Tellegens teoremasi - Tellegens theorem - Wikipedia

Tellegen teoremasi eng kuchli teoremalardan biridir tarmoq nazariyasi. Tarmoq nazariyasidagi energiya taqsimotining aksariyat teoremalari va ekstremum printsiplari shundan kelib chiqishi mumkin. U 1952 yilda nashr etilgan Bernard Tellegen.^[1] Asosan Tellegen teoremasi qondiradigan kattaliklar orasidagi oddiy munosabatni beradi Kirchhoff qonunlari elektr elektronlar nazariyasi.

Tellegen teoremasi ko'plab tarmoq tizimlariga taalluqlidir. Tizimlar uchun asosiy taxminlar - bu katta miqdordagi oqimning saqlanishi (Kirxhoffning amaldagi qonuni, KCL) va tarmoq tugunlaridagi potentsialning o'ziga xosligi (Kirchhoffning kuchlanish qonuni, KVL). Tellegen teoremasi elektr tarmoqlarini o'z ichiga olgan murakkab tarmoq tizimlarini tahlil qilish uchun foydali vosita bo'lib xizmat qiladi, biologik va metabolik tarmoqlar, quvur liniyasi transporti tarmoqlar va kimyoviy jarayon tarmoqlar.

Teorema

Grafigi o'zboshimchalik bilan birlashtirilgan tarmoqni ko'rib chiqing ${ displaystyle G}$ bor ${ displaystyle b}$ filiallari va ${ displaystyle n_ {t}}$ tugunlar. Elektr tarmog'ida filiallar ikkita terminalli komponentlar va tugunlar o'zaro bog'lanish nuqtalari. Grafaning har bir tarmog'iga biz o'zboshimchalik bilan tarmoq potentsiali farqini beramiz deylik ${ displaystyle W_ {k}}$ va filial oqimi ${ displaystyle F_ {k}}$ uchun ${ displaystyle k = 1,2, nuqta, b}$, va ular o'zboshimchalik bilan tanlanganlarga nisbatan o'lchanadi deb taxmin qiling bog'liq yo'nalish yo'nalishlari. Agar filialning potentsial farqlari bo'lsa ${ displaystyle W_ {1}, W_ {2}, dots, W_ {b}}$ KVL tomonidan qo'yilgan barcha cheklovlarni qondirish va agar tarmoq oqimlari bo'lsa ${ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, nuqtalar, F_ {b}}$ keyin KCL tomonidan qo'yilgan barcha cheklovlarni qondirish

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {b} W_ {k} F_ {k} = 0.}$

Tellegen teoremasi nihoyatda umumiy; har qanday elementlarni o'z ichiga olgan har qanday birlashtirilgan tarmoq uchun amal qiladi, chiziqli yoki chiziqli emas, passiv yoki faol, vaqt o'zgaruvchan yoki vaqt o'zgarmas. Umumiylik qachon kengaytiriladi ${ displaystyle W_ {k}}$ va ${ displaystyle F_ {k}}$ potentsial farqlar to'plami va tarmoq oqimlari to'plamidagi chiziqli operatsiyalar (mos ravishda), chunki chiziqli operatsiyalar KVL va KCLga ta'sir qilmaydi. Masalan, chiziqli operatsiya o'rtacha yoki bo'lishi mumkin Laplasning o'zgarishi. Umuman olganda, KVLni saqlaydigan operatorlar Kirchhoff kuchlanish operatorlari, KCLni saqlaydigan operatorlar Kirchhoff joriy operatorlari va ikkalasini ham saqlaydigan operatorlar shunchaki Kirchhoff operatorlari deyiladi. Ushbu operatorlar Tellegen teoremasini bajarish uchun albatta chiziqli bo'lishi shart emas.^[2]

Oqimlar to'plami potentsial farqlar to'plamidan farqli vaqtlarda ham namuna olinishi mumkin, chunki KVL va KCL barcha vaqtlarda to'g'ri keladi. Boshqa kengaytma - bu potentsial farqlar to'plami ${ displaystyle W_ {k}}$ bitta tarmoqdan va oqimlar to'plamidan ${ displaystyle F_ {k}}$ butunlay boshqa tarmoqdan, agar ikkita tarmoq bir xil topologiyaga ega bo'lsa (bir xil bo'lsa) insidensiya matritsasi ) Tellegen teoremasi haqiqiy bo'lib qolmoqda. Tellegen teoremasining ushbu kengaytmasi ikki portli tarmoqlarga oid ko'plab teoremalarga olib keladi.^[3]

Ta'riflar

Biz ixcham dalilni ta'minlash uchun bir nechta kerakli tarmoq ta'riflarini kiritishimiz kerak.

Hodisa matritsasi:The ${ displaystyle n_ {t} times n_ {f}}$ matritsa ${ displaystyle mathbf {A_ {a}}}$ matritsa elementlari uchun tugundan tarmoqqa tushish matritsasi deyiladi ${ displaystyle a_ {ij}}$ bo'lish

${ displaystyle a_ {ij} = { begin {case} 1, & { text {if flow}} j { text {tark tugun}} i - 1, & { text {if flow}} j { text {tuguniga}} i 0 kiritadi, va { text {agar oqim}} j { text {tuguniga to'g'ri kelmasa}} i end {case}}}$

Ma'lumotnoma yoki ma'lumotlar tuguni ${ displaystyle P_ {0}}$ atrof-muhitni namoyish qilish uchun kiritilgan va barcha dinamik tugunlar va terminallarga ulangan. The ${ displaystyle (n_ {t} -1) marta n_ {f}}$ matritsa ${ displaystyle mathbf {A}}$, bu erda elementlarni o'z ichiga olgan qator ${ displaystyle a_ {0j}}$ mos yozuvlar tugunining ${ displaystyle P_ {0}}$ yo'q qilinadi, kamaytirilgan insidens matritsasi deyiladi.

The tabiatni muhofaza qilish qonunlari (KCL) matritsa shaklida:

${ displaystyle mathbf {A} mathbf {F} = mathbf {0}}$

The potentsialning o'ziga xosligi (KVL) matritsa shaklida:

${ displaystyle mathbf {W} = mathbf {A ^ {T}} mathbf {w}}$

qayerda ${ displaystyle w_ {k}}$ mos yozuvlar tugunidagi tugunlardagi mutlaq potentsialdir ${ displaystyle P_ {0}}$.

Isbot

KVL-dan foydalanish:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {W ^ {T}} mathbf {F} = mathbf {(A ^ {T} w) ^ {T}} mathbf {F} = mathbf {( w ^ {T} A)} mathbf {F} = mathbf {w ^ {T} AF} = mathbf {0} end {aligned}}}$

chunki ${ displaystyle mathbf {AF} = mathbf {0}}$ tomonidan KCL. Shunday qilib:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {b} W_ {k} F_ {k} = mathbf {W ^ {T}} mathbf {F} = 0}$

Ilovalar

Tarmoq analoglari turli xil fizik tizimlar uchun yaratilgan va ularning dinamik harakatlarini tahlil qilishda juda foydali ekanligi isbotlangan. Tarmoq nazariyasi va Tellegen teoremasi uchun klassik dastur maydoni elektr zanjiri nazariyasidir. Asosan signalni qayta ishlash dasturlarida filtrlarni loyihalash uchun foydalaniladi.

Tellegen teoremasining yaqinda qo'llanilishi kimyoviy va biologik jarayonlar sohasidir. Elektr zanjirlari haqidagi taxminlar (Kirchhoff qonunlari) qaytarilmas termodinamik qonunlariga bo'ysunadigan dinamik tizimlar uchun umumlashtiriladi. Tellegen teoremasi yordamida reaksiya tarmoqlarining topologiyasi va tuzilishini (reaksiya mexanizmlari, metabolizm tarmoqlari) tahlil qilish mumkin.

Tellegen teoremasining yana bir qo'llanilishi - kimyoviy zavodlar yoki neft qazib olish tizimlari kabi murakkab texnologik tizimlarning barqarorligi va maqbulligini aniqlash. Tellegen teoremasi jarayonli tugunlarni, terminallarni, oqim ulanishlarini ishlatadigan va ko'p miqdordagi miqdorlarni ishlab chiqarish yoki yo'q qilish uchun lavabolar va manbalarni ishlatadigan texnologik tizimlar uchun tuzilishi mumkin.

Tellegen texnologik tizimlari teoremasi uchun formulalar:

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n_ {P}} W_ {j} { frac { operator nomi {d} Z_ {j}} { operator nomi {d} t}} = sum _ { k = 1} ^ {n_ {f}} W_ {k} f_ {k} + sum _ {j = 1} ^ {n_ {P}} w_ {j} p_ {j} + sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} w_ {j} t_ {j}, quad j = 1, nuqta, n_ {p} + n_ {t}}$

qayerda ${ displaystyle p_ {j}}$ ishlab chiqarish shartlari, ${ displaystyle t_ {j}}$ terminal ulanishlari va ${ displaystyle { frac { operatorname {d} Z_ {j}} { operatorname {d} t}}}$ keng o'zgaruvchilar uchun dinamik saqlash shartlari.

Adabiyotlar

Qatorli ma'lumotnomalar

Umumiy ma'lumotnomalar

Tashqi havolalar

• Tellegen teoremasining elektron misoli
• G.F. Oster va C.A. Desoer, Tellegen teoremasi va termodinamik tengsizliklar
• Tarmoq termodinamikasi