Tube domeni - Tube domain

Yilda matematika, a kolba domeni vertikal chiziq (yoki) tushunchasini umumlashtirishdir yarim tekislik ) ichida murakkab tekislik ga bir nechta murakkab o'zgaruvchilar. Ipni murakkab raqamlar to'plami deb hisoblash mumkin haqiqiy qism haqiqiy chiziqning ma'lum bir kichik qismida va uning tasavvur qismi cheklanmagan holda yotish; Shunga o'xshab, kolba - bu haqiqiy vektorlar to'plamida haqiqiy qismi bo'lgan va tasavvur qismi cheklanmagan murakkab vektorlarning to'plamidir.

Tube domenlari domenlar ning Laplasning o'zgarishi funktsiyasining bir nechta haqiqiy o'zgaruvchilar (qarang ko'p o'lchovli Laplas konvertatsiyasi ). Qattiq joylar naychalarda "." ning versiyasi aniqlanishi mumkin Peyli-Viyner teoremasi bitta o'zgaruvchidan ushlab turishni davom ettiradi va Hardy bo'shliqlarining elementlarini xarakterlaydi, chunki Laplas funktsiyalarni mos keladigan integral xususiyatlariga ega. Naychalar tugadi qavariq to'plamlar bor holomorfiya domenlari. Qavariq ustidagi naychalardagi Xardi bo'shliqlari konuslar ning chegara qiymatlari bo'yicha aniq natijalar ma'lum bo'lishi uchun juda boy tuzilishga ega H^p funktsiyalari. Matematik fizikada kelajakdagi naycha o'tmishning ichki qismi bilan bog'liq bo'lgan kolba domeni nol konus yilda Minkovskiy maydoni va dasturlari mavjud nisbiylik nazariyasi va kvant tortishish kuchi.^[1] Konus ustidagi ma'lum naychalar a Bergman metrikasi ular jihatidan ular bo'lishadi cheklangan nosimmetrik domenlar. Ulardan biri Siegel yarim bo'sh joy bu asosiy hisoblanadi arifmetik.

Ta'rif

Ruxsat bering Rⁿ belgilash haqiqiy koordinata maydoni o'lchov n va Cⁿ belgilash murakkab koordinata maydoni. Keyin. Ning har qanday elementi Cⁿ haqiqiy va xayoliy qismlarga bo'linishi mumkin:

${ displaystyle a = (z_ {1}, dots, z_ {n}) = (x_ {1} + iy_ {1}, dots, x_ {n} + iy_ {n}) = (x_ {1} , nuqta, x_ {n}) + i (y_ {1}, nuqta, y_ {n}) = x + iy.}$

Ruxsat bering A bo'lish ochiq pastki qismi Rⁿ. The naycha ustiga A, belgilangan T_A, ning pastki qismi Cⁿ haqiqiy qismlari yotadigan barcha elementlardan iborat A:^[2][a]

${ displaystyle T_ {A} = {z = x + iy in mathbb {C} ^ {n} mid x in A }.}$

Naychalar holomorfiya domenlari sifatida

Aytaylik A ulangan ochiq to'plam. Keyin har qanday murakkab qiymatli funktsiya holomorfik naychada T_A holomorfik funktsiyaga noyob tarzda kengaytirilishi mumkin qavariq korpus kolba ch T_A,^[2] bu ham naycha va aslida

${ displaystyle operator nomi {ch} , T_ {A} = T _ { operator nomi {ch} , A}.}$

Har qanday qavariq ochiq to'plam a bo'lganligi sababli holomorfiya sohasi, konveks naycha ham holomorfiya sohasidir. Shunday qilib holomorf konvert har qanday trubaning konveks qobig'iga teng.^[3]

Qattiq joylar

Ruxsat bering A bo'lish ochiq to'plam yilda Rⁿ. The Qattiq joy H ^p(T_A) barchaning to'plamidir holomorfik funktsiyalar F yilda T_A shu kabi

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} | F (x + iy) | ^ {p} , dy < infty}$

Barcha uchun x yilda A.

Maxsus holatda p = 2, funktsiyalari H²(T_A) quyidagicha tavsiflanishi mumkin.^[4] Ruxsat bering ƒ bo'yicha kompleks qiymatli funktsiya bo'lishi Rⁿ qoniqarli

${ displaystyle sup _ {x in A} int _ { mathbb {R} ^ {n}} | f (t) | ^ {2} e ^ {- 4 pi x cdot t} , dt < infty.}$

Ning Fourier-Laplas konvertatsiyasi ƒ bilan belgilanadi

${ displaystyle F (x + iy) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 pi z cdot t} f (t) , dt.}$

Keyin F aniq belgilangan va tegishli H²(T_A). Aksincha, ning har bir elementi H²(T_A) ushbu shaklga ega.

Ushbu tavsifning xulosasi shundan iborat H²(T_A) faqat nolga teng bo'lmagan funktsiyani o'z ichiga oladi A hech qanday to'g'ri chiziqni o'z ichiga olmaydi.

Konus ustidagi naychalar

Ruxsat bering A ochiq konveks konus bo'ling Rⁿ. Bu shuni anglatadiki A bu ochiq qavariq o'rnatilgan shunday qilib, har doim x yotadi A, boshlanishidan to butun nurlari ham shunday bo'ladi x. Ramziy ma'noda,

${ displaystyle x in A tx in A { text {for all}} t> 0.}$

Agar A konus, keyin elementlari H₂(T_A) bor L² chegara chegaralari bu ma'noda^[4]

${ displaystyle lim _ {y dan 0} F (x + iy)}$

mavjud L²(B). Uchun o'xshash natija mavjud H^p(T_A), ammo bu konusning qo'shimcha muntazamligini talab qiladi (xususan, ikkita konus A* bo'sh bo'lmagan interyerga ega bo'lishi kerak).

Shuningdek qarang

• Reinhardt domeni
• Siegel domeni

Izohlar

Iqtiboslar

Manbalar