Toda qavs - Toda bracket

Matematikada Toda qavs bu xaritalarning homotopiya sinflari bo'yicha operatsiya, xususan gomotopiya guruhlari nomi bilan nomlangan Xiroshi Toda, ularni kim aniqlagan va ularni gomotopiya guruhlarini hisoblashda foydalangan (Toda 1962 yil ).

Ta'rif

Qarang (Kochman 1990 yil ) yoki (Toda 1962 yil Qo'shimcha ma'lumot olish uchun

${displaystyle W {stackrel {f} {o}} X {stackrel {g} {o}} Y {stackrel {h} {o}} Z}$

- bo'shliqlar orasidagi xaritalar ketma-ketligi, shunday qilib kompozitsiyalar ${displaystyle gcirc f}$ va ${displaystyle hcirc g}$ ikkalasi ham nullhomotopik. Bo'sh joy berilgan ${displaystyle A}$, ruxsat bering ${displaystyle CA}$ ni belgilang konus ning ${displaystyle A}$. Keyin biz (noyob bo'lmagan) xaritani olamiz

${displaystyle Fcolon CW o Y}$

tomonidan qo'zg'atilgan homotopiya dan ${displaystyle gcirc f}$ keyinchalik tuzilgan ahamiyatsiz xaritaga ${displaystyle h}$ xaritani beradi

${displaystyle hcirc Fcolon CW o Z}$.

Xuddi shunday biz noyob bo'lmagan xaritani olamiz ${displaystyle Gcolon CX o Z}$ dan homotopiya bilan kelib chiqqan ${displaystyle hcirc g}$ tuzilayotganda ahamiyatsiz xaritaga ${displaystyle C_ {f} CW o CX}$, xaritaning konusi ${displaystyle f}$, boshqa xaritani beradi,

${displaystyle Gcirc C_ {f} ikki nuqta CW o Z}$.

Ushbu ikkita konusni birlashtirib ${displaystyle W}$ va ulardan xaritalar ${displaystyle Z}$, biz xaritani olamiz

${displaystyle langle f, g, ochik nuqta SW o Z}$

guruhdagi elementni ifodalovchi ${displaystyle [SW, Z]}$ to'xtatib qo'yilgan xaritalarning homotopiya sinflari ${displaystyle SW}$ ga ${displaystyle Z}$, deb nomlangan Toda qavs ning ${displaystyle f}$, ${displaystyle g}$va ${displaystyle h}$. Xarita ${displaystyle langle f, g, hangle}$ homotopiyaga qadar yagona aniqlanmagan, chunki konuslardan xaritalarni tanlashda ba'zi tanlov mavjud edi. Ushbu xaritalarni o'zgartirish Toda qavsini elementlarini qo'shish orqali o'zgartiradi ${displaystyle h [SW, Y]}$ va ${displaystyle [SX, Z] f}$.

Bir nechta elementlardan yuqori toda qavslari mavjud bo'lib, ularga mos keladigan pastki toka qavslari yo'qolganda aniqlanadi. Bu nazariyasiga parallel Massey mahsulotlari yilda kohomologiya.

Sferalarning turg'un homotopiya guruhlari uchun toda qavschasi

The to'g'ridan-to'g'ri summa

${displaystyle pi _ {ast} ^ {S} = igoplus _ {kgeq 0} pi _ {k} ^ {S}}$

sharlarning barqaror homotopiya guruhlaridan a superkommutativ darajalangan uzuk, bu erda ko'paytma (kompozitsion mahsulot deb ataladi) xaritalarni aks ettiruvchi tarkib bilan beriladi va nolga teng bo'lmagan har qanday element nolpotent (Nishida 1973 yil ).

Agar f va g va h ning elementlari ${displaystyle pi _ {ast} ^ {S}}$ bilan ${displaystyle fcdot g = 0}$ va ${displaystyle gcdot h = 0}$bor Toda qavs ${displaystyle langle f, g, hangle}$ Ushbu elementlarning Toda qavschasi barqaror homotopiya guruhining elementi emas, chunki u faqat ba'zi boshqa elementlarning kompozitsion mahsulotlarini qo'shishgacha aniqlanadi. Xiroshi Toda gomotopiya guruhlarining ko'plab elementlarini belgilash uchun kompozitsion mahsulot va Toda qavslaridan foydalangan.Koen (1968) sharsimon turg'un homotopiya guruhlarining har bir elementini Hopf elementlari deb nomlangan ma'lum elementlar bo'yicha kompozitsion mahsulotlar va yuqori toda qavslari yordamida ifodalash mumkinligini ko'rsatdi.

Umumiy uchburchak toifalari uchun toda qavs

Generalga nisbatan uchburchak toifasi toda qavsini quyidagicha aniqlash mumkin. Yana, deylik

${displaystyle W {stackrel {f} {o}} X {stackrel {g} {o}} Y {stackrel {h} {o}} Z}$

a-dagi morfizm ketma-ketligi uchburchak toifasi shu kabi ${displaystyle gcirc f = 0}$ va ${displaystyle hcirc g = 0}$. Ruxsat bering ${displaystyle C_ {f}}$ konusini belgilang f shuning uchun biz aniq uchburchakni olamiz

${displaystyle W {stackrel {f} {o}} X {stackrel {i} {o}} C_ {f} {stackrel {q} {o}} W [1]}$

Aloqalar ${displaystyle gcirc f = 0}$ shuni anglatadiki g omillar (noyob) orqali ${displaystyle C_ {f}}$ kabi

${displaystyle X {stackrel {i} {o}} C_ {f} {stackrel {a} {o}} Y}$

kimdir uchun ${displaystyle a}$. Keyin, munosabat ${displaystyle hcirc acirc i = hcirc g = 0}$ shuni anglatadiki ${displaystyle hcirc a}$ omillar (noyob) orqali V [1] kabi

${displaystyle C_ {f} {stackrel {q} {o}} W [1] {stackrel {b} {o}} Z}$

kimdir uchun b. Bu b Toda qavsidir (tanlovi) ${displaystyle langle f, g, hangle}$ guruhda ${displaystyle operator nomi {hom} (W [1], Z)}$.

Adabiyotlar

• Koen, Joel M. (1968), "Barqaror homotopiyaning parchalanishi.", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 87 (2): 305–320, doi:10.2307/1970586, JSTOR  1970586, JANOB  0231377, PMC  224450.
• Kochman, Stenli O. (1990), "Toda qavslari", Sferalarning barqaror homotopiya guruhlari. Kompyuter yordamida yondashish, Matematikadan ma'ruza matnlari, 1423, Berlin: Springer-Verlag, 12-34 betlar, doi:10.1007 / BFb0083797, ISBN  978-3-540-52468-7, JANOB  1052407.
• Nishida, Goro (1973), "Sferalarning turg'un homotopiya guruhlari elementlarining nilpotentsiyasi", Yaponiya matematik jamiyati jurnali, 25 (4): 707–732, doi:10.2969 / jmsj / 02540707, ISSN  0025-5645, JANOB  0341485.
• Toda, Xiroshi (1962), Sferalarning gomotopiya guruhlarida kompozitsiya usullari, Matematik tadqiqotlar yilnomalari, 49, Prinston universiteti matbuoti, ISBN  978-0-691-09586-8, JANOB  0143217.