Idealning ramziy kuchi - Symbolic power of an ideal

Yilda algebra va algebraik geometriya berilgan kommutativ Noetherian uzuk ${ displaystyle R}$ va an ideal ${ displaystyle I}$ unda, n- ramziy kuch ning ${ displaystyle I}$ idealdir

${ displaystyle I ^ {(n)} = R cap bigcap _ {P in operator nomi {Ass} (I)} I ^ {n} R_ {P}}$

qayerda ${ displaystyle R_ {P}}$ bo'ladi mahalliylashtirish ning ${ displaystyle R}$ ga ${ displaystyle P}$ va kesishma hamma orqali o'tadi bog'liq sonlar ning ${ displaystyle R / I}$

Ushbu ta'rif talab qilinmasa ham ${ displaystyle I}$ bolmoq asosiy, bu taxmin ko'pincha bilan ishlaydi, chunki a asosiy ideal, ramziy kuchni teng ravishda belgilash mumkin ${ displaystyle I}$-asosiy komponent ning ${ displaystyle I ^ {n}}$. Taxminan, bu tartib nolga ega funktsiyalardan iborat n tomonidan belgilangan nav bo'yicha ${ displaystyle I}$. Bizda ... bor: ${ displaystyle I ^ {(1)} = I}$ va agar a maksimal ideal, keyin ${ displaystyle I ^ {(n)} = I ^ {n}}$.

Ramziy kuchlar quyidagi ideallar zanjirini vujudga keltiradi:

${ displaystyle I ^ {(0)} = R supset I = I ^ {(1)} supset I ^ {(2)} supset I ^ {(3)} supset I ^ {(4)} supset cdots}$

Foydalanadi

Ramziy kuchlarni o'rganish va ulardan foydalanish uzoq tarixga ega komutativ algebra. Krullning uning mashhur isboti asosiy ideal teorema ulardan muhim tarzda foydalanadi. Ular birinchi bo'lib keyin paydo bo'lishdi asosiy dekompozitsiyalar uchun isbotlangan Noeteriya uzuklari. Zariski analitikni o'rganishda ramziy kuchlardan foydalangan normallik ning algebraik navlar. Chevalleyniki mashhur lemma taqqoslash topologiyalar a-da to'liq mahalliy domen ramziy kuchlar topologiya har qanday asosiy bu nozikroq ga qaraganda m-adik topologiyasi. Yo'qolib borayotgan teoremadagi hal qiluvchi qadam mahalliy kohomologiya Hartshorne va Lixtenbaum aholisi buni eng yaxshi vaqt uchun ishlatadi ${ displaystyle I}$ belgilaydigan a egri chiziq a to'liq mahalliy domen, ning vakolatlari ${ displaystyle I}$ bor kofinal ning ramziy kuchlari bilan ${ displaystyle I}$. Borliqning bu muhim xususiyati kofinal 1970-yillarda Schenzel tomonidan ishlab chiqilgan.^[1]

Algebraik geometriyada

Garchi generatorlar uchun oddiy kuchlar ning ${ displaystyle I}$ qachon yaxshi tushuniladi ${ displaystyle I}$ kabi uning generatorlari jihatidan berilgan ${ displaystyle I = (f_ {1}, ldots, f_ {k})}$, ning ramziy kuchlari generatorlarini aniqlash hali ko'p hollarda juda qiyin ${ displaystyle I}$. Ammo geometrik sozlashda, qachon aniq geometrik talqin mavjud ${ displaystyle I}$ a radikal ideal ustidan algebraik yopiq maydon ning xarakterli nol.

Agar ${ displaystyle X}$ bu qisqartirilmaydi xilma-xillik yo'qolib qolish idealidir ${ displaystyle I}$, keyin differentsial kuch ning ${ displaystyle I}$ barcha narsalardan iborat funktsiyalari yilda ${ displaystyle R}$ bu vanishto buyrug'i ≥ n kuni ${ displaystyle X}$, ya'ni

${ displaystyle I ^ { langle n rangle}: = {f in R mid f { text {buyurtma bo'yicha o'chadi}} geq n { text {ning hammasiga}} X }.}$

Yoki ekvivalent ravishda, agar ${ displaystyle mathbf {m} _ {p}}$ bo'ladi maksimal ideal bir nuqta uchun ${ displaystyle p in X}$, ${ displaystyle I ^ { langle n rangle} = bigcap _ {p in X} mathbf {m} _ {p} ^ {n}}$.

Teorema (Nagata, Zariski)^[2] Ruxsat bering ${ displaystyle I}$ a-da asosiy ideal bo'lishi polinom halqasi ${ displaystyle K [x_ {1}, ldots, x_ {N}]}$ algebraik yopiq maydon ustida. Keyin

${ displaystyle I ^ {(m)} = I ^ { langle m rangle}}$

Ushbu natija istalgan kishiga etkazilishi mumkin radikal ideal.^[3] Ushbu formulalar juda foydali, chunki xarakterli nol, biz differentsial kuchlarni generatorlar bo'yicha quyidagicha hisoblashimiz mumkin:

${ displaystyle I ^ { langle m rangle} = chap langle f mid { frac { qismli ^ { mathbf {a}} f} { qismli x ^ { mathbf {a}}}} in I { text {for all}} mathbf {a} in mathbb {N} ^ {N} { text {where}} | mathbf {a} | = sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} leq m-1 right rangle}$

Boshqa formulalar uchun biz bazani ko'rib chiqamiz uzuk a polinom halqasi ustidan maydon. Bunday holda, biz izohlashimiz mumkin n- kabi ramziy kuch dasta barcha funktsiyalar mikroblar ustida ${ displaystyle X = operatorname {Spec} (R) { text {order to yo'qolishi}} geq n { text {at}} Z = V (I)}$Aslida, agar ${ displaystyle X}$ a silliq xilma-xillik ustidan mukammal maydon, keyin

${ displaystyle I ^ {(n)} = {f in R mid f in mathbf {m} ^ {n} { text {har yopiq nuqta uchun}} mathbf {m} in Z }}$^[1]

Konteynerlar

Ramziy kuchlarning oddiy kuchlar bilan rozi yoki yo'qligini ko'rib chiqish tabiiy, ya'ni ${ displaystyle I ^ {n} = I ^ {(n)}}$ tutmoq? Umuman olganda bunday emas. Buning bir misoli - bu asosiy ideal ${ displaystyle P = (x ^ {4} -yz, , y ^ {2} -xz, , x ^ {3} y-z ^ {2}) subeteq K [x, y, z]}$. Mana bizda ${ displaystyle P ^ {2} neq P ^ {(2)}}$.^[1] Biroq, ${ displaystyle P ^ {2} subset P ^ {(2)}}$ buni amalga oshiradi va umumlashtiradi qo'shilish yaxshi tushunilgan. Darhaqiqat, qamoq ${ displaystyle I ^ {n} subseteq I ^ {(n)}}$ta'rifidan kelib chiqadi. Bundan tashqari, bu ma'lum ${ displaystyle I ^ {r} subseteq I ^ {(m)}}$ agar va faqat agar ${ displaystyle m leq r}$. Dalil kelib chiqadi Nakayamaning lemmasi.^[4]

Ramziy kuchlar ideallarning oddiy kuchlarida mavjud bo'lib, ularni qamrab olish muammosi deb nomlangan bo'lsa, boshqa qamrab olish bo'yicha keng qamrovli tadqiqotlar olib borildi. Yana bir bor, bu quyidagi teoremada qisqacha bayon etilgan osonlikcha javob berilgan. Ein, Lazarfeld va Smit tomonidan xarakterli nolda ishlab chiqilgan ^[5] va kengaytirildi ijobiy xususiyat Hochster va Huneke tomonidan.^[6] Ularning hujjatlari ham natijalarga asoslanadi Irena Swanson yilda Ideal topologiyalarning chiziqli ekvivalenti (2000).^[7]

Teorema (Ein, Lazarfeld, Smit; Xoxster, Huneke) Ruxsat bering ${ displaystyle I kichik to'plam K [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {N}]}$ bo'lishi a bir hil ideal. Keyin qo'shilish

${ displaystyle I ^ {(m)} subset I ^ {r}}$ hamma uchun amal qiladi ${ displaystyle m geq Nr.}$

Keyinchalik tasdiqlangan bog'langan ning ${ displaystyle N}$ teoremada umumiy ideallar uchun torayib bo'lmaydi.^[8] Biroq, berilgan savoldan keyin^[8] Bocci, Harbourne va Huneke tomonidan ba'zi holatlarda yaxshi chegaralar mavjudligi aniqlandi.

Teorema Kiritish ${ displaystyle I ^ {(m)} subseteq I ^ {r}}$ Barcha uchun ${ displaystyle m geq Nr-N + 1}$ ushlab turadi

1. 2 xarakteristikadagi o'zboshimchalik ideallari uchun;^[9]
2. uchun monomial ideallar o'zboshimchalik xarakteristikasida^[4]
3. ideallari uchun yulduzlar^[8]
4. umumiy fikrlarning ideallari uchun ${ displaystyle mathbb {P} ^ {2} { text {and}} mathbb {P} ^ {3}}$^[10][11]

Adabiyotlar

Chapdan: Brayan Xarburn, Sandra Di Rokko, Tomash Szemberg [pl ]Tomas Bauer esa MFO mini-ustaxona Algebraik navlar bo'yicha chiziqli seriyalar, 2010

Tashqi havolalar

• Melvin Xoxster, Matematika 711: 2007 yil 7 sentyabr ma'ruzasi