Nachbinlar teoremasi - Nachbins theorem - Wikipedia

Yilda matematika, hududida kompleks tahlil, Nachbin teoremasi (nomi bilan Leopoldo Nachbin ) odatda o'sish sur'atlariga bog'liqlikni o'rnatish uchun ishlatiladi analitik funktsiya. Ushbu maqolada o'sish sur'atlari, shu jumladan a eksponent turining funktsiyasi. O'sish sur'atlarining turlariga qarab tasnifi, yanada yaxshi vositani taqdim etishga yordam beradi katta O yoki Landau yozuvlari, chegaralangan funktsiyaning analitik tuzilishi va uning haqida bir qator teoremalar mavjud integral transformatsiyalar bayon qilinishi mumkin. Xususan, Nachbin teoremasi ning yaqinlashish sohasini berish uchun ishlatilishi mumkin umumlashtirilgan Borel konvertatsiyasi, quyida berilgan.

Eksponent tur

Funktsiya f(z) da aniqlangan murakkab tekislik doimiylar mavjud bo'lsa, eksponent turga ega deyiladi M va a shunday

{ displaystyle | f (re ^ {i theta}) | leq Me ^ { alpha r}}

chegarasida ${ displaystyle r to infty}$ . Mana murakkab o'zgaruvchi z deb yozilgan ${ displaystyle z = re ^ {i theta}}$ chegara barcha yo'nalishlarda bo'lishi kerakligini ta'kidlash uchun θ. $ A $ ni belgilashga ruxsat bering cheksiz bunday a ning hammasidan biri funktsiyani aytadi f ning eksponentli a turi.

Masalan, ruxsat bering ${ displaystyle f (z) = sin ( pi z)}$ . Keyin biri shunday deydi ${ displaystyle sin ( pi z)}$ exp eksponent turiga kiradi, chunki π o'sishni chegaralaydigan eng kichik son ${ displaystyle sin ( pi z)}$ xayoliy o'qi bo'ylab. Shunday qilib, ushbu misol uchun, Karlson teoremasi amal qila olmaydi, chunki u π dan past eksponent tipdagi funktsiyalarni talab qiladi.

Ψ turi

Chegaralanish eksponent funktsiyadan tashqari boshqa funktsiyalar uchun ham belgilanishi mumkin. Umuman olganda, funktsiya ${ displaystyle Psi (t)}$ a taqqoslash funktsiyasi agar u seriyali bo'lsa

{ displaystyle Psi (t) = sum _ {n = 0} ^ { infty} Psi _ {n} t ^ {n}}

bilan ${ displaystyle Psi _ {n}> 0}$ Barcha uchun nva

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { Psi _ {n + 1}} { Psi _ {n}}} = 0.}

Taqqoslash funktsiyalari shart butun dan kelib chiqadigan nisbati sinovi. Agar ${ displaystyle Psi (t)}$ bunday taqqoslash funktsiyasi, shundan keyin kimdir buni aytadi f doimiylar mavjud bo'lsa, b tipidagi M va τ shu kabi

{ displaystyle chap | f chap (re ^ {i theta} o'ng) o'ng | leq M Psi ( tau r)}

kabi ${ displaystyle r to infty}$ . Agar $ Delta $ bularning barchasining cheksiz bo'lsa τ biri shunday deydi f Ψ turiga kiradi τ.

Nachbin teoremasida funktsiya deyilgan f(z) qator bilan

{ displaystyle f (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} f_ {n} z ^ {n}}

Ψ turidagi τ tipidadir va agar shunday bo'lsa

{ displaystyle limsup _ {n to infty} left | { frac {f_ {n}} { Psi _ {n}}} right | ^ {1 / n} = tau.}

Borel konvertatsiyasi

Nachbin teoremasida darhol dasturlar mavjud Koshi teoremasi kabi holatlar va uchun integral transformatsiyalar. Masalan, umumlashtirilgan Borel konvertatsiyasi tomonidan berilgan

{ displaystyle F (w) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {f_ {n}} { Psi _ {n} w ^ {n + 1}}}.}

Agar f Ψ turiga kiradi τ, keyin yaqinlashish sohasining tashqi tomoni ${ displaystyle F (w)}$ va uning barcha singular nuqtalari diskda joylashgan

{ displaystyle | w | leq tau.}

Bundan tashqari, bittasi bor

{ displaystyle f (z) = { frac {1} {2 pi i}} oint _ { gamma} Psi (zw) F (w) , dw}

qaerda integratsiya konturi γ diskni o'rab oladi ${ displaystyle | w | leq tau}$ . Bu odatiy narsalarni umumlashtiradi Borel konvertatsiyasi eksponent tur uchun, qaerda ${ displaystyle Psi (t) = e ^ {t}}$ . Umumlashtirilgan Borel konvertatsiyasining ajralmas shakli ham quyidagicha. Ruxsat bering ${ displaystyle alpha (t)}$ birinchi hosilasi interval bilan chegaralangan funktsiya bo'lishi ${ displaystyle [0, infty)}$ , Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

{ displaystyle { frac {1} { Psi _ {n}}} = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} , d alfa (t)}

qayerda ${ displaystyle d alpha (t) = alfa ^ { prime} (t) , dt}$ . U holda umumlashtirilgan Borel konvertatsiyasining ajralmas shakli bo'ladi

{ displaystyle F (w) = { frac {1} {w}} int _ {0} ^ { infty} f chap ({ frac {t} {w}} right) , d alfa (t).}

Oddiy Borel konvertatsiyasi sozlash orqali tiklanadi ${ displaystyle alpha (t) = e ^ {- t}}$ . Borel konvertatsiyasining ajralmas shakli shunchaki Laplasning o'zgarishi.

Nachbinni qayta tiklash

Nachbinni qayta tiklash (umumiy Borel konvertatsiyasi) odatdagiga o'tadigan divergent qatorlarni yig'ish uchun ishlatilishi mumkin Borel summasi yoki hatto (asimptotik) shaklning integral tenglamalarini echish uchun:

{ displaystyle g (s) = s int _ {0} ^ { infty} K (st) f (t) , dt}

qayerda f(t) eksponent o'sishi va yadrosi bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin K(siz) bor Mellin o'zgarishi. Qarorni quyidagicha olish mumkin ${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {M (n + 1)}} x ^ {n}}$ bilan ${ displaystyle g (s) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} s ^ {- n}}$ va M(n) ning Mellin konvertatsiyasi K(siz). Bunga Gram seriyasi misol bo'la oladi ${ displaystyle pi (x) taxminan 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { log ^ {n} (x)} {n cdot n! zeta (n + 1)}}.}$

ba'zi hollarda biz qo'shimcha shart sifatida talab qilamiz ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} K (t) t ^ {n} , dt}$ uchun cheklangan bo'lishi ${ displaystyle n = 0,1,2,3, ...}$ va 0 dan farq qiladi.

Frechet maydoni

Eksponensial tipdagi funktsiyalar to'plamlari ${ displaystyle tau}$ hosil qilishi mumkin to'liq bir xil bo'shliq, ya'ni a Frechet maydoni, tomonidan topologiya ning hisoblanadigan oilasi tomonidan qo'zg'atilgan normalar

{ displaystyle | f | _ {n} = sup _ {z in mathbb {C}} exp left [- left ( tau + { frac {1} {n}} right ) | z | o'ng] | f (z) |.}

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

L.Nachbin, "Sonli eksponent turining integral funktsiyalari tushunchasining kengayishi", Anais Akad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143–147.
Ralf P. Boas, kichik va R. Kreyton Bak, Analitik funktsiyalarning polinom kengayishi (ikkinchi bosma tuzatilgan), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Kongress kutubxonasi 63-23263 raqamli karta. (Nachbin teoremasining bayonoti va isboti, shuningdek ushbu mavzuni umumiy ko'rib chiqish bilan ta'minlaydi.)
A.F. Leont'ev (2001) [1994], "Eksponent turining funktsiyasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
A.F. Leont'ev (2001) [1994], "Borel konvertatsiyasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press