Ikkinchi kurs talabalari orzu qiladi - Sophomores dream - Wikipedia

Matematikada ikkinchi kurs talabasi juftligi shaxsiyat (ayniqsa, birinchi)

tomonidan 1697 yilda kashf etilgan Yoxann Bernulli.

Ushbu doimiylarning raqamli qiymatlari mos ravishda taxminan 1.291285997 ... va 0.7834305107 ... ga teng.

Da paydo bo'lgan "ikkinchi kursning orzusi" nomiBorwein, Bailey & Girgensohn 2004 yil ), nomidan farqli o'laroq "birinchi kurs talabasi "noto'g'ri berilgan[eslatma 1] shaxsiyat (x + y)n = xn + yn. The ikkinchi kurs Orzularda xuddi shunday haqiqat uchun juda yaxshi tuyg'u bor, lekin u haqiqatdir.

Isbot

Funktsiyalar grafigi y = xx (qizil, pastki) va y = xx (kulrang, yuqori) oraliqda x ∈ (0, 1].

Ikkala shaxsning dalillari bir-biriga o'xshashdir, shuning uchun bu erda faqat ikkinchisining isboti keltirilgan.

Tafsilotlardan biri kengayadi xx kabi

Shuning uchun,

By bir xil konvergentsiya Quvvat seriyasining natijasi uchun yig'indini va integratsiyasini almashtirish mumkin

Yuqoridagi integrallarni baholash uchun integral orqali o'zgaruvchini almashtirish Ushbu almashtirish bilan integratsiya chegaralari o'zgartiriladi shaxsni berish

By Eylerning ajralmas o'ziga xosligi uchun Gamma funktsiyasi, bitta bor

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

Ularni umumlashtirib (va indeksatsiyani o'zgartirish boshlanadi, shuning uchun u boshlanadi n = O'rniga n = 0) formulani beradi.

Tarixiy dalil

Berilgan asl dalil Bernulli (1697)va zamonaviylashtirilgan shaklda taqdim etilgan Dunxem (2005), yuqoridagi bilan termal integral qanday qilib farqlanadi hisoblangan, ammo aks holda bir xil, qadamlarni oqlash uchun texnik tafsilotlarni qoldirib yuboradi (masalan, terminali integratsiya). O'rnini bosish bilan birlashtirib, Gamma funktsiyasini berishdan ko'ra (u hali ma'lum bo'lmagan), Bernulli foydalangan qismlar bo'yicha integratsiya ushbu shartlarni takroriy ravishda hisoblash uchun.

Bo'limlar bo'yicha integratsiya quyidagicha davom etadi va rekursiya olish uchun ikkita ko'rsatkichni mustaqil ravishda o'zgartiradi. Belgilanmagan integral dastlab chiqarib tashlanib, hisoblab chiqiladi integratsiyaning doimiyligi chunki bu tarixiy ravishda amalga oshirilganligi sababli va aniq integralni hisoblashda tushib qoladi. Birlashtirilishi mumkin olish orqali siz = (log x)n va dv = xm dx, qaysi hosil beradi:

(shuningdek logaritmik funktsiyalar integrallari ro'yxati ). Bu integraldagi logaritma quvvatini 1 ga kamaytiradi ga ) va shu bilan integralni hisoblash mumkin induktiv ravishda, kabi

qayerda (n) men belgisini bildiradi tushayotgan faktorial; cheklangan yig'indisi bor, chunki induksiya 0 da to'xtaydi, chunki n butun son

Ushbu holatda m = nva ular butun sonlar, shuning uchun

0 dan 1 gacha integratsiyalashgan holda, oxirgi atamadan tashqari barcha atamalar yo'qoladi,[2-eslatma] qaysi hosil:

Zamonaviy nuqtai nazardan, bu (qadar Evlerning integral identifikatsiyasini hisoblashga teng bo'lgan shkala omili) Gamma funktsiyasi uchun boshqa domendagi (o'zgaruvchan o'zgaruvchilarni almashtirish bilan mos keladigan), chunki Eyler identifikatorining o'zi ham shunga o'xshash qismlar orqali hisoblash mumkin.

Shuningdek qarang

Izohlar

  1. ^ Umuman noto'g'ri, lekin a da ishlayotganida to'g'ri komutativ uzuk eng yaxshi xarakterli p bilan n ning kuchi bo'lish p. Umumiy komutativ kontekstda to'g'ri natija binomiya teoremasi.
  2. ^ Barcha shartlar 0 da yo'qoladi, chunki tomonidan L'Hopitalning qoidasi (Bernulli bu texnik xususiyatni inobatga olmadi) va oxirgi muddatdagidan tashqari barchasi bekor bo'ldi log 1 = 0.

Adabiyotlar

Formula

  • Johannis Bernoulli, 1697, Johannis Bernoulli'da to'plangan, Opera omnia, jild 3, 376-381-betlar
  • Borwein, Jonathan; Beyli, Devid H.; Girgensohn, Roland (2004), Matematika bo'yicha tajriba: kashfiyotga hisoblash yo'llari, 4, 44-bet, ISBN  978-1-56881-136-9
  • Dunham, Uilyam (2005), "3: Bernulis (Yoxann va.) )", Hisob galereyasi, Nyutondan Lebesggacha bo'lgan durdonalar, Princeton, NJ: Princeton University Press, 46-51 betlar, ISBN  978-0-691-09565-3
  • OEIS, (ketma-ketlik A083648 ichida OEIS ) va (ketma-ketlik) A073009 ichida OEIS )
  • Polya, Jorj; Sege, Gábor (1998), "I qism, muammo 160", Tahlildagi muammolar va teoremalar, p.36, ISBN  978-3-54063640-3
  • Vayshteyn, Erik V. "Ikkinchi kursning orzusi". MathWorld.
  • Maks R. P. Grossmann (2017): Sofomurning orzusi. Birinchi doimiyning 1 000 000 ta raqami

Funktsiya