quyidagi qurilish samaradorligi haqiqiy analitik Desarguesian bo'lmagan samolyotlar mos ravishda 1, 4 va 13 o'lchamdagi ixcham avtomorfizmlar guruhi bilan 2, 4 va 8 o'lchamdagi:^[7] tomonidan odatdagi tarzda nuqta va chiziqlarni ifodalaydi bir hil koordinatalar haqiqiy yoki murakkab sonlar yoki kvaternionlar, masalan, uzunlik vektorlari bo'yicha ${ displaystyle 1}$ . Keyin nuqta tushishi ${ displaystyle (x, y, z)}$ va chiziq ${ displaystyle (a, b, c)}$ bilan belgilanadi ${ displaystyle ax + by + cz = t | c | ^ {2} | z | ^ {2} cz}$ , qayerda ${ displaystyle t}$ sobit bo'lgan haqiqiy parametrdir ${ displaystyle | t | <1/9}$ . Ushbu samolyotlar o'z-o'zidan ishlaydi.

2 o'lchovli tekisliklar

Yilni 2 o'lchovli proektsion tekisliklarni quyidagicha tavsiflash mumkin: nuqta maydoni ixchamdir sirt ${ displaystyle S}$ , har bir satr a Iordaniya egri chizig'i yilda ${ displaystyle S}$ (doira uchun yopiq ichki gomomorfik) va har qanday ikkita alohida nuqta noyob chiziq bilan birlashtiriladi. Keyin ${ displaystyle S}$ haqiqiy tekislikning nuqta fazosiga nisbatan gomomorfikdir ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ , har qanday ikkita aniq chiziq noyob nuqtada kesishadi va geometrik amallar uzluksiz (amal qiling) Salzmann va boshq. 1995 yil, §31 qatorni to'ldiruvchiga). Tanish misollar oilasi tomonidan berilgan Moulton 1902 yilda.^[8]^[9] Ushbu samolyotlar 4 o'lchovli avtomorfizm guruhiga ega ekanligi bilan ajralib turadi. Ular silliq tekislik uchun izomorf emas.^[10] Umuman olganda, barcha klassik bo'lmagan ixcham 2-o'lchovli samolyotlar ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ shu kabi ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}} geq 3}$ aniq ma'lum; bularning hech biri silliq emas:

Teorema. Agar ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ silliq 2 o'lchovli tekislik va agar ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}} geq 3}$ , keyin ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ klassik haqiqiy tekislikdir ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ .^[11]

4 o'lchovli tekisliklar

Barcha ixcham samolyotlar ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ 4 o'lchovli nuqta maydoni bilan va ${ displaystyle operatorname {Aut} { mathcal {P}} geq 7}$ tasniflangan.^[12] Ikkilikka qadar ular tarjima samolyotlari yoki ular o'zgaruvchan tekislik uchun izomorfdir.^[13] Ga binoan Bödi (1996, Bob. 10), bu siljish tekisligi silliq emas. Shunday qilib, tarjima samolyotlari natijasi quyidagilarni anglatadi:

Teorema. Silliq 4 o'lchovli tekislik klassik kompleks tekislikka izomorfdir yoki ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}} leq 6}$ .^[14]

8 o'lchovli tekisliklar

Yilni 8 o'lchovli topologik samolyotlar ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ da muhokama qilingan Salzmann va boshq. (1995 yil, 8-bob) va yaqinda, ichida Salzmann (2014). Qo'y ${ displaystyle Sigma = operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ . Yoki ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ klassik kvaternion tekisligi yoki ${ displaystyle dim Sigma leq 18}$ . Agar ${ displaystyle dim Sigma geq 17}$ , keyin ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ tarjima tekisligi yoki ikki tomonlama tarjima tekisligi yoki Xyuz tekisligi.^[15] Ikkinchisini quyidagicha tavsiflash mumkin: ${ displaystyle Sigma}$ ba'zi bir klassik murakkab subplane qoldiradi ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ o'zgarmas va ishga tushiradi ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ uning to'liq avtomorfizm guruhining bog'langan komponenti.^[16]^[17] Xyuz samolyotlari silliq emas.^[18]^[19] Bu 4 o'lchovli samolyotlarga o'xshash natijani beradi:

Teorema. Agar ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ silliq 8 o'lchovli tekislik, keyin ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ klassik kvaternion tekisligi yoki ${ displaystyle dim Sigma leq 16}$ .

16 o'lchovli samolyotlar

Ruxsat bering ${ displaystyle Sigma}$ ixcham 16 o'lchovli topologik proektsion tekislikning avtomorfizm guruhini belgilang ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ . Yoki ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ silliq klassik oktonion tekisligi yoki ${ displaystyle dim Sigma leq 40}$ . Agar ${ displaystyle dim Sigma = 40}$ , keyin ${ displaystyle Sigma}$ chiziqni tuzatadi ${ displaystyle W}$ va nuqta ${ displaystyle v in W}$ va affin tekisligi ${ displaystyle { mathcal {P}} smallsetminus W}$ va uning ikkitasi tarjima samolyotlari.^[20] Agar ${ displaystyle dim Sigma = 39}$ , keyin ${ displaystyle Sigma}$ shuningdek, voqea nuqta-chiziq juftligini tuzatadi, ammo ikkalasi ham ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ na ${ displaystyle Sigma}$ aniq ma'lum. Shunga qaramay, ushbu samolyotlarning hech biri silliq bo'lishi mumkin emas:^[21]^[22]^[23]

Teorema. Agar ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ 16 o'lchovli tekis proektsion tekislik, keyin ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ klassik oktonion tekisligi yoki ${ displaystyle dim Sigma leq 38}$ .

Asosiy teorema

Oxirgi to'rtta natijalar birlashib, quyidagi teoremani beradi:

Agar ${ displaystyle c_ {m}}$ ning eng katta qiymati ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ , qayerda ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ klassik bo'lmagan ixcham 2^m- o'lchovli topologik proektsion tekislik, keyin ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}} leq c_ {m} -2}$ har doim ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ hatto silliqdir.

Murakkab analitik tekisliklar

Proektsion tekislikning geometrik operatsiyalari murakkab analitik bo'lish sharti juda cheklangan. Aslida, u faqat klassik murakkab tekislikda qondiriladi.^[24]^[25]

Teorema. Har qanday murakkab analitik proektsion tekislik o'zining analitik tuzilishi bilan murakkab tekislikka analitik tekislik sifatida izomorfdir.

Izohlar

^ Salzmann va boshq. 1995 yil, 42.4
^ Löven, R. (1983), "Barqaror samolyotlarning topologiyasi va o'lchami: H. Freydentalning gumoni bilan", J. Reyn Anju. Matematika., 343: 108–122
^ Salzmann va boshq. 1995 yil, 54.11
^ Kramer, L. (1994), "Tekis proektsion tekisliklarning topologiyasi", Arch. Matematika., 63: 85–91, doi:10.1007 / bf01196303, S2CID 15480568
^ Bödi, R. (1998), "Silliq barqaror samolyotlar kollektsiyalari", Forum matematikasi., 10 (6): 751–773, doi:10.1515 / shakl.10.6.751, S2CID 54504153
^ Otte, J. (1995), "Yumshoq proektsion tarjima samolyotlari", Geom. Dedikata, 58 (2): 203–212, doi:10.1007 / bf01265639, S2CID 120238728
^ Immervoll, S. (2003), "Katta avtomorfizm guruhlari bo'lgan haqiqiy analitik proektsion samolyotlar", Adv. Geom., 3 (2): 163–176, doi:10.1515 / advg.2003.011
^ Moulton, F. R. (1902), "Oddiy desarguesian bo'lmagan tekislik geometriyasi", Trans. Amer. Matematika. Soc., 3 (2): 192–195, doi:10.1090 / s0002-9947-1902-1500595-3
^ Salzmann va boshq. 1995 yil, §34
^ Betten, D. (1971), "2-o'lchovli differentsiyerbare projektiv Ebenen", Arch. Matematika., 22: 304–309, doi:10.1007 / bf01222580, S2CID 119885473
^ Bödi 1996 yil, (9.1)
^ Salzmann va boshq. 1995 yil, 74.27
^ Salzmann va boshq. 1995 yil, §74
^ Bödi 1996 yil, (10.11)
^ Salzmann 2014 yil, 1.10
^ Salzmann va boshq. 1995 yil, §86
^ Salzmann, H. (2003), "Baer subplanes", Illinoys J. Matematik., 47 (1–2): 485–513, doi:10.1215 / ijm / 1258488168 3.19
^ Bödi, R. (1999), "Silliq Xyuz samolyotlari klassik", Arch. Matematika., 73: 73–80, doi:10.1007 / s000130050022, hdl:11475/3229, S2CID 120222293
^ Salzmann 2014 yil, 9.17
^ Salzmann va boshq. 1995 yil, 87.7
^ Bödi 1996 yil, Bob. 12
^ Bödi, R. (1998), "Katta kolyatsiya guruhlari bo'lgan 16 o'lchovli tekis proektsion tekisliklar", Geom. Dedikata, 72 (3): 283–298, doi:10.1023 / A: 1005020223604, S2CID 56094550
^ Salzmann 2014 yil, 9.18 dalilning eskizini olish uchun
^ Breitsprecher, S. (1967), "Einzigkeit der reellen und der kompleksen projektiven Ebene", Matematika. Z., 99 (5): 429–432, doi:10.1007 / bf01111021, S2CID 120984088
^ Salzmann va boshq. 1995 yil, 75.1

Adabiyotlar

Bödi, R. (1996), "Yumshoq barqaror va proektsion samolyotlar", Tezis, Tubingen
Zalsmann, H.; Betten, D .; Grundxöfer, T .; Häl, H .; Lyven, R .; Stroppel, M. (1995), Yilni proektsion samolyotlar, V. de Gruyter
Salzmann, H. (2014), Yilni samolyotlar, asosan 8 o'lchovli. Retrospekt, arXiv:1402.0304, Bibcode:2014arXiv1402.0304S

[1] Salzmann va boshq. 1995 yil, 42.4

[2] Löven, R. (1983), "Barqaror samolyotlarning topologiyasi va o'lchami: H. Freydentalning gumoni bilan", J. Reyn Anju. Matematika., 343: 108–122

[3] Salzmann va boshq. 1995 yil, 54.11

[4] Kramer, L. (1994), "Tekis proektsion tekisliklarning topologiyasi", Arch. Matematika., 63: 85–91, doi:10.1007 / bf01196303, S2CID 15480568

[5] Bödi, R. (1998), "Silliq barqaror samolyotlar kollektsiyalari", Forum matematikasi., 10 (6): 751–773, doi:10.1515 / shakl.10.6.751, S2CID 54504153

[6] Otte, J. (1995), "Yumshoq proektsion tarjima samolyotlari", Geom. Dedikata, 58 (2): 203–212, doi:10.1007 / bf01265639, S2CID 120238728

[7] Immervoll, S. (2003), "Katta avtomorfizm guruhlari bo'lgan haqiqiy analitik proektsion samolyotlar", Adv. Geom., 3 (2): 163–176, doi:10.1515 / advg.2003.011

[8] Moulton, F. R. (1902), "Oddiy desarguesian bo'lmagan tekislik geometriyasi", Trans. Amer. Matematika. Soc., 3 (2): 192–195, doi:10.1090 / s0002-9947-1902-1500595-3

[9] Salzmann va boshq. 1995 yil, §34

[10] Betten, D. (1971), "2-o'lchovli differentsiyerbare projektiv Ebenen", Arch. Matematika., 22: 304–309, doi:10.1007 / bf01222580, S2CID 119885473

[11] Bödi 1996 yil, (9.1)

[12] Salzmann va boshq. 1995 yil, 74.27

[13] Salzmann va boshq. 1995 yil, §74

[14] Bödi 1996 yil, (10.11)

[15] Salzmann 2014 yil, 1.10

[16] Salzmann va boshq. 1995 yil, §86

[17] Salzmann, H. (2003), "Baer subplanes", Illinoys J. Matematik., 47 (1–2): 485–513, doi:10.1215 / ijm / 1258488168 3.19

[18] Bödi, R. (1999), "Silliq Xyuz samolyotlari klassik", Arch. Matematika., 73: 73–80, doi:10.1007 / s000130050022, hdl:11475/3229, S2CID 120222293

[19] Salzmann 2014 yil, 9.17

[20] Salzmann va boshq. 1995 yil, 87.7

[21] Bödi 1996 yil, Bob. 12

[22] Bödi, R. (1998), "Katta kolyatsiya guruhlari bo'lgan 16 o'lchovli tekis proektsion tekisliklar", Geom. Dedikata, 72 (3): 283–298, doi:10.1023 / A: 1005020223604, S2CID 56094550

[23] Salzmann 2014 yil, 9.18 dalilning eskizini olish uchun

[24] Breitsprecher, S. (1967), "Einzigkeit der reellen und der kompleksen projektiven Ebene", Matematika. Z., 99 (5): 429–432, doi:10.1007 / bf01111021, S2CID 120984088

[25] Salzmann va boshq. 1995 yil, 75.1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]