Hozirgi (matematika) - Current (mathematics) - Wikipedia

Yilda matematika, xususan funktsional tahlil, differentsial topologiya va geometrik o'lchov nazariyasi, a k- hozirgi ma'nosida Jorj de Ram a funktsional makonida ixcham qo'llab-quvvatlanadi differentsial k- shakllar, a silliq manifold M. Oqimlar rasmiy ravishda o'zini tutishadi Shvarts tarqatish differentsial shakllar oralig'ida, lekin geometrik sharoitda ular submanifold orqali integratsiyani ifodalashi mumkin, Dirac delta funktsiyasi yoki umuman umuman yo'naltirilgan hosilalar delta funktsiyalari (multipoles ) ning pastki to'plamlari bo'ylab tarqaldi M.

Ta'rif

Ruxsat bering silliq bo'shliqni bildiring m-shakllari bilan ixcham qo'llab-quvvatlash a silliq manifold . Oqim a chiziqli funktsional kuni ma'nosida doimiy bo'lgan tarqatish. Shunday qilib, chiziqli funktsional

bu m- agar u bo'lsa o'lchovli oqim davomiy quyidagi ma'noda: Agar ketma-ketlik bo'lsa Hammasi bir xil ixcham to'plamda qo'llab-quvvatlanadigan silliq shakllar, ularning barcha koeffitsientlarining hosilalari 0 ga teng bo'lganda cheksizlikka intiladi, keyin 0 ga intiladi.

Bo'sh joy ning m- o'lchovli oqimlar a haqiqiy vektor maydoni tomonidan belgilangan operatsiyalar bilan

Tarqatish nazariyasining aksariyati minimal o'zgarishlar bilan oqimlarga to'g'ri keladi. Masalan, birini belgilashi mumkin qo'llab-quvvatlash tokning eng kattasini to'ldiruvchi sifatida ochiq to'plam shu kabi

har doim

The chiziqli pastki bo'shliq ning ning ixcham pastki qismi bo'lgan (yuqoridagi ma'noda) qo'llab-quvvatlanadigan oqimlardan iborat bilan belgilanadi .

Gomologik nazariya

Integratsiya ixcham ustida tuzatilishi mumkin yo'naltirilgan submanifold M (chegara bilan ) o'lchov m belgilaydi mbilan belgilanadi :

Agar chegaraM ning M tuzatilishi mumkin, keyin u ham oqimni integratsiya va aniqlik bilan belgilaydi Stoks teoremasi bittasida:

Bu bilan bog'liq tashqi hosila d bilan chegara operatorihomologiya ning M.

Ushbu formulani hisobga olgan holda biz qila olamiz aniqlang a chegara operatori o'zboshimchalik oqimlari to'g'risida

tomonidan tashqi lotin bilan ikkilik orqali

barcha ixcham qo'llab-quvvatlanadiganlar uchun m- shakllar ω.

Yopilgan oqimlarning ma'lum bir kichik sinflari qoniqtirishi mumkin bo'lgan gomologiya nazariyasini yaratish uchun barcha oqimlar o'rniga ishlatilishi mumkin Eilenberg-Shtenrod aksiomalari ba'zi hollarda. Klassik misol - Lipschits mahallasi retraktsiyalaridagi integral oqimlarning subklassi.

Topologiya va normalar

Oqimlar maydoni tabiiy ravishda. Bilan ta'minlangan zaif- * topologiya, bu yanada sodda deb nomlanadi zaif yaqinlashish. A ketma-ketlik Tk oqimlar, yaqinlashadi oqimga T agar

Bir nechtasini aniqlash mumkin normalar barcha oqimlar makonining pastki maydonlarida. Bunday me'yorlardan biri ommaviy norma. Agar $ a $ bo'lsa m-form, keyin uni aniqlang komas tomonidan

Shunday qilib, agar $ a $ $ bo'lsa oddiy m-form, keyin uning massa normasi odatdagi L- uning koeffitsienti normasi. The massa tokning T keyin sifatida belgilanadi

Oqimning massasi tortilgan maydon umumlashtirilgan sirt. Hozirgi shunday M(T) <∞ odatdagi Borel o'lchovini ning versiyasi bilan birlashtirish orqali ifodalanadi Rizz vakillik teoremasi. Bu boshlang'ich nuqtasi homologik integratsiya.

Oraliq norma Uitnining normasi yassi normatomonidan belgilanadi

Ikki oqim, agar ular kichik bir qismga to'g'ri keladigan bo'lsa, massa normasida yaqin. Boshqa tomondan, agar ular kichik deformatsiyaga to'g'ri keladigan bo'lsa, ular tekis me'yorga yaqin.

Misollar

Buni eslang

quyidagicha 0 oqim aniqlanadi:

Xususan, har biri imzolangan muntazam o'lchov 0-oqim:

Ruxsat bering (x, y, z) ning koordinatalari bo'lishi kerak3. Keyin quyidagilar 2-oqimni belgilaydi (ko'plardan biri):

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  • de Rham, G. (1973), Turli xilliklar, Actualites Scientifiques et Industrielles (frantsuz tilida), 1222 (3-nashr), Parij: Hermann, X + 198 bet, Zbl  0284.58001.
  • Federer, Gerbert (1969), Geometrik o'lchov nazariyasi, Die Grundlehren derhematischen Wissenschaften, 153, Berlin – Geydelberg – Nyu-York: Springer-Verlag, xiv + 676-betlar, ISBN  978-3-540-60656-7, JANOB  0257325, Zbl  0176.00801.
  • Uitni, H. (1957), Geometrik integratsiya nazariyasi, Prinston matematik seriyasi, 21, Princeton, NJ va London: Prinston universiteti matbuoti va Oksford universiteti matbuoti, XV + 387 betlar, JANOB  0087148, Zbl  0083.28204.
  • Lin, Fangxua; Yang, Syaoping (2003), Geometrik o'lchov nazariyasi: kirish, Kengaytirilgan matematika (Pekin / Boston), 1, Pekin / Boston: Science Press / International Press, x + 237 betlar, ISBN  978-1-57146-125-4, JANOB  2030862, Zbl  1074.49011

Ushbu maqola Current on-dan materiallarni o'z ichiga oladi PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.