Spin vaznli sferik garmonikalar - Spin-weighted spherical harmonics

Yilda maxsus funktsiyalar, mavzu matematika, spin vaznli sferik garmonikalar standartning umumlashtirilishi sferik harmonikalar va - odatdagi sferik harmonikalar singari - funktsiyalar soha. Oddiy sferik harmonikalardan farqli o'laroq, spin og'irlikdagi garmonikalar $U (1)$ o'lchov maydonlari dan ko'ra skalar maydonlari: matematik jihatdan ular kompleks qiymatlarni qabul qiladilar chiziq to'plami. Spin-vaznli harmonikalar darajalari bo'yicha tartiblangan $l$ , xuddi oddiy sharsimon harmonikalar singari, ammo qo'shimcha bor Spin og'irligi $s$ bu qo'shimcha narsani aks ettiradi $U (1)$ simmetriya. Garmonikaning alohida asosini Laplas sharsimon garmonikasidan olish mumkin $Y lm$ , va odatda tomonidan belgilanadi $s Y lm$ , qayerda $l$ va $m$ standart Laplas sferik harmonikasidan tanish bo'lgan odatiy parametrlardir. Ushbu maxsus asosda spin og'irlikdagi sferik harmonikalar haqiqiy funktsiyalar sifatida namoyon bo'ladi, chunki qutb o'qini tanlash $U (1)$ noaniqlikni o'lchash. Spin-og'irlikdagi sferik harmonikalarni qo'llash orqali standart sferik garmonikalardan olish mumkin spinni ko'tarish va tushirish operatorlari. Xususan, spin vaznining o'ralgan og'irlikdagi sferik harmonikalari $s = 0$ oddiygina sferik harmonikalar:

{displaystyle {} _ {0} Y_ {lm} = Y_ {lm}.}

Spin-og'irlikdagi sferik harmonikalarning bo'shliqlari dastlab bilan bog'liq holda aniqlandi vakillik nazariyasi ning Lorents guruhi (Gelfand, Minlos va Shapiro 1958 yil ). Ular keyinchalik va mustaqil ravishda qayta kashf etildi Newman & Penrose (1966) va tavsiflash uchun qo'llaniladi gravitatsion nurlanish va yana Vu va Yang (1976) o'rganishda "monopol harmonikasi" deb nomlangan Dirak monopollari.

Spin-vaznli funktsiyalar

Sohaga kelsak $S 2$ uch o'lchovli singari Evklid fazosi $R 3$ . Bir nuqtada $x$ sohada, ijobiy yo'naltirilgan ortonormal asos ning tangens vektorlar da $x$ juftlik $a, b$ shunday vektorlar

{displaystyle {egin {aligned} mathbf {x} cdot mathbf {a} = mathbf {x} cdot mathbf {b} & = 0 mathbf {a} cdot mathbf {a} = mathbf {b} cdot mathbf {b} & = 1 mathbf {a} cdot mathbf {b} & = 0 mathbf {x} cdot (mathbf {a} imes mathbf {b}) &> 0, oxiri {hizalangan}}}

bu erda birinchi tenglama juftligi aytilgan $a$ va $b$ tangens $x$ , ikkinchi juftlikda ta'kidlangan $a$ va $b$ bor birlik vektorlari, oldingi tenglama $a$ va $b$ bor ortogonal va bu oxirgi tenglama $(x, a, b)$ ning o'ng qo'li asosidir $R 3$ .

Spin-vazn $s$ funktsiya $f$ nuqta kiritish sifatida qabul qiladigan funktsiya $x$ ning $S 2$ va tangens vektorlarining ijobiy yo'naltirilgan ortonormal asoslari $x$ , shu kabi

{displaystyle f {igl (} mathbf {x}, (cos heta) mathbf {a} - (sin heta) mathbf {b}, (sin heta) mathbf {a} + (cos heta) mathbf {b} {igr) } = e ^ {heta} f (mathbf {x}, mathbf {a}, mathbf {b})}

har bir burilish burchagi uchun $θ$ .

Keyingi Eastwood & Tod (1982), barcha spin-vaznning to'plamini bildiradi $s$ tomonidan funktsiyalar $B (s)$ . Aniq qilib aytganda, bu funktsiyalar sifatida tushuniladi $f$ kuni $C 2 {0$ } kompleks miqyosda quyidagi bir xillik qonunini qondirish

{displaystyle fleft (lambda z, {overline {lambda}} {ar {z}} ight) = chap ({frac {overline {lambda}} {lambda}} ight) ^ {s} fleft (z, {ar {z }} yaxshi).}

Bu mantiqan taqdim etilgan $s$ yarim tamsayı.

Xulosa qilib, $B (s)$ bu izomorfik silliqgacha vektor to'plami asosida yotadi antiholomorfik vektor to'plami $O (2 s)$ ning Serre burilish ustida murakkab proektsion chiziq $CP 1$ . Oxirgi to'plamning bir qismi funktsiyadir $g$ kuni $C 2 {0$ qoniqarli

{displaystyle gleft (lambda z, {overline {lambda}} {ar {z}} ight) = {overline {lambda}} ^ {2s} gleft (z, {ar {z}} ight).}

Bunday a $g$ , biz spin vaznini ishlab chiqarishimiz mumkin $s$ funktsiyani hermit shaklining mos kuchiga ko'paytirib

{displaystyle Pleft (z, {ar {z}} ight) = zcdot {ar {z}}.}

Xususan, $f = P - s g$ Spin-vazn $s$ funktsiya. Spin vaznli funktsiyani oddiy bir hil funktsiyaga bog'lashi izomorfizmdir.

Operator $ð$

Spin vazn to'plamlari $B (s)$ bilan jihozlangan differentsial operator $ð$ (axloqiy ). Ushbu operator aslida Dolbeault operatori, tegishli identifikatsiya qilinganidan so'ng,

{displaystyle qisman: {overline {mathbf {O} (2s)}} o {mathcal {E}} ^ {1,0} otimes {overline {mathbf {O} (2s)}} cong {overline {mathbf {O} (2s)}} otimes mathbf {O} (-2).}

Shunday qilib $f \in B (s)$ ,

{displaystyle eth f {stackrel {ext {def}} {=}} P ^ {- s + 1} qisman chap (P ^ {s} kurash)}

Spin-vaznning funktsiyasini belgilaydi $s + 1$ .

Spin-vaznli harmonikalar

Xuddi an'anaviy sferik harmonikalar o'ziga xos funktsiyalar ning Laplas-Beltrami operatori sohada, aylanma vazn $s$ harmonikalar - bu to'plamlar ustida ishlaydigan Laplas-Beltrami operatori uchun o'ziga xos o'lchovlar $E (s)$ Spin-vazn $s$ funktsiyalari.

Vakolat funktsiyalar sifatida

Spin-og'irlikdagi harmonikalar sharsimon nuqta Shimoliy qutb vazifasini bajarishi uchun tanlanganidan so'ng, sharning funktsiyalari sifatida ifodalanishi mumkin. Ta'rifga ko'ra, funktsiya $η$ bilan Spin og'irligi $s$ orqali qutb atrofida aylanish jarayonida o'zgaradi

{displaystyle eta kamarrow e ^ {ispsi} va boshqalar.}

Standart sferik koordinatalarda ishlash, biz ma'lum bir operatorni aniqlashimiz mumkin $ð$ funktsiya bo'yicha harakat qilish $η$ kabi:

{displaystyle eth eta = -left (sin {heta} ight) ^ {s} chap {{frac {qisman} {qisman heta}} + {frac {i} {sin {heta}}} {frac {qismli} {qisman phi}} ight} chap [chap (sin {heta} ight) ^ {- s} eta ight].}

Bu bizga yana bir funktsiyani beradi $θ$ va $φ$ . (Operator $ð$ samarali a kovariant hosilasi sohadagi operator.)

Yangi funktsiyaning muhim xususiyati $ðη$ agar shunday bo'lsa $η$ Spin og'irligi bor edi $s$ , $ðη$ Spin vazniga ega $s + 1$ . Shunday qilib, operator funktsiyani aylantirish vaznini 1 ga oshiradi. Xuddi shunday biz ham operatorni aniqlay olamiz $ð$ bu funksiyaning aylanish vaznini 1 ga kamaytiradi:

{displaystyle {ar {eth}} eta = -left (sin {heta} ight) ^ {- s} chap {{frac {qisman} {qisman heta}} - {frac {i} {sin {heta}}} { frac {kısmi} {qisman phi}} ight} chap [chap (sin {heta} ight) ^ {s} eta ight].}

Keyinchalik spin-og'irlikdagi sferik harmonikalar odatdagidek belgilanadi sferik harmonikalar kabi:

{displaystyle {} _ {s} Y_ {lm} = {egin {case} {sqrt {frac {(ls)!} {(l + s)!}}} eth ^ {s} Y_ {lm}, && 0leq sleq l; {sqrt {frac {(l + s)!} {(ls)!}}} chap (-1ight) ^ {s} {ar {eth}} ^ {- s} Y_ {lm}, && - lleq sleq 0; 0, && l <| s | .end {case}}}

Vazifalar $s Y lm$ keyin spin og'irligi bilan konvertatsiya qilish xususiyatiga ega bo'ling $s$ .

Boshqa muhim xususiyatlarga quyidagilar kiradi:

{displaystyle {egin {aligned} eth left ({} _ {s} Y_ {lm} ight) & = + {sqrt {(ls) (l + s + 1)}}, {} _ {s + 1} Y_ {lm}; {ar {eth}} chap ({} _ {s} Y_ {lm} ight) & = - {sqrt {(l + s) (l-s + 1)}}, {} _ { s-1} Y_ {lm}; oxiri {hizalanmış}}}

Ortogonallik va to'liqlik

Harmonikalar butun sohada ortogonaldir:

{displaystyle int _ {S ^ {2}} {} _ {s} Y_ {lm}, {} _ {s} {ar {Y}} _ {l'm '}, dS = delta _ {ll'} delta _ {mm '},}

va to'liqlik munosabatini qondirish

{displaystyle sum _ {lm} {} _ {s} {ar {Y}} _ {lm} chap (heta ', phi' ight) {} _ {s} Y_ {lm} (heta, phi) = delta chap (phi '-phi ight) delta chap (cos heta' -cos heta ight)}

Hisoblash

Ushbu harmonikalarni bir necha usul bilan aniq hisoblash mumkin. Aniq rekursiya munosabati ko'tarish yoki tushirish operatorlarini qayta-qayta qo'llash natijasida kelib chiqadi. To'g'ridan-to'g'ri hisoblash uchun formulalar tomonidan olingan Goldberg va boshq. (1967). E'tibor bering, ularning formulalari uchun eski tanlov ishlatiladi Kondon-Shotli bosqichi. Quyida tanlangan anjuman, masalan, Mathematica bilan kelishilgan.

Goldberg va boshq. Formulalarining foydaliligi quyidagilar:

{displaystyle {} _ {s} Y_ {lm} (heta, phi) = chap (-1ight) ^ {m} {sqrt {frac {(l + m)! (lm)! (2l + 1)} {4pi (l + s)! (ls)!}}} sin ^ {2l} chap ({frac {heta} {2}} ight) imes sum _ {r = 0} ^ {ls} {ls r} {l ni tanlang + s r + sm} chap (-1ight) ^ {lrs} e ^ {imphi} cot ^ {2r + sm} left ({frac {heta} {2}} ight),} ni tanlang.

Ushbu formuladan foydalanib, o'zboshimchalik bilan spin og'irlikdagi sferik harmonikalarni hisoblash uchun Mathematica daftarini topish mumkin Bu yerga.

Bu erda bosqich konvensiyasi bilan:

{displaystyle {egin {aligned} {} _ {s} {ar {Y}} _ {lm} & = left (-1ight) ^ {s + m} {} _ {- s} Y_ {l (-m) } {} _ {s} Y_ {lm} (pi - heta, phi + pi) & = chap (-1ight) ^ {l} {} _ {- s} Y_ {lm} (heta, phi) .end {moslashtirilgan}}}

Dastlab bir nechta spin-og'irlikdagi sferik harmonikalar

Birinchi bir nechta ortonormallashtirilgan spin-og'irlikdagi sferik harmonikalar uchun analitik iboralar:

Spin-vazn $s = 1$ , daraja $l = 1$

{displaystyle {egin {aligned} {} _ {1} Y_ {10} (heta, phi) & = {sqrt {frac {3} {8pi}}}, sin heta {} _ {1} Y_ {13pm 1 } (heta, phi) & = - {sqrt {frac {3} {16pi}}} (1mp cos heta), e ^ {pm iphi} end {hizalanmış}}}

Vignerning aylanish matritsalariga aloqasi

{displaystyle D _ {- ms} ^ {l} (phi, heta, -psi) = left (-1ight) ^ {m} {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} {} _ {s} Y_ {lm} (heta, phi) e ^ {ispsi}}

Ushbu munosabat spin harmonikasini for uchun rekursiya munosabatlari yordamida hisoblashga imkon beradi $D.$ -matrisalar.

Uchlik integral

Bunda uch karrali integral $s 1 + s 2 + s 3 = 0$ jihatidan berilgan 3- $j$ belgi:

{displaystyle int _ {S ^ {2}}, {} _ {s_ {1}} Y_ {j_ {1} m_ {1}}, {} _ {s_ {2}} Y_ {j_ {2} m_ { 2}}, {} _ {s_ {3}} Y_ {j_ {3} m_ {3}} = {sqrt {frac {left (2j_ {1} + 1ight) left (2j_ {2} + 1ight) left ( 2j_ {3} + 1ight)} {4pi}}} {egin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} end {pmatrix}} {egin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} - s_ {1} & - s_ {2} & - s_ {3} end {pmatrix}}}

Shuningdek qarang

Sferik asos

Adabiyotlar

Dray, Tevian (1985 yil may), "Monopol harmonikalar va spin og'irlikdagi sferik harmonikalar o'rtasidagi bog'liqlik", J. Matematik. Fizika., Amerika fizika instituti, 26 (5): 1030–1033, Bibcode:1985JMP .... 26.1030D, doi:10.1063/1.526533.
Istvud, Maykl; Tod, Pol (1982), "Edt - sharning differentsial operatori", Kembrij falsafiy jamiyatining matematik materiallari, 92 (2): 317–330, Bibcode:1982MPCPS..92..317E, doi:10.1017 / S0305004100059971.
Gelfand, I. M.; Minlos, Robert A.; Shapiro, Z. Ja. (1958), Predstavleniya gruppy vrashcheni i gruppy Lorentsa, ikh primeneniya, Gosudarstv. Izdat. Fiz.-mat. Lit., Moskva, JANOB 0114876; (1963) Rotatsiya va Lorents guruhlari vakolatxonalari va ularning qo'llanilishi (tarjima). Macmillan Publishers.
Goldberg, J. N .; Makfarlan, A. J .; Nyuman, E. T .; Rohrlich, F.; Sudarshan, E. C. G. (1967 yil noyabr), "Spin-s sferik harmonikasi va ð", J. Matematik. Fizika., Amerika fizika instituti, 8 (11): 2155–2161, Bibcode:1967JMP ..... 8.2155G, doi:10.1063/1.1705135 (Izoh: Yuqorida aytib o'tilganidek, ushbu maqolada endi standart bo'lmagan Kondon-Shotli fazasi uchun tanlov qo'llaniladi.)
Nyuman, E. T.; Penrose, R. (1966 yil may), "Bondi-Metzner-Sachs guruhi to'g'risida eslatma", J. Matematik. Fizika., Amerika fizika instituti, 7 (5): 863–870, Bibcode:1966 yil JMP ..... 7..863N, doi:10.1063/1.1931221.
Vu, Tsay Tsun; Yang, Chen Ning (1976), "Dirak monopol simsiz: monopolli harmonikalar", Yadro fizikasi B, 107 (3): 365–380, Bibcode:1976NuPhB.107..365W, doi:10.1016/0550-3213(76)90143-7, JANOB 0471791.