Simpektik kesma - Symplectic cut

Yilda matematika, xususan simpektik geometriya, simpektik kesma geometrik modifikatsiyadir simpektik manifoldlar. Uning ta'siri ma'lum bir manifoldni ikki qismga ajratishdir. Teskari operatsiya mavjud simpektik summa, bu ikkita manifoldni biriga yopishtiradi. Simpektik kesimni simpektikani umumlashtirish sifatida ham qarash mumkin portlatib. Kesish 1995 yilda Evgeniy Lerman tomonidan taqdim etilgan bo'lib, uni o'rganish uchun foydalangan simpektik kotirovka va kollektorlarda boshqa operatsiyalar.

Topologik tavsif

Ruxsat bering ${displaystyle (X, omega)}$ har qanday simpektik manifold bo'lishi va

${displaystyle mu: X o mathbb {R}}$

a Hamiltoniyalik kuni ${displaystyle X}$. Ruxsat bering ${displaystyle epsilon}$ ning har qanday muntazam qiymati bo'lishi ${displaystyle mu}$, shuning uchun daraja o'rnatildi ${displaystyle mu ^ {- 1} (epsilon)}$ silliq manifold. Bundan tashqari, taxmin qiling ${displaystyle mu ^ {- 1} (epsilon)}$ doiralarda tolali bo'lib, ularning har biri induksiyaning ajralmas egri chizig'i hisoblanadi Hamiltonian vektor maydoni.

Ushbu taxminlarga ko'ra ${displaystyle mu ^ {- 1} ([epsilon, yaroqsiz))}$ chegara bilan ko'p qirrali ${displaystyle mu ^ {- 1} (epsilon)}$va bitta manifold hosil qilishi mumkin

${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$

har bir doira tolasini bir nuqtaga tushirish orqali. Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$ bu ${displaystyle X}$ pastki to'plam bilan ${displaystyle mu ^ {- 1} ((- infty, epsilon))}$ olib tashlandi va chegara har bir doira tolasi bo'ylab qulab tushdi. Chegaraning miqdori submanifolddir ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$ ning kod o'lchovi ikkitasi, belgilangan ${displaystyle V}$.

Xuddi shunday, biri shakllanishi mumkin ${displaystyle mu ^ {- 1} ((- infty, epsilon])}$ ko'p qirrali ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon}}$, shuningdek, uning nusxasini o'z ichiga oladi ${displaystyle V}$. The simpektik kesma manifoldlar juftligi ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon}}$ va ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$.

Ba'zan simpektik kesmaning ikkala yarmini birgalikda submanifold bo'ylab birlashtirilganligini ko'rish foydalidir ${displaystyle V}$ singular maydon hosil qilish

${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon} cup _ {V} {overline {X}} _ {mu geq epsilon}.}$

Masalan, bu singular faza deformatsiya deb qaraladigan simpektik yig'indidagi markaziy tola hisoblanadi.

Simpektik tavsif

Oldingi tavsif juda xom; simpektik kesmada simpektik tuzilishini kuzatib borish uchun ko'proq ehtiyot bo'lish kerak. Buning uchun ruxsat bering ${displaystyle (X, omega)}$ har qanday simpektik manifold bo'ling. Deb o'ylang doira guruhi ${displaystyle U (1)}$ harakat qiladi kuni ${displaystyle X}$ a Hamiltoniyalik bilan moment xaritasi

${displaystyle mu: X o mathbb {R}.}$

Ushbu moment xaritasini aylana harakatini yaratadigan Hamilton funktsiyasi sifatida ko'rish mumkin. Mahsulot maydoni ${displaystyle X imes mathbb {C}}$, koordinatali ${displaystyle z}$ kuni ${displaystyle mathbb {C}}$, induksiya qilingan simpektik shakl bilan keladi

${displaystyle omega oplus (-idzwedge d {ar {z}}).}$

Guruh ${displaystyle U (1)}$ tomonidan Gamilton usulida harakat qiladi

${displaystyle e ^ {i heta} cdot (x, z) = (e ^ {i heta} cdot x, e ^ {- i heta} z)}$

moment xaritasi bilan

${displaystyle u (x, z) = mu (x) - | z | ^ {2}.}$

Ruxsat bering ${displaystyle epsilon}$ aylana harakati erkin bo'ladigan har qanday haqiqiy son bo'ling ${displaystyle mu ^ {- 1} (epsilon)}$. Keyin ${displaystyle epsilon}$ ning muntazam qiymati ${displaystyle u}$va ${displaystyle u ^ {- 1} (epsilon)}$ ko'p qirrali.

Ushbu kollektor ${displaystyle u ^ {- 1} (epsilon)}$ ochkolar to'plamini submanifold sifatida o'z ichiga oladi ${displaystyle (x, z)}$ bilan ${displaystyle mu (x) = epsilon}$ va ${displaystyle | z | ^ {2} = 0}$; bu submanifold tabiiy ravishda aniqlangan ${displaystyle mu ^ {- 1} (epsilon)}$. Nuqtalardan iborat submanifoldning komplementi ${displaystyle (x, z)}$ bilan ${displaystyle mu (x)> epsilon}$, ning mahsuloti bilan tabiiy ravishda aniqlanadi

${displaystyle X _ {> epsilon}: = mu ^ {- 1} ((epsilon, yaroqsiz))}$

va aylana.

Kollektor ${displaystyle u ^ {- 1} (epsilon)}$ Hamilton doirasi harakatini meros qilib oladi, xuddi uning yuqorida aytib o'tilgan ikkita submanifoldlari ham. Shunday qilib, simpektik kvotani yaratish mumkin

${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}: = u ^ {- 1} (epsilon) / U (1).}$

Qurilish bo'yicha u o'z ichiga oladi ${displaystyle X_ {mu> epsilon}}$ zich ochiq submanifold sifatida; mohiyatan, bu ochiq manifoldni simpektik qism bilan ixchamlashtiradi

${displaystyle V: = mu ^ {- 1} (epsilon) / U (1),}$

ning simpektik submanifoldidir ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$ Ikkinchi kod o'lchovi.

Agar ${displaystyle X}$ bu Kaxler, keyin kesilgan joy ham shunday bo'ladi ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$; ammo, ning joylashtirilishi ${displaystyle X_ {mu> epsilon}}$ izometriya emas.

Bitta tuzilish ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon}}$, simmetrik kesimning ikkinchi yarmi, nosimmetrik tarzda. The oddiy to'plamlar ning ${displaystyle V}$ kesmaning ikkala yarmida bir-biriga qarama-qarshi (simpatik jihatdan anti-izomorf degan ma'noni anglatadi). Ning simpektik yig'indisi ${displaystyle {overline {X}} _ {mu geq epsilon}}$ va ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq epsilon}}$ birga ${displaystyle V}$ tiklanadi ${displaystyle X}$.

Global Hamilton doirasi harakatining mavjudligi ${displaystyle X}$ cheklovchi taxmin kabi ko'rinadi. Biroq, bu aslida zarur emas; kesish umumiy gipotezalar ostida amalga oshirilishi mumkin, masalan, mahalliy Hamilton doirasi harakati ${displaystyle mu ^ {- 1} (epsilon)}$ (kesish mahalliy operatsiya bo'lgani uchun).

Kesilgan holda portlating

Qachon murakkab ko'p qirrali ${displaystyle X}$ submanifold bo'ylab portlatilgan ${displaystyle Z}$, zarba lokus ${displaystyle Z}$ bilan almashtiriladi ajoyib bo'luvchi ${displaystyle E}$ va qolgan manifold bezovta qilinmaydi. Topologik nuqtai nazardan, ushbu operatsiyani anni olib tashlash deb hisoblash mumkin ${displaystyle epsilon}$- portlagan lokusning qo'shniligi, so'ngra chegaraning qulashi Hopf xaritasi.

Simpektik manifoldni portlatish yanada nozikroq, chunki portlashda favqulodda bo'linuvchi bo'ylab silliq davom etish uchun simpektik shakl portlash lokusining yaqinida o'rnatilishi kerak. Simpektik kesish mahallani yo'q qilish / chegaralarni qulash jarayonini simpektik jihatdan qat'iy qilishning oqlangan vositasidir.

Oldingi kabi, ruxsat bering ${displaystyle (X, omega)}$ Hamiltoniyalik bilan simpektik manifold bo'ling ${displaystyle U (1)}$- moment xaritasi bilan harakat qilish ${displaystyle mu}$. Moment xaritasi to'g'ri va u maksimal darajaga erishadi deb taxmin qiling ${displaystyle m}$ to'liq simpektik submanifold bo'ylab ${displaystyle Z}$ ning ${displaystyle X}$. Bundan tashqari, izotropiya bilan ifodalanish og'irliklari ${displaystyle U (1)}$ oddiy to'plamda ${displaystyle N_ {X} Z}$ hammasi ${displaystyle 1}$.

Keyin kichik uchun ${displaystyle epsilon}$ faqat tanqidiy fikrlar ${displaystyle X_ {mu> m-epsilon}}$ ular mavjud ${displaystyle Z}$. Simpektik kesma ${displaystyle {overline {X}} _ {mu leq m-epsilon}}$, simpektikani o'chirish orqali hosil bo'ladi ${displaystyle epsilon}$- mahalla ${displaystyle Z}$ va chegarani qulab tushirish, bu simpektik zarba ${displaystyle X}$ birga ${displaystyle Z}$.

Adabiyotlar

• Eugene Lerman: Simpektik qisqartirishlar, Matematik tadqiqot xatlari 2 (1995), 247–258
• Dyusa McDuff va D. Salamon: Simpektik topologiyaga kirish (1998) Oksford matematik monografiyalari, ISBN  0-19-850451-9.