Summability yadrosi - Summability kernel

Matematikada a jamlanadigan yadro - bu quyida keltirilgan ma'lum xususiyatlar to'plamini qondiradigan davriy integral funktsiyalarning oilasi yoki ketma-ketligi. Kabi ba'zi bir yadrolar, masalan Fejer yadrosi, ayniqsa foydalidir Furye tahlili. Summability yadrolari bilan bog'liq shaxsning taxminiyligi; hisobga olishning taxminiy ta'riflari turlicha,^[1] ammo ba'zida identifikatsiyaning taxminiy ta'rifi yig'iladigan yadro bilan bir xil bo'ladi.

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle mathbb {T}: = mathbb {R} / mathbb {Z}}$. A jamlanadigan yadro bu ketma-ketlik ${ displaystyle (k_ {n})}$ yilda ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {T})}$ bu qondiradi

1. ${ displaystyle int _ { mathbb {T}} k_ {n} (t) , dt = 1}$
2. ${ displaystyle int _ { mathbb {T}} | k_ {n} (t) | , dt leq M}$ (bir xil chegaralangan)
3. ${ displaystyle int _ { delta leq | t | leq { frac {1} {2}}} | k_ {n} (t) | , dt to 0}$ kabi ${ displaystyle n to infty}$, har bir kishi uchun ${ displaystyle delta> 0}$.

E'tibor bering, agar ${ displaystyle k_ {n} geq 0}$ Barcha uchun ${ displaystyle n}$, ya'ni ${ displaystyle (k_ {n})}$ a ijobiy summa yadrosi, keyin ikkinchi talab avtomatik ravishda kuzatib boradi birinchisidan.

Agar buning o'rniga biz konventsiyani olsak ${ displaystyle mathbb {T} = mathbb {R} / 2 pi mathbb {Z}}$, birinchi tenglama bo'ladi ${ displaystyle { frac {1} {2 pi}} int _ { mathbb {T}} k_ {n} (t) , dt = 1}$, va uchinchi tenglama bo'yicha integralning yuqori chegarasi kengaytirilishi kerak ${ displaystyle pi}$.

Shuningdek, biz ko'rib chiqishimiz mumkin ${ displaystyle mathbb {R}}$ dan ko'ra ${ displaystyle mathbb {T}}$; keyin biz (1) va (2) ni birlashtiramiz ${ displaystyle mathbb {R}}$va (3) tugadi ${ displaystyle | t |> delta}$.

Misollar

• The Fejer yadrosi
• The Poisson yadrosi (doimiy indeks)
• The Dirichlet yadrosi bu emas summability yadrosi, chunki u ikkinchi talabni bajarolmaydi.

Kontseptsiyalar

Ruxsat bering ${ displaystyle (k_ {n})}$ jamlanadigan yadro bo'ling va ${ displaystyle *}$ ni belgilang konversiya operatsiya.

• Agar ${ displaystyle (k_ {n}), f in { mathcal {C}} ( mathbb {T})}$ (doimiy funktsiyalar yoqilgan ${ displaystyle mathbb {T}}$), keyin ${ displaystyle k_ {n} * f dan f} gacha$ yilda ${ displaystyle { mathcal {C}} ( mathbb {T})}$, ya'ni bir xil, kabi ${ displaystyle n to infty}$.
• Agar ${ displaystyle (k_ {n}), f in L ^ {1} ( mathbb {T})}$, keyin ${ displaystyle k_ {n} * f dan f} gacha$ yilda ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {T})}$, kabi ${ displaystyle n to infty}$.
• Agar ${ displaystyle (k_ {n})}$ nosimmetrik va radial ravishda kamayib boradi ${ displaystyle f in L ^ {1} ( mathbb {T})}$, keyin ${ displaystyle k_ {n} * f dan f} gacha$ yo'naltirilgan a., kabi ${ displaystyle n to infty}$. Bu ishlatadi Hardy - Littlewood maksimal funktsiyasi. Agar ${ displaystyle (k_ {n})}$ radial ravishda kamayib boruvchi nosimmetrik emas, balki kamayib boruvchi nosimmetrlanishdir ${ displaystyle { widetilde {k}} _ {n} (x): = sup _ {| y | geq | x |} k_ {n} (y)}$ qondiradi ${ displaystyle sup _ {n in mathbb {N}} | { widetilde {k_ {n}}} | _ {1} < infty}$, keyin a. shunga o'xshash argumentdan foydalanib, konvergentsiya hanuzgacha davom etmoqda.

Adabiyotlar

• Katsnelson, Yitsak (2004), Harmonik tahlilga kirish, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  0-521-54359-2